线性代数/导论
本书帮助学生掌握标准本科线性代数课程的材料。
材料是标准的，因为涵盖的主题包括高斯消元法、向量空间、线性映射、行列式以及特征值和特征向量。受众也是标准的：大二或大三学生，通常至少有一学期微积分的背景，可能多达三个学期。
它对学生的帮助来自于采取发展性方法——本书的呈现强调动机和自然性，通过各种各样的例子和广泛、仔细的练习来强化。发展性方法是本书与众不同之处，因此在这里对该术语进行一些扩展是合适的。
大多数数学课程开头的课程更看重学生正确应用公式和算法，而不是理解理论。后来的课程则要求数学成熟度：能够遵循不同类型的论证，熟悉许多数学研究（如初等集合和函数事实）的基础主题，以及具有一定的独立阅读和思考能力。线性代数是练习这两种课程之间过渡的理想场所。它出现在课程的早期，因此这里取得的进步可以在以后得到回报，但同时也出现在足够晚的时候，学生通常是专业或辅修学生。材料连贯、易懂且优雅。有多种论证风格——例如，反证法、当且仅当语句以及归纳法证明——并且例子很多。
因此，本书阐述的目的是帮助学生从目前水平的成功（在大多数成员主要对科学或工程中的应用感兴趣的课堂上）发展到下一水平的成功，即认真学习数学学科本身的学生。
帮助学生完成这一转变意味着认真对待数学，因此本书中的所有结果都得到了证明。另一方面，我们不能假设学生已经到达了这个水平，因此与更抽象的文本相比，我们提供了许多例子，而且这些例子通常非常详细。
过去，线性代数教材通常会突然进行这种转变。它们从线性系统的广泛计算、矩阵乘法和行列式开始。当概念（向量空间和线性映射）最终出现，并且定义和证明开始时，这种变化往往会让学生止步不前。在这本书中，虽然我们从一个计算主题线性约简开始，但从一开始我们就不仅仅是计算。我们快速但完整地处理线性系统，包括证明我们正在计算的内容所需的证明。然后，以线性系统工作作为动机，并在线性组合的研究看起来很自然的时候，第二章从实向量空间的定义开始。这发生在第三周结束的时候。
我们强调动机和自然性的另一个例子是，关于线性映射的第三章并没有从同态的定义开始，而是从同构的定义开始。这是因为这个定义很容易通过观察一些空间“就像”其他空间一样来激发。之后，下一节通过分离操作保持的想法来采取合理的步骤来定义同态。这种方法失去了数学的流畅性，但这是一个好的权衡，因为它换来了学生对理性的极大提高。
发展性方法的一个目标是，学生在整个过程中都应该感觉到他们能够看到这些想法是如何产生的，并且也许能够想象自己做同样类型的工作。
这里采取的发展性方法最明显的例子——也是最推荐本书的特点——是练习。学生在做练习时进步最快，因此练习的选择非常谨慎。每个习题集的范围从简单的检查到相当复杂的证明不等。由于教师通常在每次讲座后布置大约十几个习题，因此每个部分的结尾都提供了大约两倍的习题，从而提供了一种选择。甚至还有一些来自各种期刊、竞赛或习题集的具有挑战性的难题。（这些用“？”标记，作为趣味的一部分，尽可能保留了原文。）总的来说，这些练习旨在培养学生的能力，并帮助学生体验做数学的乐趣。
这里采取的观点，即线性代数是关于向量空间和线性映射的，并不是完全排斥其他观点。应用和计算机的作用是该学科的重要和至关重要的方面。因此，本书的每一章都以一些应用或与计算机相关的主题结束。其中一些是：网络流、计算机线性约简的速度和精度、列昂惕夫投入产出分析、量纲分析、马尔可夫链、投票悖论、解析射影几何以及差分方程。
这些主题简短到可以在一天的课堂上完成，或者可以作为个人或小组的独立项目。大多数只是让读者了解该主题，讨论线性代数是如何介入的，指出一些进一步阅读的材料，并给出一些练习。简而言之，这些主题邀请读者自己去了解线性代数是专业人士必须掌握的工具。
本书强调动机和发展，使其成为自学的良好选择。但是，虽然专业教师可以判断什么节奏和主题适合课堂，但如果您是独立学习的学生，那么您可能会发现一些建议很有帮助。
这里有两个学期的课程时间表。第一个专注于核心材料。
| 周 | 周一 | 周三 | 周五 |
| 1 | 一.I.1 | 一.I.1, 2 | 一.I.2, 3 |
| 2 | 一.I.3 | 一.II.1 | 一.II.2 |
| 3 | 一.III.1, 2 | 一.III.2 | 二.I.1 |
| 4 | 二.I.2 | 二.II | 二.III.1 |
| 5 | 二.III.1, 2 | 二.III.2 | 考试 |
| 6 | 二.III.2, 3 | 二.III.3 | 三.I.1 |
| 7 | 三.I.2 | 三.II.1 | 三.II.2 |
| 8 | 三.II.2 | 三.II.2 | 三.III.1 |
| 9 | 三.III.1 | 三.III.2 | 三.IV.1, 2 |
| 10 | 三.IV.2, 3, 4 | 三.IV.4 | 考试 |
| 11 | 三.IV.4, 三.V.1 | 三.V.1, 2 | 四.I.1, 2 |
| 12 | 四.I.3 | 四.II | 四.II |
| 13 | 四.III.1 | 五.I | 五.II.1 |
| 14 | 五.II.2 | 五.II.3 | 复习 |
第二个时间表更雄心勃勃（假设您知道一.II，向量元素，通常在第三学期微积分中涵盖）。
| 周 | 周一 | 周三 | 周五 |
| 1 | 一.I.1 | 一.I.2 | 一.I.3 |
| 2 | 一.I.3 | 一.III.1, 2 | 一.III.2 |
| 3 | 二.I.1 | 二.I.2 | 二.II |
| 4 | 二.III.1 | 二.III.2 | 二.III.3 |
| 5 | 二.III.4 | 三.I.1 | 考试 |
| 6 | 三.I.2 | 三.II.1 | 三.II.2 |
| 7 | 三.III.1 | 三.III.2 | 三.IV.1, 2 |
| 8 | 三.IV.2 | 三.IV.3 | 三.IV.4 |
| 9 | 三.V.1 | 三.V.2 | 三.VI.1 |
| 10 | 三.VI.2 | 四.I.1 | 考试 |
| 11 | 四.I.2 | 四.I.3 | 四.I.4 |
| 12 | 四.II | 四.II, 四.III.1 | 四.III.2, 3 |
| 13 | 五.II.1, 2 | 五.II.3 | 五.III.1 |
| 14 | 五.III.2 | 五.IV.1, 2 | 五.IV.2 |
请参阅目录以了解这些小节的标题。
为了帮助您进行时间权衡，在目录中，如果一些教师会为了在其他地方花费更多时间而跳过这些小节，我将它们标记为可选。您还可以尝试从每一章的末尾选择一个或两个您感兴趣的主题。如果您有权访问可以进行大型计算的计算机软件，那么您将从中获得更多收益。
最重要的建议是：做很多练习。推荐的练习贯穿始终。（答案可用。）但是，您应该意识到，很少有经验不足的人能够写出正确的证明。尝试找一个知识渊博的人与您一起研究这个问题。
最后，如果可以的话，对所有学生（无论是否独立）的一个警告：我无法过分强调我偶尔听到的这句话“我理解这些材料，但只是我在问题上遇到了麻烦”揭示了对我们所做的事情的理解不足。能够用这些想法做事情是它们的意义所在。下面的引语出色地表达了这种情感。它们陈述了我认为是数学和科学（特别是线性代数）的美丽和力量的关键（我冒昧地将它们格式化为诗歌）。
我所知道的最好的策略
就是用精心挑选的细节
来说明令人兴奋的原则。
--史蒂芬·杰伊·古尔德
如果你真的想学习
那么你必须登上机器
并通过实际尝试
熟悉它的技巧。
--威尔伯·莱特
吉姆·赫弗伦
数学，圣迈克尔学院
美国佛蒙特州科尔切斯特 05439
http://joshua.smcvt.edu
2006年5月20日
作者注。发明一个好的练习，一个既能启发又能测试的练习，是一项创造性的行为，也是一项艰苦的工作。
发明者应该得到认可。但由于某种原因，教材传统上没有对问题进行归因。在这里，如果我确定了来源，我就会改变这一点。如果您能帮助我正确地归因于其他问题，我将不胜感激。