上一节定义了一个函数为行列式，如果它满足四个条件，并表明对于每个 n × n {\displaystyle n\!\times \!n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
这样的函数怎么会不存在呢？毕竟，我们已经做过一些计算，这些计算从一个方阵开始，遵循条件，并以一个数字结束。
困难在于，就我们所知，计算可能不会得到一个明确的结果。为了说明这种可能性，假设我们把行列式定义中的第二个条件改为行列式的值在行交换时不会改变。根据 备注 2.2 ，我们知道这与第一个和第三个条件相冲突。这里有一个冲突的例子：以下是同一个矩阵的两种高斯消元法，第一个没有行交换
( 1 2 3 4 ) → − 3 ρ 1 + ρ 2 ( 1 2 0 − 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\end{pmatrix}}} 第二个进行交换。
( 1 2 3 4 ) → ρ 1 ↔ ρ 2 ( 3 4 1 2 ) → − ( 1 / 3 ) ρ 1 + ρ 2 ( 3 4 0 2 / 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}{\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}3&4\\0&2/3\end{pmatrix}}} 遵循 定义 2.1 ，这两个计算都得到行列式 − 2 {\displaystyle -2} − 2 {\displaystyle -2} 2 {\displaystyle 2}
当然，观察到 定义 2.1 在这个特定例子中做对了，这还不够；我们将在本节的剩余部分证明，永远不会出现冲突。尝试证明的自然方法是定义行列式函数为：“函数的值是使用高斯消元法计算的结果，跟踪行交换，并通过对角线相乘得到最终结果”。（由于高斯消元法允许一些变体，例如选择哪一行进行交换，我们需要固定一个明确的算法。）然后，如果我们验证这种计算行列式的方法满足四个性质，我们就完成了。例如，如果 T {\displaystyle T} T ^ {\displaystyle {\hat {T}}}
我们将使用的公式基于从行列式定义的性质 (3) 中得到的洞察力。此性质表明行列式是非线性的。
示例 3.1
对于这个矩阵 det ( 2 A ) ≠ 2 ⋅ det ( A ) {\displaystyle \det(2A)\neq 2\cdot \det(A)}
A = ( 2 1 − 1 3 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}}} 相反，标量会从两个行中的每一行中提取出来。
| 4 2 − 2 6 | = 2 ⋅ | 2 1 − 2 6 | = 4 ⋅ | 2 1 − 1 3 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}4&2\\-2&6\end{vmatrix}}=2\cdot {\begin{vmatrix}2&1\\-2&6\end{vmatrix}}=4\cdot {\begin{vmatrix}2&1\\-1&3\end{vmatrix}}}
由于标量一次从一行中提取出来，我们可能会猜到行列式在一次一行中是线性的。
定义 3.2
令 V {\displaystyle V} f : V n → R {\displaystyle f:V^{n}\to \mathbb {R} } 多线性的 ，如果
f ( ρ → 1 , … , v → + w → , … , ρ → n ) = f ( ρ → 1 , … , v → , … , ρ → n ) + f ( ρ → 1 , … , w → , … , ρ → n ) {\displaystyle f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}+{\vec {w}},\ldots ,{\vec {\rho }}_{n})=f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})+f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {w}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})}
f ( ρ → 1 , … , k v → , … , ρ → n ) = k ⋅ f ( ρ → 1 , … , v → , … , ρ → n ) {\displaystyle f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k{\vec {v}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=k\cdot f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})}
对于 v → , w → ∈ V {\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V} k ∈ R {\displaystyle k\in \mathbb {R} }
证明
行列式的定义给出了性质 (2) (引理 2.3 在该定义之后涵盖了 k = 0 {\displaystyle k=0}
det ( ρ → 1 , … , v → + w → , … , ρ → n ) = det ( ρ → 1 , … , v → , … , ρ → n ) + det ( ρ → 1 , … , w → , … , ρ → n ) {\displaystyle \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}+{\vec {w}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})+\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {w}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})} 如果集合 { ρ → 1 , … , ρ → i − 1 , ρ → i + 1 , … , ρ → n } {\displaystyle \{{\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{i-1},{\vec {\rho }}_{i+1},\dots ,{\vec {\rho }}_{n}\}} n {\displaystyle n} n − 1 {\displaystyle n-1} ⟨ ρ → 1 , … , ρ → i − 1 , β → , ρ → i + 1 , … , ρ → n ⟩ {\displaystyle \langle {\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{i-1},{\vec {\beta }},{\vec {\rho }}_{i+1},\dots ,{\vec {\rho }}_{n}\rangle } v → {\displaystyle {\vec {v}}} w → {\displaystyle {\vec {w}}}
v → = v 1 ρ → 1 + ⋯ + v i − 1 ρ → i − 1 + v i β → + v i + 1 ρ → i + 1 + ⋯ + v n ρ → n w → = w 1 ρ → 1 + ⋯ + w i − 1 ρ → i − 1 + w i β → + w i + 1 ρ → i + 1 + ⋯ + w n ρ → n {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\vec {v}}&=v_{1}{\vec {\rho }}_{1}+\dots +v_{i-1}{\vec {\rho }}_{i-1}+v_{i}{\vec {\beta }}+v_{i+1}{\vec {\rho }}_{i+1}+\dots +v_{n}{\vec {\rho }}_{n}\\{\vec {w}}&=w_{1}{\vec {\rho }}_{1}+\dots +w_{i-1}{\vec {\rho }}_{i-1}+w_{i}{\vec {\beta }}+w_{i+1}{\vec {\rho }}_{i+1}+\dots +w_{n}{\vec {\rho }}_{n}\end{array}}} 得出以下结果。
v → + w → = ( v 1 + w 1 ) ρ → 1 + ⋯ + ( v i + w i ) β → + ⋯ + ( v n + w n ) ρ → n {\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}=(v_{1}+w_{1}){\vec {\rho }}_{1}+\dots +(v_{i}+w_{i}){\vec {\beta }}+\dots +(v_{n}+w_{n}){\vec {\rho }}_{n}} 根据行列式的定义， det ( ρ → 1 , … , v → + w → , … , ρ → n ) {\displaystyle \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}+{\vec {w}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})} − ( v 1 + w 1 ) ρ → 1 {\displaystyle -(v_{1}+w_{1}){\vec {\rho }}_{1}} v → + w → {\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}}
v → + w → − ( v 1 + w 1 ) ρ → 1 = ( v 2 + w 2 ) ρ → 2 + ⋯ + ( v i + w i ) β → + ⋯ + ( v n + w n ) ρ → n {\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}-(v_{1}+w_{1}){\vec {\rho }}_{1}=(v_{2}+w_{2}){\vec {\rho }}_{2}+\cdots +(v_{i}+w_{i}){\vec {\beta }}+\dots +(v_{n}+w_{n}){\vec {\rho }}_{n}} 然后，我们可以将 − ( v 2 + w 2 ) ρ → 2 {\displaystyle -(v_{2}+w_{2}){\vec {\rho }}_{2}}
det ( ρ → 1 , … , v → + w → , … , ρ → n ) {\displaystyle \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}+{\vec {w}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})} = det ( ρ → 1 , … , ( v i + w i ) ⋅ β → , … , ρ → n ) = ( v i + w i ) ⋅ det ( ρ → 1 , … , β → , … , ρ → n ) = v i ⋅ det ( ρ → 1 , … , β → , … , ρ → n ) + w i ⋅ det ( ρ → 1 , … , β → , … , ρ → n ) {\displaystyle {\begin{aligned}&=\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,(v_{i}+w_{i})\cdot {\vec {\beta }},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})\\&=(v_{i}+w_{i})\cdot \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})\\&=v_{i}\cdot \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})+w_{i}\cdot \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})\end{aligned}}} (使用等式(2)得到第二步)。最后，将 v i {\displaystyle v_{i}} w i {\displaystyle w_{i}} β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} v → {\displaystyle {\vec {v}}} w → {\displaystyle {\vec {w}}} v 1 ρ → 1 {\displaystyle v_{1}{\vec {\rho }}_{1}} v i β → {\displaystyle v_{i}{\vec {\beta }}} w 1 ρ → 1 {\displaystyle w_{1}{\vec {\rho }}_{1}} w i ρ → 1 {\displaystyle w_{i}{\vec {\rho }}_{1}}
多线性性允许我们将行列式展开成若干个行列式的和，每个行列式都包含一个简单的矩阵。
示例 3.4
我们可以利用多线性性将这个行列式拆分成两个，首先拆分第一行
| 2 1 4 3 | = | 2 0 4 3 | + | 0 1 4 3 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&0\\4&3\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1\\4&3\end{vmatrix}}} 然后将这两个中的每一个再拆分，沿着第二行拆分。
= | 2 0 4 0 | + | 2 0 0 3 | + | 0 1 4 0 | + | 0 1 0 3 | {\displaystyle ={\begin{vmatrix}2&0\\4&0\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&0\\0&3\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1\\4&0\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1\\0&3\end{vmatrix}}} 我们得到了四个行列式，每个矩阵的每一行都只有一个来自原始矩阵的元素。
示例 3.5
同样地，一个 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3} 1 , 3 {\displaystyle 1,3}
| 2 1 − 1 4 3 0 _ 2 1 5 | = | 2 0 0 4 3 0 _ 2 1 5 | + | 0 1 0 4 3 0 _ 2 1 5 | + | 0 0 − 1 4 3 0 _ 2 1 5 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&3&{\underline {0}}\\2&1&5\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&0&0\\4&3&{\underline {0}}\\2&1&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1&0\\4&3&{\underline {0}}\\2&1&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&0&-1\\4&3&{\underline {0}}\\2&1&5\end{vmatrix}}} 这三个中的每一个又会沿着第二行拆分成三个。最终得到的九个行列式，每一个都会沿着第三行拆分成三个，总共会得到二十七个行列式
= | 2 0 0 4 0 0 2 0 0 | + | 2 0 0 4 0 0 0 1 0 | + | 2 0 0 4 0 0 0 0 5 | + | 2 0 0 0 3 0 2 0 0 | + ⋯ + | 0 0 − 1 0 0 0 _ 0 0 5 | {\displaystyle ={\begin{vmatrix}2&0&0\\4&0&0\\2&0&0\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&0&0\\4&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&0&0\\4&0&0\\0&0&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&0&0\\0&3&0\\2&0&0\end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}0&0&-1\\0&0&{\underline {0}}\\0&0&5\end{vmatrix}}} 使得每行都包含来自起始矩阵的单个元素。
所以一个 n × n {\displaystyle n\!\times \!n} n n {\displaystyle n^{n}}
示例 3.6
在上述展开式中的这三个矩阵中，两个矩阵的行来自起始矩阵的同一列，例如，在第一个矩阵中， 2 {\displaystyle 2} 4 {\displaystyle 4}
| 2 0 0 4 0 0 0 1 0 | | 0 0 − 1 0 3 0 0 0 5 | | 0 1 0 0 0 0 _ 0 0 5 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&0&0\\4&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}\qquad {\begin{vmatrix}0&0&-1\\0&3&0\\0&0&5\end{vmatrix}}\qquad {\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&{\underline {0}}\\0&0&5\end{vmatrix}}} 任何这样的矩阵都是奇异的，因为在每个矩阵中，一行是另一行的倍数（或零行）。因此，根据 引理 2.3 ，任何这样的行列式都为零。
因此，上述 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3}
| 2 1 − 1 4 3 0 _ 2 1 5 | = | 2 0 0 0 3 0 0 0 5 | + | 2 0 0 0 0 0 _ 0 1 0 | + | 0 1 0 4 0 0 0 0 5 | + | 0 1 0 0 0 0 _ 2 0 0 | + | 0 0 − 1 4 0 0 0 1 0 | + | 0 0 − 1 0 3 0 2 0 0 | {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&3&{\underline {0}}\\2&1&5\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&0&0\\0&0&{\underline {0}}\\0&1&0\end{vmatrix}}\\&\quad +{\begin{vmatrix}0&1&0\\4&0&0\\0&0&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&{\underline {0}}\\2&0&0\end{vmatrix}}\\&\quad +{\begin{vmatrix}0&0&-1\\4&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&0&-1\\0&3&0\\2&0&0\end{vmatrix}}\end{array}}} 我们可以提出标量。
= ( 2 ) ( 3 ) ( 5 ) | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | + ( 2 ) ( 0 _ ) ( 1 ) | 1 0 0 0 0 1 0 1 0 | + ( 1 ) ( 4 ) ( 5 ) | 0 1 0 1 0 0 0 0 1 | + ( 1 ) ( 0 _ ) ( 2 ) | 0 1 0 0 0 1 1 0 0 | + ( − 1 ) ( 4 ) ( 1 ) | 0 0 1 1 0 0 0 1 0 | + ( − 1 ) ( 3 ) ( 2 ) | 0 0 1 0 1 0 1 0 0 | {\displaystyle {\begin{array}{rl}&=(2)(3)(5){\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+(2)({\underline {0}})(1){\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\\&\quad +(1)(4)(5){\begin{vmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+(1)({\underline {0}})(2){\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{vmatrix}}\\&\quad +(-1)(4)(1){\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+(-1)(3)(2){\begin{vmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}}\end{array}}} 最后，我们通过将这六个行列式行交换到单位矩阵，并跟踪由此产生的符号变化来计算它们。
= 30 ⋅ ( + 1 ) + 0 ⋅ ( − 1 ) + 20 ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ ( + 1 ) − 4 ⋅ ( + 1 ) − 6 ⋅ ( − 1 ) = 12 {\displaystyle {\begin{array}{rl}&=30\cdot (+1)+0\cdot (-1)\\&\quad +20\cdot (-1)+0\cdot (+1)\\&\quad -4\cdot (+1)-6\cdot (-1)=12\end{array}}}
这个例子说明了关键思想。我们已经将多线性应用于一个 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3} 3 3 {\displaystyle 3^{3}}
这些是置换矩阵。因此，可以按照以下三步方式计算行列式：*（步骤 1）* 对于每个置换矩阵，将原始矩阵中该置换矩阵为 1 的项乘在一起，*（步骤 2）* 将其乘以置换矩阵的行列式，*（步骤 3）* 对所有置换矩阵执行此操作并将结果加在一起。
为了将此表示为公式，我们引入了置换矩阵的符号。令 ι j {\displaystyle \iota _{j}} j {\displaystyle j} ι 2 {\displaystyle \iota _{2}} ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}} 1 {\displaystyle 1} 2 {\displaystyle 2} n {\displaystyle n} ι {\displaystyle \iota } 4 × 4 {\displaystyle 4\!\times \!4} 1 {\displaystyle 1} 4 {\displaystyle 4} ⟨ 3 , 2 , 1 , 4 ⟩ {\displaystyle \langle 3,2,1,4\rangle } ι {\displaystyle \iota }
( ι 3 ι 2 ι 1 ι 4 ) = ( 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\iota _{3}\\\iota _{2}\\\iota _{1}\\\iota _{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
示例 3.8
The 2 {\displaystyle 2} ϕ 1 = ⟨ 1 , 2 ⟩ {\displaystyle \phi _{1}=\langle 1,2\rangle } ϕ 2 = ⟨ 2 , 1 ⟩ {\displaystyle \phi _{2}=\langle 2,1\rangle }
P ϕ 1 = ( ι 1 ι 2 ) = ( 1 0 0 1 ) P ϕ 2 = ( ι 2 ι 1 ) = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle P_{\phi _{1}}={\begin{pmatrix}\iota _{1}\\\iota _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad P_{\phi _{2}}={\begin{pmatrix}\iota _{2}\\\iota _{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} 我们有时将排列写成函数，例如， ϕ 2 ( 1 ) = 2 {\displaystyle \phi _{2}(1)=2} ϕ 2 ( 2 ) = 1 {\displaystyle \phi _{2}(2)=1} P ϕ 2 {\displaystyle P_{\phi _{2}}} ι ϕ 2 ( 1 ) = ι 2 {\displaystyle \iota _{\phi _{2}(1)}=\iota _{2}} ι ϕ 2 ( 2 ) = ι 1 {\displaystyle \iota _{\phi _{2}(2)}=\iota _{1}}
三个元素的排列有以下六种： ϕ 1 = ⟨ 1 , 2 , 3 ⟩ {\displaystyle \phi _{1}=\langle 1,2,3\rangle } ϕ 2 = ⟨ 1 , 3 , 2 ⟩ {\displaystyle \phi _{2}=\langle 1,3,2\rangle } ϕ 3 = ⟨ 2 , 1 , 3 ⟩ {\displaystyle \phi _{3}=\langle 2,1,3\rangle } ϕ 4 = ⟨ 2 , 3 , 1 ⟩ {\displaystyle \phi _{4}=\langle 2,3,1\rangle } ϕ 5 = ⟨ 3 , 1 , 2 ⟩ {\displaystyle \phi _{5}=\langle 3,1,2\rangle } ϕ 6 = ⟨ 3 , 2 , 1 ⟩ {\displaystyle \phi _{6}=\langle 3,2,1\rangle }
P ϕ 2 = ( ι 1 ι 3 ι 2 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) P ϕ 5 = ( ι 3 ι 1 ι 2 ) = ( 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ) {\displaystyle P_{\phi _{2}}={\begin{pmatrix}\iota _{1}\\\iota _{3}\\\iota _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\qquad P_{\phi _{5}}={\begin{pmatrix}\iota _{3}\\\iota _{1}\\\iota _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}} 例如， P ϕ 5 {\displaystyle P_{\phi _{5}}} ι ϕ 5 ( 1 ) = ι 3 {\displaystyle \iota _{\phi _{5}(1)}=\iota _{3}} ι ϕ 5 ( 2 ) = ι 1 {\displaystyle \iota _{\phi _{5}(2)}=\iota _{1}} ι ϕ 5 ( 3 ) = ι 2 {\displaystyle \iota _{\phi _{5}(3)}=\iota _{2}}
定义 3.9
行列式的**排列展开式**是
| t 1 , 1 t 1 , 2 … t 1 , n t 2 , 1 t 2 , 2 … t 2 , n ⋮ t n , 1 t n , 2 … t n , n | = t 1 , ϕ 1 ( 1 ) t 2 , ϕ 1 ( 2 ) ⋯ t n , ϕ 1 ( n ) | P ϕ 1 | + t 1 , ϕ 2 ( 1 ) t 2 , ϕ 2 ( 2 ) ⋯ t n , ϕ 2 ( n ) | P ϕ 2 | ⋮ + t 1 , ϕ k ( 1 ) t 2 , ϕ k ( 2 ) ⋯ t n , ϕ k ( n ) | P ϕ k | {\displaystyle {\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&\ldots &t_{1,n}\\t_{2,1}&t_{2,2}&\ldots &t_{2,n}\\&\vdots \\t_{n,1}&t_{n,2}&\ldots &t_{n,n}\end{vmatrix}}={\begin{array}{l}t_{1,\phi _{1}(1)}t_{2,\phi _{1}(2)}\cdots t_{n,\phi _{1}(n)}\left|P_{\phi _{1}}\right|\\[.5ex]\quad +t_{1,\phi _{2}(1)}t_{2,\phi _{2}(2)}\cdots t_{n,\phi _{2}(n)}\left|P_{\phi _{2}}\right|\\[.5ex]\quad \vdots \\\quad +t_{1,\phi _{k}(1)}t_{2,\phi _{k}(2)}\cdots t_{n,\phi _{k}(n)}\left|P_{\phi _{k}}\right|\end{array}}} 其中 ϕ 1 , … , ϕ k {\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{k}} n {\displaystyle n}
| T | = ∑ permutations ϕ t 1 , ϕ ( 1 ) t 2 , ϕ ( 2 ) ⋯ t n , ϕ ( n ) | P ϕ | {\displaystyle \left|T\right|=\sum _{{\text{permutations }}\phi }\!\!\!\!t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}\left|P_{\phi }\right|} 读作“对所有排列 ϕ {\displaystyle \phi } t 1 , ϕ ( 1 ) t 2 , ϕ ( 2 ) ⋯ t n , ϕ ( n ) | P ϕ | {\displaystyle t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}\left|P_{\phi }\right|} t 1 , ϕ ( 1 ) t 2 , ϕ ( 2 ) ⋯ t n , ϕ ( n ) {\displaystyle t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}} | P ϕ | {\displaystyle \left|P_{\phi }\right|}
示例 3.10
可以用这种方式推导出熟悉的 2 × 2 {\displaystyle 2\!\times \!2}
| t 1 , 1 t 1 , 2 t 2 , 1 t 2 , 2 | = t 1 , 1 t 2 , 2 ⋅ | P ϕ 1 | + t 1 , 2 t 2 , 1 ⋅ | P ϕ 2 | = t 1 , 1 t 2 , 2 ⋅ | 1 0 0 1 | + t 1 , 2 t 2 , 1 ⋅ | 0 1 1 0 | = t 1 , 1 t 2 , 2 − t 1 , 2 t 2 , 1 {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}\\t_{2,1}&t_{2,2}\end{vmatrix}}&=t_{1,1}t_{2,2}\cdot \left|P_{\phi _{1}}\right|+t_{1,2}t_{2,1}\cdot \left|P_{\phi _{2}}\right|\\&=t_{1,1}t_{2,2}\cdot {\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+t_{1,2}t_{2,1}\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}}\\&=t_{1,1}t_{2,2}-t_{1,2}t_{2,1}\end{array}}} (第二个置换矩阵经过一次行交换就变成单位矩阵)。类似地， 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3}
| t 1 , 1 t 1 , 2 t 1 , 3 t 2 , 1 t 2 , 2 t 2 , 3 t 3 , 1 t 3 , 2 t 3 , 3 | = t 1 , 1 t 2 , 2 t 3 , 3 | P ϕ 1 | + t 1 , 1 t 2 , 3 t 3 , 2 | P ϕ 2 | + t 1 , 2 t 2 , 1 t 3 , 3 | P ϕ 3 | + t 1 , 2 t 2 , 3 t 3 , 1 | P ϕ 4 | + t 1 , 3 t 2 , 1 t 3 , 2 | P ϕ 5 | + t 1 , 3 t 2 , 2 t 3 , 1 | P ϕ 6 | = t 1 , 1 t 2 , 2 t 3 , 3 − t 1 , 1 t 2 , 3 t 3 , 2 − t 1 , 2 t 2 , 1 t 3 , 3 + t 1 , 2 t 2 , 3 t 3 , 1 + t 1 , 3 t 2 , 1 t 3 , 2 − t 1 , 3 t 2 , 2 t 3 , 1 {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&t_{1,3}\\t_{2,1}&t_{2,2}&t_{2,3}\\t_{3,1}&t_{3,2}&t_{3,3}\end{vmatrix}}&={\begin{aligned}&t_{1,1}t_{2,2}t_{3,3}\left|P_{\phi _{1}}\right|+t_{1,1}t_{2,3}t_{3,2}\left|P_{\phi _{2}}\right|+t_{1,2}t_{2,1}t_{3,3}\left|P_{\phi _{3}}\right|\\&\quad +t_{1,2}t_{2,3}t_{3,1}\left|P_{\phi _{4}}\right|+t_{1,3}t_{2,1}t_{3,2}\left|P_{\phi _{5}}\right|+t_{1,3}t_{2,2}t_{3,1}\left|P_{\phi _{6}}\right|\end{aligned}}\\&={\begin{aligned}&t_{1,1}t_{2,2}t_{3,3}-t_{1,1}t_{2,3}t_{3,2}-t_{1,2}t_{2,1}t_{3,3}\\&\quad +t_{1,2}t_{2,3}t_{3,1}+t_{1,3}t_{2,1}t_{3,2}-t_{1,3}t_{2,2}t_{3,1}\end{aligned}}\end{array}}}
使用排列展开计算行列式通常比高斯消元法耗时更长。但是，这里我们不是为了高效地进行计算，而是为了给出可以证明定义明确的行列式公式。虽然排列展开对于计算来说不切实际，但它在证明中很有用。特别是，我们可以用它来得到我们想要的结果。
定理 3.11
对于每个 n {\displaystyle n} n × n {\displaystyle n\!\times \!n}
证明将推迟到下一小节。下一结果的证明也在那里（它们有一些共同点）。
这个定理的结果是，虽然我们迄今为止在行方面陈述了结果（例如，行列式对其行是多线性的，行交换改变符号等），但所有结果在列方面也成立。最后的结论给出了例子。
推论 3.13
具有两列相等的矩阵是奇异的。列交换改变行列式的符号。行列式对其列是多线性的。
证明
对于第一个结论，对矩阵进行转置会得到一个行列式相同、两行相等的矩阵，因此行列式为零。另外两个结论的证明方式相同。
我们以一个总结结束（虽然最后一个小节包含了证明这两个定理的未完成工作）。行列式函数存在，是唯一的，并且我们知道如何计算它们。至于行列式究竟是关于什么的，也许这些行（Kemp 1982 ）可以帮助你记住它。行列式为零，
这些总结了本书中使用的 2 {\displaystyle 2} 3 {\displaystyle 3}
i 1 2 ϕ 1 ( i ) 1 2 ϕ 2 ( i ) 2 1 i 1 2 3 ϕ 1 ( i ) 1 2 3 ϕ 2 ( i ) 1 3 2 ϕ 3 ( i ) 2 1 3 ϕ 4 ( i ) 2 3 1 ϕ 5 ( i ) 3 1 2 ϕ 6 ( i ) 3 2 1 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}i&1&2\\\hline \phi _{1}(i)&1&2\\\phi _{2}(i)&2&1\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc}i&1&2&3\\\hline \phi _{1}(i)&1&2&3\\\phi _{2}(i)&1&3&2\\\phi _{3}(i)&2&1&3\\\phi _{4}(i)&2&3&1\\\phi _{5}(i)&3&1&2\\\phi _{6}(i)&3&2&1\end{array}}}
本练习建议所有读者尝试。
问题 1
使用排列展开式计算行列式。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}}
| 2 2 1 3 − 1 0 − 2 0 5 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&2&1\\3&-1&0\\-2&0&5\end{vmatrix}}}
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问题 2
使用高斯消元法和排列展开式公式计算以下行列式。
| 2 1 3 1 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&1\\3&1\end{vmatrix}}} | 0 1 4 0 2 3 1 5 1 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}0&1&4\\0&2&3\\1&5&1\end{vmatrix}}}
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问题 3
使用排列展开式公式推导 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3}
问题 4
列出所有 4 {\displaystyle 4}
问题 6
证明 f {\displaystyle f} v → , w → ∈ V {\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V} k 1 , k 2 ∈ R {\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {R} }
f ( ρ → 1 , … , k 1 v → 1 + k 2 v → 2 , … , ρ → n ) = k 1 f ( ρ → 1 , … , v → 1 , … , ρ → n ) + k 2 f ( ρ → 1 , … , v → 2 , … , ρ → n ) {\displaystyle f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k_{1}{\vec {v}}_{1}+k_{2}{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=k_{1}f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})+k_{2}f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})}
问题 7
找到该矩阵的排列展开式中唯一的非零项。
| 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\end{vmatrix}}} 通过求出关联排列的符号来计算该行列式。
问题 8
如果我们将定义中的性质 (4) 改为 | I | = 2 {\displaystyle \left|I\right|=2}
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问题 10
证明如果一个 n × n {\displaystyle n\!\times \!n} v → ∈ R n {\displaystyle {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}}
问题 12
证明一个 5 × 5 {\displaystyle 5\!\times \!5} 120 {\displaystyle 120} 如果 1 , 2 {\displaystyle 1,2}
问题 13
有多少个 n {\displaystyle n}
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问题 15
一个 4 × 4 {\displaystyle 4\!\times \!4}
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问题 16
如果我们有 n {\displaystyle n} ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots \,,(x_{n},y_{n})} p ( x ) = a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle p(x)=a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_{0}} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
| 1 1 … 1 x 1 x 2 … x n x 1 2 x 2 2 … x n 2 ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 … x n n − 1 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&\ldots &1\\x_{1}&x_{2}&\ldots &x_{n}\\{x_{1}}^{2}&{x_{2}}^{2}&\ldots &{x_{n}}^{2}\\&\vdots \\{x_{1}}^{n-1}&{x_{2}}^{n-1}&\ldots &{x_{n}}^{n-1}\end{vmatrix}}} 等于所有索引 i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}} i < j {\displaystyle i<j} x j − x i {\displaystyle x_{j}-x_{i}} x i {\displaystyle x_{i}}
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? 问题 19
九个正整数可以排列成 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3} 9 ! {\displaystyle 9!} Trigg 1963 )
问题 20
证明
| x − 2 x − 3 x − 4 x + 1 x − 1 x − 3 x − 4 x − 7 x − 10 | = 0. {\displaystyle {\begin{vmatrix}x-2&x-3&x-4\\x+1&x-1&x-3\\x-4&x-7&x-10\end{vmatrix}}=0.} (Silverman & Trigg 1963 )
? 问题 22
证明帕斯卡三角形左上角的 n 2 {\displaystyle n^{2}}
1 1 1 1 . . 1 2 3 . . 1 3 . . 1 . . . . {\displaystyle {\begin{array}{cccccc}1&1&1&1&.&.\\1&2&3&.&.\\1&3&.&.&&\\1&.&.&&&\\.\\.\end{array}}} 的值为1。 (Rupp & Aude 1931 )
解决方案
Kemp, Franklin (1982), "Linear Equations", American Mathematical Monthly , American Mathematical Society: 608 Silverman, D. L. (proposer); Trigg, C. W. (solver) (1963), "Quickie 237", Mathematics Magazine , American Mathematical Society, 36 (1) Strang, Gilbert (1980), Linear Algebra and its Applications (2nd ed.), Hartcourt Brace Javanovich Trigg, C. W. (proposer) (1963), "Quickie 307", Mathematics Magazine , American Mathematical Society, 36 (1): 77 Trigg, C. W. (proposer); Walker, R. J. (solver) (1949), "Elementary Problem 813", American Mathematical Monthly , American Mathematical Society, 56 (1) Rupp, C. A. (proposer); Aude, H. T. R. (solver) (1931), "Problem 3468", American Mathematical Monthly , American Mathematical Society, 37 (6): 355 
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ea5b08ddf850535e975de4e957cd93cecdfb73)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}{\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}3&4\\0&2/3\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca769c96e028a2353c25170effe294b86d424b3f)
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&\ldots &t_{1,n}\\t_{2,1}&t_{2,2}&\ldots &t_{2,n}\\&\vdots \\t_{n,1}&t_{n,2}&\ldots &t_{n,n}\end{vmatrix}}={\begin{array}{l}t_{1,\phi _{1}(1)}t_{2,\phi _{1}(2)}\cdots t_{n,\phi _{1}(n)}\left|P_{\phi _{1}}\right|\\[.5ex]\quad +t_{1,\phi _{2}(1)}t_{2,\phi _{2}(2)}\cdots t_{n,\phi _{2}(n)}\left|P_{\phi _{2}}\right|\\[.5ex]\quad \vdots \\\quad +t_{1,\phi _{k}(1)}t_{2,\phi _{k}(2)}\cdots t_{n,\phi _{k}(n)}\left|P_{\phi _{k}}\right|\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492a6002409713d21651ff2dedac1627c399319f)
