数学证明与数学原理/集合/元素与子集

正如我们之前提到的，集合论的基本概念是未定义的。事实上，术语“集合”仅仅意味着“对象”，因为集合论中的所有对象都是集合。

集合的元素

集合成员的概念是基础的，我们将这个关系作为公理 0。与“=”关系一样，我们保留一个符号“∈”来表示这种关系。

公理 S0: 在论域中存在一个关系“∈”，写成 $x\in y$ 并读作“x 是 y 的元素”、“x 在 y 中”、“x 被包含在 y 中”或“y 包含 x”。（最后两个短语含糊不清，应该谨慎使用。）

“∉”关系是根据“∈”定义的。

定义 SE1: 写成 $x\notin y,$ 当不 $x\in y.$

我们也可以定义逆关系，不过在实践中这并不常用。

定义 SE2: 写成 $x\ni y,$ 当 $y\in x.$

子集

下一个公理确定了两个集合何时相等，但首先定义一个集合是另一个集合的子集会更方便。我们写成 $y\subseteq z,$ 并说，“y 是 z 的子集”，意味着集合 y 中的所有元素都在集合 z 中。形式上

定义 SE3: 写成 $y\subseteq z,$ 当对于所有的 x，$x\in y$ 意味着 $x\in z.$

符号 $y\subseteq z$ 读作“y 是 z 的子集”、“y 被包含在 z 中”或“z 包含 y”。（最后两个短语也在公理 S0 中用于表示其他意思，因此它们是含糊不清的。依靠上下文来判断每种情况下指的是什么。）

直观地说，$y\subseteq z$ 意味着 $y$ 可以通过移除 $z$ 中的零个或多个元素而得到，或者 $z$ 可以通过添加 $y$ 中的零个或多个元素而得到。为了证明一个集合是另一个集合的子集，比如 $b\subseteq c$，首先选择一个任意的 $a$，然后假设 $a\in b$ 并推导出 $a\in c$。我们已经有两个定理，它们的证明留作练习。

例如，考虑集合 $A=\{1,2\}$ 和 $B=\{1,2,3\}$。我们有 $A\subseteq B$，因为 A 中的所有元素都在 B 中，但 $B\subseteq A$ 是错误的，因为 3 在 B 中，但不在 A 中。

定理 SE1： 对于所有 $x$，$x\subseteq x$。

定理 SE2： 对于所有 $x$，$y$ 和 $z$，$x\subseteq y$ 和 $y\subseteq z$ 意味着 $x\subseteq z$。

与 '∈' 关系一样，我们可以对 '⊆' 关系定义不同的变体

定义 SE4： 当不满足 $x\subseteq y.$ 时，写 $x\nsubseteq y,$。

定义 SE5： 当 $y\subseteq x.$ 时，写 $x\supseteq y,$。

定理 SE3： 如果对于某个 $x$，有 $x\in y$ 且 $x\notin z$，则有 $y\nsubseteq z$。

外延公理

正如我们在本章的历史部分提到的，集合被认为是对象的集合，没有内部组织或结构。换句话说，我们要求两个集合相同，只需要它们具有相同的元素。这与我们很快将正式定义的有序对形成对比，其中有序对取决于元素出现的顺序。例如，有序对 (1, 2) 与有序对 (2, 1) 不同，但集合 {1, 2} 与集合 {2, 1} 相同。

我们可以通过非正式地声明来捕捉这个想法：

当且仅当两个集合包含完全相同的元素时，它们是相等的。

更正式地，我们有以下公理：

公理 S1（外延公理）： 对于所有 $x$ 和 $y$，$x\subseteq y$ 且 $y\subseteq x$ 蕴涵着 $x=y$。

让我们来分解这个，看看它是否与上一段的直观描述相符。条件 $x\subseteq y$ 基本上说的是 $x$ 的每个元素都在 $y$ 中，而条件 $y\subseteq x$ 则表示 $y$ 的每个元素都在 $x$ 中。将它们放在一起，它就说明 $x$ 和 $y$ 具有相同的元素，并且由于集合是由其元素决定的，因此 $x$ 和 $y$ 必须是同一个东西。

有些作者将这个公理作为等式（至少对于集合）的定义，如果等式还没有被宣布为基本概念，我们也可以这样做。请注意，即使等式是如此定义的，我们仍然需要代入公理。

外延公理提供了一种证明两个集合相等的方法。为了证明 $y=z$，首先证明 $x\in y$ 意味着 $x\in z$，然后证明 $x\in z$ 意味着 $x\in y$。为了证明两个集合 *y* 和 *z* 不相等，只需展示一个 *x*，它在 *y* 中但不 在 *z* 中，或者它在 *z* 中但不 在 *y* 中。

例如，令 $A=\{1\}$ 且 $B=\{1,1\}$。如果 *x* 是 *A* 的元素，则 *x*=1，它在列表 1, 1 中，因此 *x* 是 *B* 的元素。另一方面，如果 *x* 是 *B* 的元素，则 *x*=1 或 *x*=1，这意味着 *x*=1，因此 *x* 是 *A* 的元素。因此，*A*=*B*。

作为两个不相等集合的例子，取 $A=\{1,2,3\}$ 且 $B=\{1,2\}$。然后 $A\neq B$，因为 $3\in A$ 但 $3\notin B$。

如果我们希望说 *x* 是 *y* 的子集，并排除 *x* 和 *y* 相等的可能性，那么就说 *x* 是 *y* 的 *真子集*。用符号表示为

定义 SE4: 当 $y\subseteq z$ 且 $y\neq z$ 时，写 $y\subset z,$ 。

关系 $\subseteq$ 和 $\subset$ 被称为包含关系。

空集

到目前为止，我们只讨论了两个集合相等或一个集合是另一个集合的子集的情况；我们还没有实际证明任何集合的存在。事实上，我们给出的公理到目前为止都适用于空宇宙，所以我们需要另一个公理来确保宇宙中存在某些东西。

存在公理告诉我们，至少存在一个集合，特别是没有元素的集合。该公理是自举集合论的起点，因为它为我们提供了第一个集合。它没有元素的事实使我们能够避免尚未定义其他集合的问题。

非正式地说，该公理声明

存在一个不包含任何元素的集合。

更正式地说

公理 S2（空集的存在）：对于某些 $x$，对于所有 $y$，$y\notin x$。

请注意，该公理只说明至少存在一个空集。它没有说明只有一个这样的集合。在我们可以定义“空集”并为其命名之前，我们还需要做一些工作。请记住，定义的要求是所讨论谓词的存在性和唯一性。

首先，我们定义谓词 $Empty(x)$ 的含义为

对于所有 $y$，不成立 $y\in x$

那么公理 S1 只是阐明了该谓词的存在性，换句话说

对于某些x，$Empty(x)$

为了证明唯一性，我们需要证明

定理 SE4: $Empty(x)$ 且 $Empty(y)$ 意味着 $x=y$

我们将证明留作练习，提示：证明每个集合都是另一个集合的子集，然后应用公理 S1。

由于只有一个空集，我们可以称之为空集，并为其定义一个符号，即 $\varnothing$。我们也可以将其表示为 $\{\}$。正式地说

定义 SE5: 空集，记为 ∅ 或 {}，被定义为该集合，对于该集合

对于所有 $y$，不成立 $y\in \varnothing$。

请注意符号∅与某些北欧语言中使用的字母ø相似，但实际上是不同的。

定理 SE6: 对于所有$x$，$\varnothing \subseteq x$.

证明留作练习。如果你把$x\subseteq y$理解为$x$在某种意义上小于$y$，那么∅是最小的集合。自然地，人们会问是否存在最大的集合，但答案是否定的。为了避免诸如罗素悖论（在本章引言中描述）之类的問題，这样的集合是不存在的。

定理 SE7: 对于所有$x$，如果$x\neq \varnothing$，则存在$y$，使得$y\in x$

证明再次留作练习。