线性代数/相似性简介

在研究矩阵等价性时，我们已经证明，对于任何同态，都存在基底 $B$ 和 $D$ 使得表示矩阵具有块部分单位形式。

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)=\left({\begin{array}{c|c}{\textit {Identity}}&{\textit {Zero}}\\\hline {\textit {Zero}}&{\textit {Zero}}\end{array}}\right)$

这种表示将映射描述为将 $c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 映射到 $c_{1}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\delta }}_{k}+{\vec {0}}+\dots +{\vec {0}}$，其中 $n$ 是域的维数，而 $k$ 是陪域的维数。因此，在这种表示下，映射的作用很容易理解，因为大多数矩阵项都是零。

本章考虑域和陪域相等的特例，即同态是变换的情况。在这种情况下，我们自然会寻找一个单一的基底 $B$ 使得 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 尽可能简单（我们将“简单”理解为它有许多零）。矩阵具有上述块部分单位形式并不总是可能的。但是我们将开发一种接近的形式，一种几乎对角化的表示。