数学证明与数学原理/集合/对

到目前为止，我们唯一证明存在的集合是 ∅。下一条公理允许我们从现有集合创建新集合，因此从 ∅ 开始，我们可以构建无限多个新集合。

无序对

对的公理基本上说，如果我们有两个集合，x 和 y，那么我们可以形成新的集合 {x. y}。你可能想知道为什么我们不从单元素集合开始，但是由于 {x, x} = {x}，公理也同时形成单元素集合。与存在公理一样，对的公理实际上只说存在一个元素为 x 和 y 的集合，但我们需要证明唯一性才能定义符号。

非正式地说，公理指出

如果 x 和 y 是集合（不一定不同），那么存在一个集合 z，使得对于所有 u，$(u\in z)$ 当且仅当 $(u=x$ 或 $u=y)$。

用更精确的逻辑形式

公理 S3（对的公理）： 对于所有 'x' 和 'y'，对于某个 z，对于所有 u，

$(u\in z)$ 当且仅当 $(u=x$ 或 $u=y)$。

定义 给定两个集合 $A$ 和 $B$，我们定义 $A$ 和 $B$ 的无序对 是一个仅包含 $A$ 和 $B$ 的集合。我们将其表示为 $\{A,B\}$。

配对公理没有说明$A$ 和 $B$ 必须不同。考虑无序对 $\{A,A\}$。扩展性公理告诉我们，它等于集合 $\{A\}$。

示例 令$A=B=\emptyset$。然后公理表明存在一个包含$A$ 和 $B$ 的集合。它是集合 $S=\{\emptyset ,\emptyset \}=\{\emptyset \}$。$\square$

示例中的集合$S$ 与空集不同，因为$\emptyset$ 是空的，而$S$ 包含空集作为元素。因此这两个集合包含不同的元素。

当然我们可以继续使用配对公理来创建新的集合。例如 $T=\{S,\emptyset \}=\{\{\emptyset \},\emptyset \}$ 是一个与空集和集合 $S$ 不同的集合，等等。

实际上，我们可以使用这个过程创建无限多个不同的集合。但是，每个这样的集合要么包含一个元素，要么包含两个元素。

有序对

如果集合总是无序的，人们可能想知道如何用集合来定义有序的数学对象。以下对有序对的巧妙定义归功于库拉托夫斯基。

定义 给定一个集合 $A$ 和 $a,b\in A$，$a$ 和 $b$ 的 有序对，记作 $(a,b)$，是集合 $\{\{a\},\{a,b\}\}$。

以下定理表明有序对具有我们期望它们具有的性质。

定理 当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$ 时，我们有 $(a,b)=(c,d)$。

证明 显然，如果 $a=c$ 且 $b=d$，则

$\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}.$

(1)

为了证明逆命题，假设 (1) 成立。

首先我们来处理 $a\neq b$ 的情况。在这种情况下，$\{a\}\neq \{a,b\}$，因此 $c\neq d$，否则 $\{\{c\},\{c,d\}\}=\{\{c\},\{c,c\}\}=\{\{c\},\{c\}\}=\{\{c\}\}$，从 (1) 中我们有 $\{a\}=\{c\}=\{a,b\}$，这将是一个矛盾。

但如果 $c\neq d$，则 $\{c,d\}\neq \{a\}$，因此为了使等式 (1) 两侧的元素相同，我们必须有 $\{a\}=\{c\}$ 并且 $\{a,b\}=\{c,d\}$。但第一个推论意味着 $a=c$。因此 $\{a,b\}=\{c,d\}=\{a,d\}$。由于 $a\neq b$，这意味着 $b=d$。

现在我们处理 $a=b$ 的情况。在这种情况下，$\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}.$

因此 $\{c\}=\{a\}=\{c,d\}$。因此 $a=b=c=d$。

在这两种情况下，$a=c$ 并且 $b=d$。 $\square$

有序元组

我们可以使用库拉托夫斯基的有序对定义来定义有序三元组。

定义 我们定义有序三元组 $(a,b,c)$ 为 $(a,(b,c))$.

显然，我们可以将定义扩展到 $n$-元组，对于任何 $n$.

定义 我们定义有序 $n$-元组 $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ 为 $(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))$.

练习

• 展示如何生成无限多个仅包含一个元素的不同集合。对于包含两个元素的集合，执行相同的操作。
• 假设 $\{a\}=\{b,c\}$。证明 $b=c$.
• 证明，如果按维纳的方式定义有序对，即 $(a,b)=\{\{\{a\},\emptyset \},\{\{b\}\}\}$，则 $(a,b)=(c,d)$ 当且仅当 $a=b$ 且 $c=d$，就像库拉托夫斯基的定义一样。
• 给定库拉托夫斯基的有序对定义，证明上面定义的有序三元组是一个包含一个或两个元素的集合。