数学证明与数学原理/集合/幂集

幂集

幂集允许我们讨论给定集合$A$的所有子集的类，即$\{U\;|\;U\subseteq A\}$。这是一个集合是幂集公理的主题。

公理

给定一个集合$A$，存在一个集合的集合$S$，使得$U\in S$当且仅当$U\subseteq A$。

定理 给定一个集合$A$，存在一个唯一的集合，其元素是$A$的子集。

证明 如果$S_{1}$和$S_{2}$是两个这样的子集集合，那么$U\in S_{1}$当且仅当$U\subseteq A$。但$S_{2}$也是如此。因此，根据外延公理，$U\in S_{1}$当且仅当$U\in S_{2}$，所以$S_{1}=S_{2}$。 $\square$

定义 给定一个集合 $A$，所有 $A$ 的子集组成的集合称为 $A$ 的幂集。它用 ${\mathcal {P}}(A)$ 表示。

示例 如果 $A=\{a,b,c\}$ 那么 ${\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$。

笛卡尔积

回忆一下有序对的 Kuratowski 定义，$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ 对于 $a$ 和 $b$ 是集合 $A$ 的元素。注意 $\{a\}$ 和 $\{a,b\}$ 都是 $A$ 的子集，即它们是幂集 ${\mathcal {P}}(A)$ 的元素。

这意味着 $(a,b)$ 是 ${\mathcal {P}}(A)$ 的子集，即 $(a,b)\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A))$。

我们可以用一个简单的技巧略微概括一下。我们可以定义$(a,b)$，其中$a\in A$ 和 $b\in B$，对于集合 $A$ 和 $B$。为此，我们只需从集合 $A\cup B$ 的并集中取元素 $a$ 和 $b$。

换句话说，我们有$(a,b)\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))$，其中$a\in A$ 和 $b\in B$。

定理 所有元素的序偶 $(a,b)$ 的类，其中 $a\in A$ 和 $b\in B$，是一个集合。

证明 该集合由$\{x\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))\;|\;x=(a,b),a\in A\;{\mbox{and}}\;b\in B\}$ 给出。根据幂集、并集和理解公理模式，这是一个集合。$\square$

定义 由序偶 $(a,b)$ 组成的集合，其中 $a\in A$ 且 $b\in B$，被称为 $A$ 和 $B$ 的 笛卡尔积，记作 $A\times B$。

练习

• 证明对于集合 $A,B,C,D$，有 $(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$。

• 证明对于集合 $A,B,C$，有 $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$。

• 证明对于集合 $A,B,C$，有 $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$。

• 证明对于集合 $A,B,C$，其中 $A\subseteq B$，有 $A\times C\subseteq B\times C$。