线性代数/同构

在向量空间定义之后的示例中，我们发展了直觉，即某些空间“与”其他空间“相同”。例如，两个高的列向量的空间和两个宽的行向量的空间并不相等，因为它们的元素——列向量和行向量——并不相等，但我们认为这些空间只是在元素的外观上有所不同。我们现在将使这个想法变得精确。

本节说明了数学研究的一个常见方面。借助一些例子，我们已经得到了一个想法。接下来，我们将给出正式的定义，然后我们将给出一些结果来支持我们的论点，即该定义捕捉到了这个想法。我们已经看到这种情况发生过，例如在向量空间章节的第一部分。在那里，线性系统的研究促使我们考虑在线性组合下封闭的集合。我们将这样的集合定义为向量空间，并随后提供了一些支持结果。

当然，那个定义不是一个终点，相反，它带来了新的见解，比如基的概念。在这里也是，在给出定义并对其进行支持之后，我们将得到两个惊喜（令人愉快的）。首先，我们会发现这个定义适用于一些意想不到的有趣情况。其次，对定义的研究将带来新的想法。这样，我们的研究将积聚动力。