数学证明与数学原理/集合/历史

我们现在终于离开了逻辑学，正式进入数学领域。这部分关于集合论的介绍包括一些历史和哲学背景。

集合的发明

如果你是在集合在小学就被引入的一代人中长大的，那么你可能会惊讶地发现，现代集合的概念诞生不到 150 年。这个概念并非作为为数学建立正式基础的一种方式而产生的，而是作为研究相当专业领域的傅里叶分析的副产品而产生的。然而，仅仅一代人后，人们就发现集合可以用来为数字的概念提供逻辑基础，从那里就可以推导出所有数学。但是，当我们说“发现”时，我们应该补充说，这是当时人们的看法，现在又经过了几代人，最初的乐观情绪有所减退。

集合的概念实际上很简单，甚至可以说很枯燥。你可以把集合想象成一个没有任何内部结构或关系的物体袋。这是一个如此简单的概念，让人惊讶的是，为什么没有人早点想到这个概念，或者像数字的概念一样，它没有在世界各地的文明中独立产生。

也许问题在于这个概念太简单了，简单到似乎从它身上得不到任何有趣的东西。然而，尽管它很简单，但它却有一些微妙之处。例如，对于某个物体，比如苏格拉底，我们会区分物体本身和包含该物体的集合；在这个例子中，苏格拉底不是{苏格拉底}。

最初的想法

最初，集合的概念与谓词的概念相似；对于一个物体$x$，如果给定谓词$P(x)$ 为真，则它属于该集合，如果$P(x)$ 为假，则它不属于该集合。区别在于，对应于$P(x)$ 的集合变成了一个新的物体

$\{x:P(x)\}$

它现在成为了论域的一部分。这个想法如此简单，以至于当时有些人认为集合可以被归纳到逻辑中，既然数学可以被归纳到集合论中，那么所有数学都可以作为逻辑的一个分支推导出来。这个计划实际上是在 20 世纪初期尝试的，主要由弗雷格和罗素尝试。

罗素悖论

不久之后，这个所谓数学基础的裂缝就变得明显起来。最初，它们看起来很小，很容易修补，但后来罗素自己发现了一个主要的悖论，需要对已经产生的内容进行一些重大的重组才能挽救。

问题的根源在于没有足够小心地避免自指语句。事实上，悖论可以用不使用集合语言，而是只使用谓词来表达。如果谓词可以作为对象，那么就可以讨论谓词应用于其他谓词。然后可以问一个谓词是否对自身为真。因此，你可以定义一个谓词$P(x)$，表示$x(x)$，换句话说，$P(x)$ 为真，当且仅当 $x$ 是一个谓词且对 $x$ 为真。这还没有问题，但我们已经开始出现一些自指现象。从这里，只需一小步就可以定义谓词 $Q(x)$，表示非$x(x)$，换句话说，$Q(x)$ 为真，当且仅当 $x$ 是一个谓词且对 $x$ 为假。

悖论出现在我们试图确定 $Q(Q)$ 为真还是假时。如果 $Q(Q)$ 为真，那么由于其中一个要求是 $Q(Q)$ 为假，它不能说对自身为真，因此 $Q(Q)$ 为假。但如果 $Q(Q)$ 为假，那么我们可以检查要求，$Q(x)$ 是一个谓词且 $Q(Q)$ 为假，因此 $Q(Q)$ 为真。无论哪种方式，我们都会得到矛盾。这种机制与我们第一次讨论什么是语句时提到的说谎者悖论非常相似。这里根本原因，就像之前的悖论一样，是自指，虽然它不像之前那样直观。

如果使用集合论的语言，那么这个陈述就会变得简单一些。写$x\in y$ 当 $x$ 属于集合 $y$。（我们将在下一页对其进行更正式的定义。）我们定义 $Q$ 为集合 $\{x:\operatorname {not} x\in x\}$，并这次询问$Q\in Q$ 是否成立。同样，通过类似的论证，$Q\in Q$ 为真意味着它为假，而 $Q\in Q$ 为假意味着它为真。

解决悖论

由于悖论的根本原因是自指，因此避免它的方法是首先防止自指。罗素通过引入类型层次结构来做到这一点。粗略地说，简单对象位于最底层，类型为 0。简单对象的谓词位于下一层，类型为 1。该方案无限期地继续，每层上的谓词仅适用于较低层上的对象。利用这个想法，罗素和他的合著者阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德完成了将数学建立在逻辑基础上的计划，最终形成了多卷本的《数学原理》。虽然这是一部具有里程碑意义且具有影响力的作品，但它并没有完全成功地实现将数学建立在纯粹逻辑基础上的目标。一方面，类型层次结构的使用起来很麻烦，而且存在更简单的替代方案。第二个问题是，使用的一些公理具有明显的数学特征，而不是逻辑特征，而且该作品基于纯粹逻辑的说法难以维护。

避免自指的另一种方法，也是通过 Zermelo-Fraenkel 集合论公理被采用为标准的方法，是对哪些谓词可以转换成集合施加严格的限制。该理论中有一些一般的公理，以及近十个集合构造器，允许你为各种特定谓词创建新的集合。由于这些限制，自指被消除了，但构造器中仍然有足够的差异，可以构成大多数数学的基础。与罗素和怀特黑德的类型层次结构相比，它的缺点是，每个构造器都需要一个单独的公理，而且大多数构造器似乎是为特定数学结构而定制的。这意味着这些公理绝对不再仅仅基于逻辑，而且它们是否属实仍然是一个争论的话题。

我们将在下一节介绍一般的公理，并在需要的时候逐步添加构造器公理。