物理数学方法/向量空间

正如在初等物理学中所见，向量的概念，即具有“大小”和“方向”的量（无论这些是什么）在物理学的几个部分中非常方便。在这里，我们希望将这个想法放在线性代数的严格基础上，以方便其在物理学中的进一步应用。鼓励感兴趣的读者查阅线性代数以了解该主题的复杂细节。

向量空间

设$F$为域，设$V$为一个集合。$V$被称为在$F$上的向量空间，以及加法和标量乘法的二元运算，当且仅当

$\forall \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} \in V$

(i) $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$ ...(交换律)

(ii) $\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )=(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C}$ ...(结合律)

(iii) $\exists \mathbf {0} \in V$使得$\mathbf {A} +\mathbf {0} =\mathbf {A}$ ...(单位元)

(iv)$\exists (\mathbf {-A} )\in V$使得$\mathbf {A} +\mathbf {-A} =\mathbf {0}$ ...(逆元)

$\forall$ $a,b\in F$

(v) $(a+b)\mathbf {A} =a\mathbf {A} +b\mathbf {A}$

(vi)$a(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=a\mathbf {A} +a\mathbf {B}$

(vii)$a(b\mathbf {A} )=(ab)\mathbf {A}$

向量空间 $V$ 的元素被称为 **向量**，而标量域 $F$ 的元素被称为 **标量**。在大多数物理学问题中，标量域 $F$ 要么是实数集 $\mathbb {R}$，要么是复数集 $\mathbb {C}$。

向量空间的例子

(i) $\mathbb {R} ^{n}$ 在 $\mathbb {R}$ 上可以被看作是普通物理学中 “箭头” 型向量的空间。

(ii) 所有实系数多项式 $P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ 的集合在 $\mathbb {R}$ 上是一个向量空间。

(iii) 事实上，所有函数 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 的集合在 $\mathbb {R}$ 上也是一个向量空间，加法和标量乘法按通常方式定义。

虽然将向量看作 “箭头” 在大多数向量空间例子中都很好用，并且对解决问题很有帮助，但后两个例子特意给出了这种直觉失效的情况。

基

集合 $E\subset V$ 被称为 **线性无关** 当且仅当

$a_{1}\mathbf {E} _{1}+a_{2}\mathbf {E} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {E} _{n}=\mathbf {0}$ 意味着 $a_{1}=a_{2}=\ldots =0$，只要 $\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2},\ldots ,\mathbf {E} _{n}\in E$

如果对于每个 $\mathbf {A} \in V$，都存在 $e_{1},e_{2},\ldots$ 使得 $\mathbf {A} =e_{1}\mathbf {E} _{1}+e_{2}\mathbf {E} _{2}+\ldots$。（我们目前先不考虑项数的有限性）那么称集合 $E\subset V$ **覆盖** $V$。

如果集合 $B\subset V$ 线性无关，并且集合 $B$ 覆盖 $V$，则称集合 $B\subset V$ 是 $V$ 的 **基**。

如果一个向量空间有一个包含 $n$ 个元素的有限基，则称该向量空间是 **n 维** 的。

例如，我们可以考虑实数域上的向量空间 $\mathbb {R} ^{3}$。向量 $(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)$ 构成 $\mathbb {R} ^{3}$ 的多个可能的基之一。这些向量通常表示为 ${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$ 或者 ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$。

定理

令 $V$ 是一个向量空间，并令 $B=\{\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}$ 是 $V$ 的一个基。那么，$V$ 中的任何具有 $n+1$ 个元素的子集都是线性相关的。

证明

令 $E\subset V$ 且 $E=\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n+1}\}$

根据基的定义，存在标量 $a_{1i},a_{2i},\ldots ,a_{ni}$ 使得 $u_{i}=\displaystyle \sum _{m}a_{mi}\mathbf {b} _{m}$

因此我们可以写成 $\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}c_{i}\mathbf {u} _{i}=\mathbf {0}$ 作为 $\displaystyle \sum _{m=1}^{n}\sum _{i=1}^{n+1}c_{i}a_{mi}\mathbf {b} _{m}=\mathbf {0}$ 也就是说

$\displaystyle \sum _{m=1}^{n}c_{1}a_{1m}=0$
$\displaystyle \sum _{m=1}^{n}c_{2}a_{2m}=0$
$\ldots$
$\displaystyle \sum _{m=1}^{n}c_{n+1}a_{3(n+1)}=0$

该方程对于 $c_{i}$ 有非平凡解。因此，$E$ 是线性相关的。

如果一个向量空间有一个包含 $n$ 个元素的有限基，我们说该向量空间是 **n 维的**

内积

关于内积空间的深入探讨将在关于 希尔伯特空间 的章节中提供。这里我们希望使用基来介绍内积。

设 $V$ 是在 $\mathbb {R}$ 上的向量空间，设 $B=\{\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}$ 是 $V$ 的一个基。因此，对于 $V$ 中的每一个成员 $\mathbf {u}$，我们可以写成 $\mathbf {u} =\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}\mathbf {b} _{i}$。 $b_{i}$ 称为 $\mathbf {u}$ 相对于基 $B$ 的 **分量**。

我们将 **内积** 定义为一个二元运算 $(\cdot ):V\times V\to \mathbb {R}$ 作为 $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\displaystyle \sum _{i}x_{i}y_{i}$，其中 $x_{i},y_{i}$ 是 $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ 相对于 $B$ 的分量。

注意这里定义的内积本质上依赖于基。除非另有说明，我们将假设基为 ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$，在处理普通“向量”的内积时。

线性变换

设 $U$，$V$ 是 $F$ 上的向量空间。一个函数 $T:U\to V$ 被称为线性变换，如果对所有 $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\in U$ 和 $c\in F$ 满足

(i)$T(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2})=T(\mathbf {u} _{1})+T(\mathbf {u} _{2})$

(ii)$T(c\mathbf {u} _{1})=cT(\mathbf {u} _{1})$

现在设 $E=\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{m}\}$ 和 $F=\{\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\ldots ,\mathbf {f} _{n}\}$ 分别是 $U,V$ 的基。

设 $\mathbf {e'} _{i}=T(\mathbf {e} _{i})$。由于 $F$ 是一个基，我们可以写成 $\mathbf {e'} _{i}=\sum _{j}a_{ij}\mathbf {f} _{j}$.

因此，根据线性性，我们可以说如果$T(\mathbf {u} )=\mathbf {v}$，我们可以用$\mathbf {u}$的成分表示$\mathbf {v}$的成分，表示为$v_{j}=\sum _{i}u_{i}a_{ij}$

系数的集合$a_{ij}$被称为**矩阵**，写作

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$，我们可以说$T$可以表示为关于基$E,F$的矩阵$\mathbf {A}$

特征值问题

设$V$是实数域上的向量空间，设$T:V\to V$是线性变换。

形如 $T\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u}$ 的方程，用于求解 $\mathbf {u} \in V$ 和 $\lambda \in \mathbb {R}$，被称为特征值问题。解 $\lambda$ 被称为 $T$ 的特征值，而相应的 $\mathbf {u}$ 被称为特征向量或特征函数。（这里我们假设 $T\mathbf {u} =T(\mathbf {u} )$)