线性代数/解线性方程组

线性方程组在科学和数学中很常见。以下两个例子来自高中科学 (O'Nan 1990)，展示了它们是如何出现的。

第一个例子来自物理学。假设我们得到了三个物体，其中一个的质量已知为2 kg，要求我们找到未知质量。假设进一步，通过使用米尺进行实验，获得了两个平衡 (其中一个如下图所示)。

由于顺时针力的力矩大小之和等于逆时针力的力矩大小之和 (物体绕固定原点旋转的力矩是作用在物体上的力和它相对于原点的位移向量之间的叉积；重力加速度是均匀的，我们可以将两边同时除以它)。这两个平衡给出了以下两个方程组。

${\begin{array}{rl}40h+15c&=100\\25c&=50+50h\end{array}}$

你能完成解吗？

c = kg

h = kg

线性方程组的第二个例子来自化学。在可控条件下，我们可以混合甲苯 ${\hbox{C}}_{7}{\hbox{H}}_{8}$ 和硝酸 ${\hbox{H}}{\hbox{N}}{\hbox{O}}_{3}$ 来生成三硝基甲苯 ${\hbox{C}}_{7}{\hbox{H}}_{5}{\hbox{O}}_{6}{\hbox{N}}_{3}$ 以及副产物水 (条件必须非常严格地控制，事实上 - 三硝基甲苯被称为TNT)。这些成分应该以什么比例混合？反应前每种元素的原子数量。

$x\,{\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{8}\ +\ y\,{\rm {H}}{\rm {N}}{\rm {O}}_{3}\quad \longrightarrow \quad z\,{\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{5}{\rm {O}}_{6}{\rm {N}}_{3}\ +\ w\,{\rm {H}}_{2}{\rm {O}}$

必须等于反应后的数量。将该原理依次应用于元素 C、H、N 和 O，得到以下系统。

${\begin{array}{rl}7x&=7z\\8x+1y&=5z+2w\\1y&=3z\\3y&=6z+1w\end{array}}$

你能平衡方程吗？

${\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{8}\ +\$ ${\rm {H}}{\rm {N}}{\rm {O}}_{3}\quad \longrightarrow \quad$ ${\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{5}{\rm {O}}_{6}{\rm {N}}_{3}\ +\$ ${\rm {H}}_{2}{\rm {O}}$

要完成这些例子中的每一个，都需要求解一个方程组。在每个例子中，方程只包含变量的一次幂。本章将介绍如何求解任何此类方程组。

参考文献

• O'Nan, Micheal (1990), Linear Algebra (第三版), Harcourt College Pub.