数学证明与数学原理/集合/并集和交集

集合的并集

并集是允许我们形成具有超过两个元素的集合的构造。它允许我们获取现有的集合并形成一个包含所有这些集合的元素的单个集合。

公理（并集）

给定一个集合 $S$，存在一个集合 $U$，使得 $x\in U$ 当且仅当 $x\in A$ 对于某些 $A\in S$。

定义 给定一个集合 $S$，我们称一个集合 $U$，如同在并集公理中一样，是关于 $S$ 的一个并集，并将其表示为 $\bigcup S$。

示例 令 $A=\{1,2,3\}$，$B=\{1,2\}$ 以及 $C=\{1,5\}$。现在令 $S=\{A,B,C\}$。那么 $\bigcup S=\{1,2,3,5\}$。 $\square$

定理 给定一个集合 $S$，如同在并集公理中一样，关于 $S$ 的并集是唯一的。

证明 如果 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 都是对 $S$ 的并集，那么 $x\in U_{1}$ 当且仅当 $x\in A$ 对于某些 $A\in S$。类似地，$x\in U_{2}$ 当且仅当 $x\in A$ 对于某些 $A\in S$。因此 $x\in U_{1}$ 当且仅当 $x\in U_{2}$，因此根据外延性，$U_{1}=U_{2}$。 $\square$

我们以如下方式恢复两个集合并集的熟悉定义。

定义 如果 $S=\{A,B\}$，我们用 $\bigcup S$ 表示 $A\cup B$，并称其为 $A$ 和 $B$ 的 *并集*。

定理 如果 $A$ 和 $B$ 是集合，那么 $A\cup B$ 是一个集合。

证明 由配对公理，$S=\{A,B\}$ 是一个集合。 因此根据并集公理，$A\cup B=\bigcup S$ 是一个集合。 $\square$

理解

理解允许我们从现有集合中选择具有特定属性的元素。 理解公理模式说，这样的选择定义了集合。

我们在理解中可以使用的属性几乎没有限制，除了它们必须用集合论和形式逻辑语言中的公式来指定。

我们首先定义公式的含义。

定义 一个公式可以包含变量 $x_{1},x_{2},\ldots$，我们允许无限供应，以及常量，即特定集合 $A_{1},A_{2},\ldots$，必须使用以下有限个来构建

• 形式为 $u\in v$ 和 $u=v$ 是公式，称为原子公式，对于所有变量和常量 $u$ 和 $v$。

• 如果 $P$ 和 $Q$ 是公式，那么 $P\vee Q$，$P\wedge Q$，$\neg P$，$(P\rightarrow Q)$ 和 $(P\leftrightarrow Q)$ 是公式。

• 如果 $P$ 是一个公式，那么 $\forall x_{i}P$ 和 $\exists x_{i}P$ 都是公式。

这里 $\vee$ 代表逻辑或，$\wedge$ 是逻辑与，$\neg$ 是逻辑否定，$\rightarrow$ 是蕴含，$\leftrightarrow$ 代表当且仅当，我们通常缩写为iff。

表达式 $\forall x$ 被称为全称量词。它表示对于所有集合 $x$。表达式 $\exists x$ 是一个存在量词。它表示存在一个集合 $x$。

例子 给定一个集合 $A$，表达式 $P(x,A)=\forall y(x\in y)\vee (x\in A)$ 是一个公式的例子。 $\square$

虽然符号 $\subseteq$，$\subset$ 等，以及 $\exists !$ 表示存在唯一的，不是形式语言的一部分，我们可以用集合论的现有语言来定义它们。

例如，$A\subseteq B$ 可以写成 $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$。类似地，$\exists !xP(x)$ 可以写成 $\exists x(P(x)\wedge \forall y(P(y)\rightarrow y=x))$.

定义 在一个公式中，任何形式为 $\forall x_{i}P$ 或 $\exists x_{i}P$ 的表达式内的变量 $x_{i}$ 被称为绑定 的。公式中所有其他变量被称为自由 或公式的参数。

我们现在可以陈述理解公理模式。

公理模式（理解）

对于集合 $A$ 和性质 $P(x,A)$，存在一个集合 $B$，它包含满足性质 $P(x,A)$ 的所有 $x\in A$。

请注意，这不是一个公理，而是对于每个可能的性质都有一个公理。我们将这样的公理集合称为公理模式。

从技术上讲，公式 $P(x,A)$ 可以有有限个自由变量，所以有时表示为 $P(x,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},A)$，其中 $y_{i}$ 是自由变量。但我们现在暂时忽略这个技术细节，只写 $P(x,A)$.

定理 集合 $A$ 中满足性质 $P(x,A)$ 的元素的集合是唯一的。

证明 如果存在两个这样的集合$S_{1}$ 和 $S_{2}$，那么$x\in S_{1}$ 当且仅当 $x\in A$ 且 $P(x,A)$ 成立。然而，这种情况当且仅当 $x\in S_{2}$。因此 $x\in S_{1}$ 当且仅当 $x\in S_{2}$，结果由外延性得出。 $\square$

定义 对于集合 $A$ 中满足 $P(x,A)$ 的所有元素的集合记为 $\{x\in A\;|\;P(x,A)\}$。

我们可以将竖线读作“使得”。

示例 如果 $A=\{1,2,3\}$，那么 $\{x\in A\;|\;x\neq 2\}=\{1,3\}$。

理解公理模式有时被称为子集公理模式或规格化公理模式，因为它保证由公式指定的任何集合的子集都是一个集合。

集合的交集

我们可以用理解来定义两个集合的熟悉交集。

  $A\cap B=\{x\in A\cup B\;|\;x\in A\;{\mbox{and}}\;x\in B\}.$

理解中的公式由集合语言中的两个谓词组成，即 $(x\in A)$ 和 $(x\in B)$，由形式逻辑中的逻辑合取“且”连接。

更一般地，我们有以下结论。

定义 令 $S$ 是一个集合的集合。在 $S$ 上的交集定义为

  $\bigcap S=\{x\in \bigcup S\;|\;x\in A\;{\mbox{for all}}\;A\in S\}.$

示例 令 $A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,5\}$ 以及 $C=\{1,2,3,4\}$。如果 $S=\{A,B,C\}$，那么 $\bigcap S=\{2,3\}$。

定理 令 $S$ 是一个集合的集合。那么 $\bigcap S$ 是一个集合。

证明 根据并集和理解公理，这是一个集合。 $\square$

以下是另一个有用的定义。

定义 两个集合 $A$ 和 $B$ 被称为不相交，如果 $A\cap B=\emptyset$。

示例 集合 $A=\{1,2,3\}$ 和 $B=\{4,5\}$ 是不相交的，因为它们的交集为空。

练习

• 证明如果 $A$ 和 $B$ 是集合，那么 $A\subseteq B$ 当且仅当 $A\cup B=B$。

• 令 $A$，$B$ 和 $C$ 为集合。证明存在一个集合，其元素为 $A$，$B$ 和 $C$。

• 假设 $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ 和 $Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}$ 是集合，且 $X_{i}\subseteq Y_{i}$ 对所有 $i$ 成立。令 $S=\{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\}$ 和 $T=\{Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}\}$。证明 $\bigcap S\subseteq \bigcap T$。