物理数学方法/向量空间

正如在初等物理学中所见，向量的概念，即具有“大小”和“方向”的量（无论这些是什么）在物理学的几个部分中非常方便。在这里，我们希望将这个想法放在线性代数的严格基础上，以方便其在物理学中的进一步应用。鼓励感兴趣的读者查阅维基教科书线性代数以了解该主题的复杂细节。

向量空间

设$F$为域，设$V$为一个集合。$V$被称为在$F$上的向量空间，以及加法和标量乘法的二元运算，当且仅当

$\forall \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} \in V$

(i) $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$ ...(交换律)

(ii) $\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )=(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C}$ ...(结合律)

(iii) $\exists \mathbf {0} \in V$使得$\mathbf {A} +\mathbf {0} =\mathbf {A}$ ...(单位元)

(iv)$\exists (\mathbf {-A} )\in V$使得$\mathbf {A} +\mathbf {-A} =\mathbf {0}$ ...(逆元)

$\forall$ $a,b\in F$

(v) $(a+b)\mathbf {A} =a\mathbf {A} +b\mathbf {A}$

(vi)$a(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=a\mathbf {A} +a\mathbf {B}$

(vii)$a(b\mathbf {A} )=(ab)\mathbf {A}$

向量空间 $V$ 的元素被称为 **向量**，而标量域 $F$ 的元素被称为 **标量**。在大多数物理学问题中，标量域 $F$ 要么是实数集 $\mathbb {R}$，要么是复数集 $\mathbb {C}$。

向量空间的例子

(i) $\mathbb {R} ^{n}$ 在 $\mathbb {R}$ 上可以被看作是普通物理学中 “箭头” 型向量的空间。

(ii) 所有实系数多项式 $P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ 的集合在 $\mathbb {R}$ 上是一个向量空间。

(iii) 事实上，所有函数 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 的集合在 $\mathbb {R}$ 上也是一个向量空间，加法和标量乘法按通常方式定义。

虽然将向量看作 “箭头” 在大多数向量空间例子中都很好用，并且对解决问题很有帮助，但后两个例子特意给出了这种直觉失效的情况。

基

集合 $E\subset V$ 被称为 **线性无关** 当且仅当

$a_{1}\mathbf {E} _{1}+a_{2}\mathbf {E} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {E} _{n}=\mathbf {0}$ 意味着 $a_{1}=a_{2}=\ldots =0$，只要 $\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2},\ldots ,\mathbf {E} _{n}\in E$

如果对于每个 $\mathbf {A} \in V$，都存在 $e_{1},e_{2},\ldots$ 使得 $\mathbf {A} =e_{1}\mathbf {E} _{1}+e_{2}\mathbf {E} _{2}+\ldots$。（我们目前先不考虑项数的有限性）那么称集合 $E\subset V$ **覆盖** $V$。

如果集合 $B\subset V$ 线性无关，并且集合 $B$ 覆盖 $V$，则称集合 $B\subset V$ 是 $V$ 的 **基**。

如果一个向量空间有一个包含 $n$ 个元素的有限基，则称该向量空间是 **n 维** 的。

例如，我们可以考虑实数域上的向量空间 $\mathbb {R} ^{3}$。向量 $(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)$ 构成 $\mathbb {R} ^{3}$ 的多个可能的基之一。这些向量通常表示为 ${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$ 或者 ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$。

定理

令 $V$ 是一个向量空间，并令 $B=\{\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}$ 是 $V$ 的一个基。那么，$V$ 中的任何具有 $n+1$ 个元素的子集都是线性相关的。

证明

令 $E\subset V$ 且 $E=\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n+1}\}$

根据基的定义，存在标量 $a_{1i},a_{2i},\ldots ,a_{ni}$ 使得 $u_{i}=\displaystyle \sum _{m}a_{mi}\mathbf {b} _{m}$

因此我们可以写成 $\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}c_{i}\mathbf {u} _{i}=\mathbf {0}$ 作为 $\displaystyle \sum _{m=1}^{n}\sum _{i=1}^{n+1}c_{i}a_{mi}\mathbf {b} _{m}=\mathbf {0}$ 也就是说

$\displaystyle \sum _{m=1}^{n}c_{1}a_{1m}=0$
$\displaystyle \sum _{m=1}^{n}c_{2}a_{2m}=0$
$\ldots$
$\displaystyle \sum _{m=1}^{n}c_{n+1}a_{3(n+1)}=0$

该方程对于 $c_{i}$ 有非平凡解。因此，$E$ 是线性相关的。

如果一个向量空间有一个包含 $n$ 个元素的有限基，我们说该向量空间是 **n 维的**

内积

关于内积空间的深入探讨将在关于 希尔伯特空间 的章节中提供。这里我们希望使用基来介绍内积。

设 $V$ 是在 $\mathbb {R}$ 上的向量空间，设 $B=\{\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}$ 是 $V$ 的一个基。因此，对于 $V$ 中的每一个成员 $\mathbf {u}$，我们可以写成 $\mathbf {u} =\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}\mathbf {b} _{i}$。 $b_{i}$ 称为 $\mathbf {u}$ 相对于基 $B$ 的 **分量**。

我们将 **内积** 定义为一个二元运算 $(\cdot ):V\times V\to \mathbb {R}$ 作为 $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\displaystyle \sum _{i}x_{i}y_{i}$，其中 $x_{i},y_{i}$ 是 $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ 相对于 $B$ 的分量。

注意这里定义的内积本质上依赖于基。除非另有说明，我们将假设基为 ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$，在处理普通“向量”的内积时。

线性变换

设 $U$，$V$ 是 $F$ 上的向量空间。一个函数 $T:U\to V$ 被称为线性变换，如果对所有 $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\in U$ 和 $c\in F$ 满足

(i)$T(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2})=T(\mathbf {u} _{1})+T(\mathbf {u} _{2})$

(ii)$T(c\mathbf {u} _{1})=cT(\mathbf {u} _{1})$

现在设 $E=\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{m}\}$ 和 $F=\{\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\ldots ,\mathbf {f} _{n}\}$ 分别是 $U,V$ 的基。

设 $\mathbf {e'} _{i}=T(\mathbf {e} _{i})$。由于 $F$ 是一个基，我们可以写成 $\mathbf {e'} _{i}=\sum _{j}a_{ij}\mathbf {f} _{j}$.

因此，根据线性性，我们可以说如果$T(\mathbf {u} )=\mathbf {v}$，我们可以用$\mathbf {u}$的成分表示$\mathbf {v}$的成分，表示为$v_{j}=\sum _{i}u_{i}a_{ij}$

系数的集合$a_{ij}$被称为**矩阵**，写作

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$，我们可以说$T$可以表示为关于基$E,F$的矩阵$\mathbf {A}$

特征值问题

设$V$是实数域上的向量空间，设$T:V\to V$是线性变换。

形如 $T\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u}$ 的方程，用于求解 $\mathbf {u} \in V$ 和 $\lambda \in \mathbb {R}$，被称为特征值问题。解 $\lambda$ 被称为 $T$ 的特征值，而相应的 $\mathbf {u}$ 被称为特征向量或特征函数。（这里我们假设 $T\mathbf {u} =T(\mathbf {u} )$)