数学证明与数学原理/集合/类与基础

基础

大多数数学可以在没有基础公理的情况下完成，但它消除了许多病态情况，否则会使集合论变得复杂。

例如，基础公理排除了形式为 $S=\{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \}$ 的集合，其中 $a_{2}\in a_{1}$，$a_{3}\in a_{2}$ 等。它还排除了包含自身的集合。

稍后我们还将看到，基础公理可以与替换公理模式一起使用（我们尚未定义），以表明集合不能无限嵌套。所有集合都可以从底部构建。

公理（基础）

每个非空集合 $S$ 包含一个与 $S$ 不相交的元素。

基础公理有时被称为正则性公理。

基础公理的直接结果之一如下。

定理 如果 $S$ 是一个集合，那么 $S\notin S$。

证明 考虑集合 $\{S\}$，它是根据配对公理定义的集合。根据基础公理，该集合必须包含一个与其不相交的元素。但是，唯一的元素是 $S$，因此 $S$ 必须与 $\{S\}$ 不相交。由于 $\{S\}$ 包含 $S$，这意味着 $S$ 不能包含 $S$。 $\square$

另一种方法是证明以下更一般的结论，然后将其专门用于 $X=Y$。

定理 如果 $X$ 和 $Y$ 是集合，那么我们不可能同时有 $X\in Y$ 和 $Y\in X$。

证明 考虑集合 $\{X,Y\}$，它是根据配对公理定义的集合。根据基础公理，它必须包含一个与其不相交的元素。因此，要么 $X$ 要么 $Y$ 与 $\{X,Y\}$ 不相交。

因为 $\{X,Y\}$ 包含 $X$ 和 $Y$，那么要么 $Y\notin X$，要么 $X\notin Y$。 $\square$

现在我们将证明不存在形式为 $S=\{a_{1},a_{2},\ldots \}$ 的集合，其中 $a_{i+1}\in a_{i}$ 对所有 $i$ 成立。

定理 不存在一个集合 $S$ 具有这样的性质：对于所有 $x\in S$ 都存在 $y\in S$ 使得 $y\in x$。

证明 这直接从基础公理得出，因为每个元素 $x\in S$ 与 $S$ 有共同元素，即假设存在的元素 $y\in x$。 $\square$

练习

• 令 $T=\{S,\{S\}\}$。使用基础公理证明 $S\neq T$。