数学证明和数学原理/预备知识/数学证明

现在我们已经谈论了陈述，让我们来谈谈数学家对它们做了什么，即试图说服人们它们是正确的。一般来说，“证明”是指旨在做到这一点的论证。在数学之外，存在许多类型的证明，例如，你可能会引用一个可靠的权威。在科学中，你可能会进行一个实验来测试该陈述是否正确。但在数学中，只有逻辑论证被接受为有效的证明。数学家可能会引用另一位数学家给出的结果，否则每个人都必须从头开始，但前提是证明已经过独立检查。

通过这种方式，数学成为一个非常平等的科学。至少在理论上，每个人在他们声称的内容是否可信方面都遵循相同的标准。

我们将更详细地介绍数学中使用的逻辑论证，但你可能想知道其他类型的论证以及为什么它们不被允许。

归纳推理

一种可能性是归纳推理（不要与稍后将要介绍的归纳证明混淆）。为了举例说明几何学，假设你已经测量了 100 个三角形的角度，并且发现每个三角形中的角度加起来都等于 180 度。你可能会形成一个假设，即三角形的角度始终加起来等于 180 度，并要求其他人通过尝试各种形状的三角形来检验这个假设。如果他们证实了这个假设，那么这个假设将被接受为科学事实。

这种论证方式的问题在于，它本质上不可靠。也许存在一种极其罕见的三角形，它的角度不加起来等于 180 度，而碰巧还没有人发现它。另一种可能性是，这个规则适用于正常大小的三角形，但如果它们小于原子或大于星系，则会失效。

在数学中，没有用逻辑论证证明但似乎是正确的陈述称为猜想。一个结果被证明是错误的猜想是莱昂哈德·欧拉在 1769 年提出的。它指出，不存在整数 a、b、c、d，使得

a⁴+b⁴+c⁴=d⁴

200 多年后，诺姆·埃尔基斯使用欧拉时代不存在的方法证明了这一点是错误的。推翻这个猜想的 a、b、c、d 的最小值是 a=2682440，b=15365639，c=18796760 和 d=20615673。类似于推翻猜想的东西称为反例。有许多猜想最终被证明，还有许多其他的命运仍然未知。

这并不是说收集数据在数学中毫无用处。它可以用来形成一个假设，这个假设可以被转化为一个定理，或者找到一个反例可以防止浪费时间试图证明一个错误的东西。

直觉

另一种证明数学陈述的可能性是诉诸直觉，简单地宣布它是显而易见的。再举一个几何学的例子，比如三角形两边的和永远不超过第三边。直觉告诉我们，如果你想从 A 到 B，最短的路线是在它们之间的直线上，而不是经过直线上其他点 C。但欧几里得仍然觉得有必要证明它。

直觉的问题在于，它臭名昭著地不可靠。一个被称为辛普森悖论的例子，涉及到当数据被分成组时统计比较如何变化。假设有一所大学正在为潜在学生准备一份宣传手册，并决定包括一些入学统计数据，以证明该大学的入学政策没有性别歧视。这所大学有两个项目，本科和研究生。本科项目收到 1100 份入学申请，其中 500 份来自男性，600 份来自女性。研究生项目收到 500 份申请，其中 300 份来自男性，200 份来自女性。这两个系都遵循严格的性别中立政策，录取了相同比例的男性和女性申请者，事实上，事实证明，女性在两个系中的录取率都略高于男性。看起来如果女性在两个系中都有优势，那么她们总体上也会有优势，但有时情况并非如此，如以下表格所示

	UG	Grad	总计
男性	100/500=20%	120/300=40%	220/800=27.5%
女性	126/600=21%	84/200=42%	210/800=26.25%

历史章节中也提供了一些案例，其中一些普遍的信念结果是错误的。例如，在微积分中，曾经有人认为一个连续函数必须有一个导数，至少对于除了一些例外值之外的所有值。事实上，魏尔斯特拉斯函数反驳了这一点。尽管如此，直觉仍然是一种有用的工具，可以用来创造新的猜想并为它们找到证明。

演绎推理

但仅仅演绎推理也有其问题。主要问题是，必须做出一些无法证明的假设。一些陈述可以在没有任何假设的情况下被证明，但这些陈述被称为“重言式”，从数学的角度来看，它们并不被认为是有趣的。例如

凡人皆有一死。

数字要么是偶数，要么不是偶数。

重言式的概念在逻辑学甚至算法研究中都很重要，但你永远不会称它为定理。

因此，数学必须做出一些初始的假设，即所谓的第一原理。它们现在通常被称为公理，但你可能还会听到它们被称为公设。但公理从何而来？我们如何判断它们是否正确？事实证明，这是一个难题。一种方法是退回到归纳和直觉，但我们又将面临上面列出的问题。另一种方法是将公理视为或多或少任意的假设，就像纸牌游戏中的规则一样。不同的规则会导致不同的游戏，不同的公理会导致不同类型的数学。