线性代数/字符串/解

解

建议所有读者完成此练习。

问题 1

作用于实数三元组空间的左移算子的幂零指数是多少？

$(x,y,z)\mapsto (0,x,y)$

答案

三。因为它至少是三，因为 $\ell ^{2}(\,(1,1,1)\,)=(0,0,1)\neq {\vec {0}}$。它最多是三，因为 $(x,y,z)\mapsto (0,x,y)\mapsto (0,0,x)\mapsto (0,0,0)$.

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问题 2

对于每个字符串基，说明幂零指数，并给出幂零映射每次迭代的范围空间和零空间的维数。

1. ${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$
2. ${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{6}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$
3. ${\begin{array}{ccccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

也给出矩阵的规范形式。

答案

1. 该域的维度为四。该映射的作用是将空间中的任何向量 $c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {\beta }}_{2}+c_{3}\cdot {\vec {\beta }}_{3}+c_{4}\cdot {\vec {\beta }}_{4}$ 映射到 $c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{2}+c_{2}\cdot {\vec {0}}+c_{3}\cdot {\vec {\beta }}_{4}+c_{4}\cdot {\vec {0}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{3}+c_{3}\cdot {\vec {\beta }}_{4}$。该映射的第一次应用将两个基向量 ${\vec {\beta }}_{2}$ 和 ${\vec {\beta }}_{4}$ 映射到零，因此零空间的维度为二，值域空间的维度为二。第二次应用将所有四个基向量映射到零，因此二次幂的零空间维度为四，二次幂的值域空间维度为零。因此，幂零指数为二。这是标准形式。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

2. 该映射的域的维度为六。对于第一次幂，零空间的维度为四，值域空间的维度为二。对于第二次幂，零空间的维度为五，值域空间的维度为一。然后第三次迭代导致零空间的维度为六，值域空间的维度为零。幂零指数为三，这是标准形式。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

3. 域的维度为三，幂零指数为三。第一次幂的零空间维度为一，值域空间维度为二。第二次幂的零空间维度为二，值域空间维度为一。最后，第三次幂的零空间维度为三，值域空间维度为零。以下是标准形式矩阵。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

问题 3

判断这些矩阵中哪些是幂零矩阵。

1. ${\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-3&2&1\\-3&2&1\\-3&2&1\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&1&4\\3&0&-1\\5&2&7\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}45&-22&-19\\33&-16&-14\\69&-34&-29\end{pmatrix}}$

答案

根据 引理 1.3，零度在 $n$ 次迭代中已达到最大值，其中 $n$ 是域的维数。因此，对于 $2\!\times \!2$ 矩阵，我们只需要检查其平方是否为零矩阵。对于 $3\!\times \!3$ 矩阵，我们只需要检查其立方。

1. 是的，这个矩阵是幂零矩阵，因为它的平方是零矩阵。
2. 否，其平方不是零矩阵。

   ${\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}}$

3. 是的，其立方是零矩阵。事实上，其平方是零矩阵。
4. 否，其三次方不是零矩阵。

   ${\begin{pmatrix}1&1&4\\3&0&-1\\5&2&7\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}206&86&304\\26&8&26\\438&180&634\end{pmatrix}}$

5. 是的，这个矩阵的立方是零矩阵。

另一个证明第二和第四个矩阵不是幂零矩阵的方法是注意到它们是非奇异的。

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问题 4

求出这个矩阵的标准型。

${\begin{pmatrix}0&1&1&0&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

答案

计算表

${\begin{array}{c|cc}p&N^{p}&{\mathcal {N}}(N^{p})\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&1&1&0&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}r\\u\\-u-v\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r,u,v\in \mathbb {C} \}\\2&{\begin{pmatrix}0&0&1&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}r\\s\\-u-v\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r,s,u,v\in \mathbb {C} \}\\2&{\textit {--zeromatrix--}}&\mathbb {C} ^{5}\end{array}}$

给出字符串基的这些要求：三个基向量直接被映射为零，另外一个基向量在第二次应用中被映射为零，最后一个基向量在第三次应用中被映射为零。 因此，字符串基具有以下形式。

${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

由此可立即得到规范形式。

${\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

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问题 5

考虑来自 示例 2.16 的矩阵。

1. 使用映射在字符串基上的作用来给出规范形式。
2. 找出将矩阵转换为规范形式的基变换矩阵。
3. 使用上一项的答案来检查第一项的答案。

答案

1. 规范形式具有 $3\!\times \!3$ 块和 $2\!\times \!2$ 块

   $\left({\begin{array}{ccc|cc}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\\end{array}}\right)$

   对应于基中的长度为 3 的字符串和长度为 2 的字符串。
2. 假设 $N$ 是关于标准基的底层映射的表示。令 $B$ 为我们将要更改的基底。根据相似性图

   

   我们有规范形式矩阵为 $PNP^{-1}$ 其中

   $P^{-1}={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{5}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&1&0\\1&0&1&0&0\\0&0&1&1&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$

   并且 $P$ 是它的逆。

   $P={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{5},B}({\mbox{id}})=(P^{-1})^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-1&1&1&-1&1\\-1&0&1&0&0\\1&0&-1&1&-1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$

3. 检查此计算是例行公事。

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问题 6

这些矩阵中的每一个都是幂零的。

1. ${\begin{pmatrix}1/2&-1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1&1&-1\\1&0&1\\1&-1&1\end{pmatrix}}$

将每个都放到规范形式。

答案

1. 计算${\begin{array}{c|cc}p&N^{p}&{\mathcal {N}}(N^{p})\\\hline 1&{\begin{pmatrix}1/2&-1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}u\\u\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u\in \mathbb {C} \}\\2&{\textit {--zeromatrix--}}&\mathbb {C} ^{2}\end{array}}$

   表明任何由该矩阵表示的映射必须以这种方式作用于字符串基。

   ${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

   因为一次应用后的零空间维数为一，且只有一个基向量，${\vec {\beta }}_{2}$，被映射为零。因此，关于 $\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$ 的这种表示形式是规范形式。

   ${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

2. 这里的计算与之前的类似。${\begin{array}{c|cc}p&N^{p}&{\mathcal {N}}(N^{p})\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}u\\v\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u,v\in \mathbb {C} \}\\2&{\textit {--zeromatrix--}}&\mathbb {C} ^{3}\end{array}}$

   该表表明字符串基的形式为

   ${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

   因为一次应用映射后的零空间维数为二—— ${\vec {\beta }}_{2}$ 和 ${\vec {\beta }}_{3}$ 都被映射为零—— 并且再进行一次迭代会导致另一个向量被映射为零。

3. 计算${\begin{array}{c|cc}p&N^{p}&{\mathcal {N}}(N^{p})\\\hline 1&{\begin{pmatrix}-1&1&-1\\1&0&1\\1&-1&1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}u\\0\\-u\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u\in \mathbb {C} \}\\2&{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\-1&0&-1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}u\\v\\-u\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u,v\in \mathbb {C} \}\\3&{\textit {--zeromatrix--}}&\mathbb {C} ^{3}\end{array}}$

   表明任何由该基表示的映射必须以这种方式作用于字符串基。

   ${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

   因此，这是规范形式。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

问题 7

描述左乘或右乘以处于幂零矩阵规范形式的矩阵的效果。

答案

一些例子

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\a&b\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$

表明左乘以一个次对角线为一的块会将矩阵的各行向下移动。不同的块

${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\a&b&c&d\\0&0&0&0\\i&j&k&l\end{pmatrix}}$

会将矩阵的不同部分向下移动。

右乘对列有类似的效果。参见 问题 1。

问题 8

幂零性在相似性下是否保持不变？也就是说，与幂零矩阵相似的矩阵是否也必须是幂零矩阵？如果是，则幂零指数是否相同？

答案

是的。将 示例 2.9 中的最后一句话推广一下。至于索引，最后一句话表明，新矩阵的索引小于或等于 ${\hat {N}}$ 的索引，反过来，交换两个矩阵的角色，则可得到另一个方向的不等式。

这个问题的另一个答案是证明一个矩阵为幂零矩阵当且仅当任何与之相关的映射为幂零矩阵，并且具有相同的索引。然后，由于相似矩阵表示相同的映射，结论就随之而来。这是下面 练习 14。

建议所有读者完成此练习。

问题 9

证明幂零矩阵的唯一特征值为零。

答案

观察到，一个典型形式的幂零矩阵只有零特征值；例如，这个下三角矩阵

${\begin{pmatrix}-x&0&0\\1&-x&0\\0&1&-x\end{pmatrix}}$

的行列式为 $(-x)^{3}$，它的唯一根为零。但相似矩阵具有相同的特征值，并且每个幂零矩阵都与典型形式的矩阵相似。

另一种理解方式是观察到，一个幂零矩阵在经过若干次迭代后，会将所有向量映射为零，但这与在特征空间 ${\vec {v}}\mapsto \lambda {\vec {v}}$ 上的操作相冲突，除非 $\lambda$ 为零。

问题 10

二维空间上是否存在索引为 3 的幂零变换？

答案

不存在。根据 引理 1.3，对于二维空间上的映射，在第二次迭代时，零度已经达到最大值。

问题 11

在 定理 2.13 的证明中，为什么证明的基线情况不是幂零指数为零？

答案

只有当开始字符串的向量为 ${\vec {0}}$ 时，变换的幂零指数才能为零，也就是说，只有当 $V$ 是一个平凡空间时。

建议所有读者完成此练习。

问题 12

设 $t:V\to V$ 是一个线性变换，并假设 ${\vec {v}}\in V$ 使得 $t^{k}({\vec {v}})={\vec {0}}$ 但 $t^{k-1}({\vec {v}})\neq {\vec {0}}$。考虑 $t$-字符串 $\langle {\vec {v}},t({\vec {v}}),\dots ,t^{k-1}({\vec {v}})\rangle$.

1. 证明 $t$ 是字符串中向量集合的跨度上的一个变换，也就是说，证明 $t$ 限制在跨度上的值域是跨度的一个子集。我们说这个跨度是一个 $t$-不变 子空间。
2. 证明这个限制是幂零的。
3. 证明 $t$-字符串是线性无关的，因此是其跨度的一个基。
4. 用 $t$-字符串基表示限制映射。

答案

1. 跨度的任何成员 ${\vec {w}}$ 可以写成一个线性组合 ${\vec {w}}=c_{0}\cdot {\vec {v}}+c_{1}\cdot t({\vec {v}})+\dots +c_{k-1}\cdot t^{k-1}({\vec {v}})$。但根据映射的线性性，$t({\vec {w}})=c_{0}\cdot t({\vec {v}})+c_{1}\cdot t^{2}({\vec {v}})+\dots +c_{k-2}\cdot t^{k-1}({\vec {v}})+c_{k-1}\cdot {\vec {0}}$ 也是在跨度中。
2. 前面的项中的操作，当迭代 $k$ 次时，将导致一个零的线性组合。
3. 如果 ${\vec {v}}={\vec {0}}$，则该集合为空，根据定义它是线性无关的。否则，写出 $c_{1}{\vec {v}}+\dots +c_{k-1}t^{k-1}({\vec {v}})={\vec {0}}$，并将 $t^{k-1}$ 应用到等式的两边。等式的右边得到 ${\vec {0}}$，而等式的左边得到 $c_{1}t^{k-1}({\vec {v}})$；得出结论 $c_{1}=0$。通过将 $t^{k-2}$ 应用到等式的两边，以此类推。
4. 当然，$t$ 通过作用于这个基作为单个的、$k$ 长的、$t$ 字符串，作用于跨度。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&0&\ldots &0&0\\1&0&0&0&\ldots &0&0\\0&1&0&0&\ldots &0&0\\0&0&1&0&&0&0\\&&&\ddots \\0&0&0&0&&1&0\\\end{pmatrix}}$

问题 13

完成对 定理 2.13 的证明。

答案

我们必须检查 $B\cup {\hat {C}}\cup \{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{j}\}$ 是线性无关的，其中 $B$ 是 $t$-字符串基 ${\mathcal {R}}(t)$，其中 ${\hat {C}}$ 是 ${\mathcal {N}}(t)$ 的一个基，并且 $t({\vec {v}}_{1})={\vec {\beta }}_{1},\dots ,t({\vec {v}}_{i}={\vec {\beta }}_{i}$。写

${\vec {0}}=c_{1,-1}{\vec {v}}_{1}+c_{1,0}{\vec {\beta }}_{1}+c_{1,1}t({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{1,{h_{1}}}t^{h_{1}}({\vec {\vec {\beta }}}_{1})+c_{2,-1}{\vec {v}}_{2}+\dots +c_{j,h_{i}}t^{h_{i}}({\vec {\beta _{i}}})$

并应用 $t$。

${\vec {0}}=c_{1,-1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{1,0}t({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{1,h_{1}-1}t^{h_{1}}({\vec {\vec {\beta }}}_{1})+c_{1,h_{1}}{\vec {0}}+c_{2,-1}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{i,h_{i}-1}t^{h_{i}}({\vec {\beta _{i}}})+c_{i,h_{i}}{\vec {0}}$

可以得出结论，系数 $c_{1,-1},\dots ,c_{1,h_{i}-1},c_{2,-1},\dots ,c_{i,h_{i}-1}$ 都为零，因为 $B\cup {\hat {C}}$ 是一个基。代入第一个显示的等式得出结论，其余系数也为零。

问题 14

证明，如定义 2.6 中所述，“幂零变换”和“幂零矩阵”相互吻合：一个映射是幂零的，当且仅当它由一个幂零矩阵表示。（是指变换是幂零的，当且仅当存在一个基使得映射相对于该基的表示是一个幂零矩阵，还是指任何表示都是一个幂零矩阵？）

答案

对于任何基 $B$，一个变换 $n$ 是幂零的，当且仅当 $N={\rm {Rep}}_{B,B}(n)$ 是一个幂零矩阵。这是因为只有零矩阵表示零映射，所以 $n^{j}$ 是零映射当且仅当 $N^{j}$ 是零矩阵。

问题 15

设 $T$ 是指标为四的幂零变换。$T^{3}$ 的值域能有多大？

答案

它可以是任何大于或等于一的尺寸。为了得到一个指标为四的幂零变换，其三次方的值域的维数为 $k$，取一个向量空间，该空间的一个基，以及一个以这种方式作用于该基的变换。

${\begin{array}{ccccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{6}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{7}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{8}&\mapsto &{\vec {0}}\\&\vdots \\{\vec {\beta }}_{4k-3}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4k-2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4k-1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4k}&\mapsto &{\vec {0}}\\&\vdots \end{array}}$

--可能还有其他更短的字符串--

因此，$T^{3}$ 的值域空间的维数可以任意大。它能取到的最小值是 1，因为必须至少存在一个字符串，否则该映射的幂零指数将不会是 4。

问题 16

回顾一下，相似矩阵具有相同的特征值。证明逆命题不成立。

答案

这两个矩阵只有 0 作为特征值

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

但它们并不相似（它们有不同的规范代表，即它们本身）。

问题 17

证明幂零矩阵与一个除了超对角线上的块之外所有元素都为零的矩阵相似。

答案

对字符串基进行简单的重新排序即可。例如，与该字符串基相关的映射

${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

相对于 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$ 由该矩阵表示

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

但相对于 $B=\langle {\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{1}\rangle$ 以这种方式表示。

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 18

证明如果一个变换的值域空间与其零空间相同，则其定义域的维数为偶数。

答案

令 $t:V\to V$ 为变换。如果 $\mathop {\mbox{rank}} (t)={\text{nullity}}\,(t)$，则方程 $\mathop {\mbox{rank}} (t)+{\text{nullity}}\,(t)=\dim(V)$ 表明 $\dim(V)$ 是偶数。

问题 19

证明如果两个幂零矩阵可交换，则它们的乘积和和也是幂零的。

答案

为了使矩阵为幂零，它们必须是方阵。为了使它们可交换，它们必须大小相同。因此它们的乘积和和是有定义的。

将矩阵称为 $A$ 和 $B$。要看到 $AB$ 是幂零的，将 $(AB)^{2}=ABAB=AABB=A^{2}B^{2}$，以及 $(AB)^{3}=A^{3}B^{3}$ 等，以及，因为 $A$ 是幂零的，该乘积最终为零。

和也是类似的；使用二项式定理。

问题 20

考虑 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 上的变换由 $t_{S}(T)=ST-TS$ 给出，其中 $S$ 是一个 $n\!\times \!n$ 矩阵。证明如果 $S$ 是幂零的，则 $t_{S}$ 也是幂零的。

答案

一些实验给出了证明的思路。第二幂的展开

$t_{S}^{2}(T)=S(ST-TS)-(ST-TS)S=S^{2}-2STS+TS^{2}$

三次方

${\begin{array}{rl}t_{S}^{3}(T)&=S(S^{2}-2STS+TS^{2})-(S^{2}-2STS+TS^{2})S\\&=S^{3}T-3S^{2}TS+3STS^{2}-TS^{3}\end{array}}$

以及四次方

${\begin{array}{rl}t_{S}^{4}(T)&=S(S^{3}T-3S^{2}TS+3STS^{2}-TS^{3})-(S^{3}T-3S^{2}TS+3STS^{2}-TS^{3})S\\&=S^{4}T-4S^{3}TS+6S^{2}TS^{2}-4STS^{3}+TS^{4}\end{array}}$

表明这些展开式遵循二项式定理。通过对 $t_{S}$ 的幂进行归纳来验证这一点是例行公事。这回答了问题，因为当 $S$ 的幂零指数为 $k$ 时，在 $t_{S}^{2k}$ 的展开式中

$t_{S}^{2k}(T)=\sum _{0\leq i\leq 2k}(-1)^{i}{\binom {2k}{i}}S^{i}TS^{2k-i}$

对于任何 $i$，至少 $S^{i}$ 和 $S^{2k-i}$ 之一，其幂大于 $k$，因此该项给出零矩阵。

问题 21

证明如果 $N$ 是幂零矩阵，那么 $I-N$ 是可逆的。这个命题的逆命题是否也成立？

答案

使用等比数列公式：$I-N^{k+1}=(I-N)(N^{k}+N^{k-1}+\cdots +I)$。如果 $N^{k+1}$ 是零矩阵，那么我们找到了 $I-N$ 的右逆矩阵。它也是左逆矩阵。

这个命题的逆命题不成立，因为

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

是可逆的。