拓扑/度量空间

在我们开始之前

在我们以最广泛的意义讨论拓扑空间之前，我们将首先关注一种特殊的拓扑空间，即度量空间。这个抽象有大量的有用特例，因此值得我们特别关注。此外，这个抽象生动形象且易于理解；它将最终引导我们进入拓扑空间的完整抽象。

度量空间

定义

一个 度量空间 是一个 笛卡尔对 $(X,d)$ 其中 $X$ 是一个非空的 集合 并且 $d:X\times X\to [0,\infty )$，是一个被称为度量的函数，它满足以下要求：对于所有 $a,b,c\in X$

1. $d(a,b)=0$ 当且仅当 $a=b$
2. $d(a,b)=d(b,a)$ (对称性)
3. $d(a,c)\leq d(a,b)+d(b,c)$ (三角不等式)

请注意，有些作者不要求度量空间非空。当我们谈论具有度量 $d$ 的度量空间 $X$ 时，我们将用 $(X,d)$ 来表示。

示例

• 一个重要的例子是离散度量。它可以定义在任何非空集合 X 上，如下所示

$d(x,y)={\begin{cases}1&:x\neq y\\0&:x=y\end{cases}}$

• 在实数集 $\mathbb {R}$ 上，定义 $d(x,y)=|x-y|$（$x$ 和 $y$ 之间的绝对距离）。
  为了证明这确实是一个度量空间，我们必须证明 $d$ 确实是度量。首先，对于任何实数 $x$ 和 $y$，$d(x,y)=|x-y|\geq 0$。
  • $d(x,y)=|x-y|=0\iff (x-y)=0\lor -(x-y)=0\iff x=y$
  • $d(x,y)=|x-y|=|y-x|=d(y,x)$
  • $d(x,z)=|x-z|=|x-y+y-z|={\bigr |}(x-y)+(y-z){\bigr |}\leq |x-y|+|y-z|=d(x,y)+d(y,z)$
• 将平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 作为空间，并设 $d{\bigl (}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}){\bigr )}={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$.

这是 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 之间的欧几里得距离。

• 我们可以将前面两个例子进行推广。设 $V$ 为一个 赋范向量空间（在 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ 上）。我们可以定义度量为：$d(x,y)=\|x-y\|$。因此每个赋范向量空间都是一个度量空间。
• 对于向量空间 $\mathbb {C} ^{n}$，我们有一个有趣的范数。设 $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 和 $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ 是 $\mathbb {C} ^{n}$ 的两个向量。我们定义 p-范数：$\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$。对于每个 $p$-范数，都存在一个基于它的度量。$p$ 的一些有趣情况是：
  • $p=1$。度量是 $d(x,y)=\|x-y\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|$
  • $p=2$。度量是传统的欧几里得度量 $d(x,y)=\|x-y\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{2}}}$

  • $p=\infty$。这有点令人惊讶：$d(x,y)=\|x-y\|_{\infty }=\max _{i=1\ldots n}{\bigl \{}|x_{i}-y_{i}|{\bigr \}}$

    作为一个练习，你可以证明 $\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}=\max _{i=1\ldots n}\{|x_{i}|\}$，因此证明了 $\|\cdot \|_{\infty }$ 的定义是合理的。

• 球体上两点之间的 大圆距离 是一个度量。
• 希尔伯特空间是定义在无限序列空间上的一个度量空间，这个空间包含所有满足 $\sum _{i=1}^{\infty }a_{k}^{2}$ 收敛的无限序列 $\{a_{k}\}$。其度量定义为 $d{\bigl (}\{a_{i}\},\{b_{i}\}{\bigr )}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(a_{i}-b_{i})^{2}}}$。

• **埃尔德什数**的概念暗示了在所有数学家集合上定义的度量。假设 $x,y$ 是两位数学家，我们定义 $d(x,y)$ 为：

  这个度量很容易推广到任何自反关系（或无向图，两者是一样的）。

  请注意，如果我们改为定义 $d(x,y)$ 为 $x,y$ 的 Erdős 数之和，那么 $d$ 将不会是一个度量，因为它将不满足 $d(x,y)=0\iff x=y$。例如，如果 $x=y$ = Stanisław Ulam，那么 $d(x,y)=2$。

注意

在本章中，我们将参考度量空间。每个度量空间都带有一个度量函数。因此，度量函数可能不会被明确提及。这有几个原因。

• 我们不想让文本过于模糊。
• 我们对它没有特殊之处要说。
• 该空间具有“自然”度量。例如，$\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}$ 的“自然”度量是欧几里得度量 $d_{2}$。

由于这是一个维基百科页面，如果出于某种原因您认为度量值得提及，您可以更改文本（如果您确定自己知道自己在做什么）或在讨论页面上报告它。

开球

动机

开球是度量空间拓扑的基本要素。我们将通过它来定义直观的拓扑定义（稍后将转换为真正的拓扑定义），并将微积分中性质的定义（例如收敛性和连续性）直观地转换为拓扑定义。我们将尝试展示度量空间的许多定义如何也可以用“开球语言”写出来。然后我们可以立即将定义转换为拓扑定义。

定义

给定一个度量空间 $(X,d)$，以 $p$ 为中心、半径为 $r$ 的 **开****球** 定义为集合

$B_{r}(p)={\bigl \{}x\in X:d(x,p)<r{\bigr \}},(r\in \mathbb {R} ^{+})$

直观地说，它是空间中所有距离某个点 $p$ 小于 $r$ 的所有点。

示例

为什么这被称为球？让我们看看$\mathbb {R} ^{3}$的情况。

$d{\bigl (}(x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3}){\bigr )}={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}$

因此 $B_{r}{\bigl (}(0,0,0){\bigr )}$ 正是 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}<r^{2}$ – 以 $(0,0,0)$ 为中心，半径为 $r$ 的球体。在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，球被称为 开球，因为它不包含球体 ($x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}$）。

单位球 是半径为 1 的球。让我们来看一些$B_{1}{\bigl (}(0,0){\bigr )}$ $\mathbb {R} ^{2}$ 单位球的例子，它们具有不同的$p$-范数诱导度量。具有范数 $\|\cdot \|_{p}$ 的 $\mathbb {R} ^{2}$ 单位球是

$B_{1}{\bigl (}(0,0){\bigr )}={\Big \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:d{\bigl (}(x,y),(0,0){\bigr )}<1{\Big \}}={\Big \{}(x,y):{\bigl \|}(x,y)-(0,0){\bigr \|}_{p}<1{\Big \}}={\Big \{}(x,y):\|(x,y)\|_{p}<1{\Big \}}={\Big \{}(x,y):{\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}}<1{\Big \}}$

• 由 $\|\cdot \|_{1}$ 诱导的度量，在这种情况下，单位球为：$|x|+|y|<1$

• 由 $\|\cdot \|_{2}$ 诱导的度量，在这种情况下，单位球为：${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<1$

• 由 $\|\cdot \|_{\infty }$ 诱导的度量，在这种情况下，单位球为：$\max {\bigl \{}|x|,|y|{\bigr \}}<1$

正如我们所见，单位球并不一定像真正的球体。事实上，有时单位球可以是一个点。

• 离散度量，单位球为 $B_{1}{\bigl (}(0,0){\bigr )}={\Big \{}d{\bigl (}(0,0),(x,y){\bigr )}<1{\Big \}}={\Big \{}d{\bigl (}(0,0),(x,y){\bigr )}=0{\Big \}}=\{(0,0)\}$

集合的内部

定义

定义：我们说 x 是 A 的内部点iff 存在一个$\epsilon >0$ 使得：$B_{\epsilon }(x)\subseteq A$。直观地讲，这意味着 x 确实在 A '内部' - 因为它包含在 A 内部的一个球体中 - 它不靠近 A 的边界。

图示

内部点	非内部点

定义：集合 A 的内部 是 A 中所有内部点的集合。集合 A 的内部用 $\operatorname {int} (A)$ 表示。有用的符号：$\operatorname {int} (S)=\{x\in S|x{\text{ is an interior point of }}S\}$ 和 $\operatorname {int} (S)=\cup \{A\subseteq S|A{\text{ is open }}\!\!\}\!\!{\text{ }}$.

性质

int 的一些基本性质（对于任何集合 A，B）

• $\operatorname {int} (A)\subseteq A$
• $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)\,$
• $\operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)$
• $A\subseteq B\Rightarrow \operatorname {int} (A)\subseteq \operatorname {int} (B)$

第一个的证明
我们需要证明：$x\in \operatorname {int} (A)\implies x\in A$。但这很容易！根据定义，我们有 $x\in B_{\epsilon }(x)\subseteq A$，因此 $x\in A$

第二个的证明
为了证明 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)\,$，我们需要证明 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))\subseteq \operatorname {int} (A)$ 和 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))\supseteq \operatorname {int} (A)$。
" $\subseteq$" 方向已经证明：对于任意集合 A，如果 $\operatorname {int} (A)\subseteq A$，那么把 $\operatorname {int} (A)$ 作为该集合，我们得到 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))\subseteq \operatorname {int} (A)$。
" $\supseteq$" 方向
令 $x\in \operatorname {int} (A)$。我们需要证明 $x\in \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))$。
如果 $x\in \operatorname {int} (A)$，那么存在一个球 $B_{\epsilon }(x)\subseteq A$。现在，球 $B_{\frac {\epsilon }{2}}(x)$ 中的每一个点 y 都是 A 的内部点（在 $\operatorname {int} (A)$ 内部），因为在它周围存在一个在 A 内部的球：$y\in B_{\frac {\epsilon }{2}}(x)\implies B_{\frac {\epsilon }{2}}(y)\subset B_{\epsilon }(x)\subset A$。
我们有$x\in B_{\frac {\epsilon }{2}}(x)\subset \operatorname {int} (A)$（因为其中的每个点都在$\operatorname {int} (A)$里面）并且根据定义$x\in \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))$.
提示：为了更好地理解，请自己画出$x,B_{\epsilon }(x),B_{\frac {\epsilon }{2}}(x),y,B_{\frac {\epsilon }{2}}(y)$.

其余证明留给读者。

提醒

• [a, b] : 所有满足$a\leq x\leq b$的点 x
• (a, b) : 所有满足$a<x<b$的点 x

例子

对于度量空间$\mathbb {R}$（直线），我们有

• $int([a,b])=(a,b)$
• $int((a,b])=(a,b)$
• $int([a,b))=(a,b)$
• $int((a,b))=(a,b)$

让我们证明第一个例子 ($int([a,b])=(a,b)$）。令 $x\in (a,b)$（即：$a<x<b$），我们将证明 $x$ 是一个内点。
令 $\epsilon =\min\{x-a,b-x\}$。请注意 $x+\epsilon \leq x+b-x=b$ 和 $x-\epsilon \geq x-x+a=a$。因此 $B_{\epsilon }(x)=(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (a,b)$。
我们现在已经证明了 $(a,b)$ 中的每个点 x 都是一个内点。现在点 $a,b$ 呢？让我们证明它们 不是 内点。如果 $a$ 是 $[a,b]$ 的一个内点，那么就存在一个球 $B_{\epsilon }(a)\subset [a,b]$。但这将意味着，点 $a-{\frac {\epsilon }{2}}$ 位于 $[a,b]$ 内部。但由于 $a-{\frac {\epsilon }{2}}<a$，这是一个矛盾。我们以类似的方式证明 b 不是内点。
总之，集合 $(a,b)$ 包含 $[a,b]$ 的 所有 内点。我们可以标记 $int([a,b])=(a,b)$

开集

定义

在度量空间中，如果一个集合等于它的内部 ($A=Int(A)$)，则称该集合在度量空间中是开集。当我们遇到拓扑空间时，我们将对开集的定义进行推广。然而，在度量空间中开集的定义与将我们的度量空间视为拓扑空间时的定义相同。

性质

1. 空集是一个开集（根据定义：$int(\emptyset )=\emptyset$）。
2. 开球是一个开集。
3. 对于任何集合 B，int(B) 是一个开集。这很容易看出，因为：int(int(B))=int(B)。
4. 如果 A，B 是开集，那么 $A\cap B$ 是开集。因此，开集的有限交集是开集。
5. 如果 ${A_{i}:i\in I}$（对于任何指标集 I）是开集，那么它们的并集 $\cup _{i\in I}A_{i}$ 是开集。

证明 2
令 $B_{r}(x)$ 为一个开球。令 $y\in B_{r}(x)$。那么 $y\in B_{r-d(x,y)}(y)\subseteq B_{r}(x)$。
在下图中，绿线表示 $d(x,y)$，棕色线表示 $r-d(x,y)$。我们找到了一个包含 $y$ 的球体在 $B_{r}(x)$ 内。

证明 4
假设 A 和 B 是开集，我们需要证明 $int(A\cap B)=A\cap B$。根据内部点的第一个性质，我们只需要证明 $int(A\cap B)\supseteq A\cap B$，这意味着 $\forall x\in A\cap B:x\in int(A\cap B)$。令 $x\in A\cap B$。我们知道，根据前提 A 和 B 是开集以及 $x\in A,x\in B$，存在两个球： $B_{{\epsilon }_{1}}(x)\subset A,B_{{\epsilon }_{2}}(x)\subset B$。令 $\epsilon =\min\{{\epsilon _{1},\epsilon _{2}}\}$，我们有 $B_{\epsilon }(x)\subset A,B_{\epsilon }(x)\subset B\Rightarrow B_{\epsilon }(x)\subset A\cap B$。根据内部点的定义，我们有 $x\in int(A\cap B)$ ($B_{\epsilon }(x)$ 是所需的球)。

有趣的是，这个性质对于无限个开集的交集并不一定成立。在实数轴上，我们可以看一个例子：令 $A_{n}=\{(-1/n,1/n)\}$。然后我们看到 $\cap _{i=1}^{\infty }A_{i}=\{0\}$，它是闭集。

证明 5
证明开集的并集是开集是相当简单的：令${A_{i}:i\in I}$（对于任何指标集I）是开集的集合。我们需要证明$int(\cup _{i\in I}A_{i})\supseteq \cup _{i\in I}A_{i}$：如果$x\in A_{i}$，那么它有一个球$B_{\epsilon }(x)\subset A_{i}\subseteq \cup _{i\in I}A_{i}$。使某个点在$A_{i}$中成为内点的同一个球也会使它在$\cup _{i\in I}A_{i}$中成为内点。

命题：一个集合是开集，当且仅当它是开球的并集。
证明：令A是一个开集。根据定义，如果$x\in A$，则存在一个球$B_{\epsilon _{x}}(x)\subseteq A$。然后我们可以将A写成：$A=\cup _{x\in A}B_{\epsilon _{x}}(x)$。等式成立是因为：$\cup _{x\in A}B_{\epsilon _{x}}(x)\subseteq A$，因为$\forall x\in A:B_{\epsilon _{x}}(x)\subseteq A$。 $\cup _{x\in A}B_{\epsilon _{x}}(x)\supseteq A$，因为在每个球中我们都有元素$x$，我们对A的所有元素的球进行并集。
另一方面，开球的并集是开集，因为任意开集的并集都是开集。

示例

• 正如我们所见，每个开球都是一个开集。
• 对于每个具有离散度量的空间 $X$，每个集合都是开集。

证明：令 $U$ 为一个集合。我们需要证明，如果 $x\in U$，那么 $x$ 是一个内点。让我们使用以 $x$ 为中心，半径为 ${\frac {1}{2}}$ 的球。我们有 $B_{\frac {1}{2}}(x)=\{y\mid d(x,y)<{\frac {1}{2}}\}=\{x\}\subseteq U$。因此 $x$ 是一个内点。

• 空间 $\mathbb {R}$ 具有常规度量。每个开区间 $(a,b)$ 是一个开集。该证明类似于证明 $int([a,b])=(a,b)$，我们已经见过。

定理

在任何度量空间 X 中，以下三个陈述成立

1) 任意多个开集的并集是开集。

证明：令 $C$ 为一个开集集合，并令

$x\in \cup C$。那么存在一个 $U\in C$ 使得 $x\in U$。

所以存在一个 $\epsilon >0$ 使得 $B_{\epsilon }(x)\subseteq U$。因此

$B_{\epsilon }(x)\subseteq \cup C$.

2) 有限多个开集的交集是开集。

证明： 令 $x\in \cap C$，其中 $C$ 是一个有限的开集集合。

所以对于每个 $U\in C$，有 $x\in U$。令 $C={U_{1},U_{2},...,U_{n}}$。对于每个 $i=1,2,3,...,n$，存在一个 $\epsilon _{i}>0$，使得 $B_{\epsilon }(x)\subseteq U_{i}$。令 $\epsilon =min_{i}${$\epsilon _{i}$}。因此 $\epsilon >0$ 且 $B_{\epsilon }(x)\subseteq \cap C$。

3) 空集和 X 都是开集。

定理

在任何度量空间 X 中，以下语句成立

1) 任意数量闭集的交集是闭集。

2) 有限数量闭集的并集是闭集。

收敛

定义

首先，让我们将微积分中收敛的定义翻译成“度量空间”的语言：我们说一个序列 $x_{n}$ 收敛于 $x$，如果对于任意 $\epsilon >0$，都存在一个 $N$，使得对于任意 $n^{*}>N$，以下条件成立：$d(x_{n^{*}},x)<\epsilon$。
等价地，我们可以使用开球来定义收敛：一个序列 $x_{n}$ 收敛于 $x$，如果对于任意 $\epsilon >0$，都存在一个 $N$，使得对于任意 $n^{*}>N$，以下条件成立：$x_{n^{*}}\in B_{\epsilon }(x)$。

后一种定义使用“开球”的语言，但我们可以做得更好——我们可以从收敛定义中删除$\epsilon$，从而使定义更具拓扑性。让我们定义$x_{n}$收敛到$x$（并标记$x_{n}\rightarrow x$），如果对于每个球$B$围绕$x$，存在$N_{B}$，对于每个$n^{*}>N_{B}$，以下成立：$x_{n^{*}}\in B(x)$。$x$被称为该序列的极限。

这些定义都是一样的，但后者使用拓扑术语，可以很容易地转换为以后的拓扑定义。

性质

• 如果一个序列有极限，那么它只有一个极限。
  证明 设一个序列 $x_{n}$ 有两个极限，$x\,$ 和 $x^{\prime }$。如果它们不相同，我们必须有 $0<d(x,x^{\prime })$。设 $\epsilon$ 小于此距离。现在对于某个 $N$，对于所有 $n>N$，必须是 $x_{n}\in B_{\epsilon /2}(x)$ 和 $x_{n}\in B_{\epsilon /2}(x^{\prime })$，因为 $x\,$ 和 $x^{\prime }$ 是极限。但这是不可能的；这两个球是分开的。因此，极限是重合的，也就是说，该序列只有一个极限。
• 如果 $x_{n}\rightarrow x$，则几乎根据定义，我们得到 $d(x_{n},x)\rightarrow 0$。($d(x_{n},x)$ 是距离序列)。

示例

• 在 $\mathbb {R}$ 中使用自然度量，级数 $x_{n}={\frac {1}{n}}$ 收敛到 $0$。我们将其表示如下：${\frac {1}{n}}\rightarrow 0$
• 任何空间，带有离散度量。一个序列$x_{n}$收敛，当且仅当它最终为常数。换句话说：$x_{n}\rightarrow x$当且仅当，我们可以找到$N$，使得对于每个$n^{*}>N$，$x_{n^{*}}=x$
• 一个你可能已经知道的例子
  

空间$\mathbb {R} ^{k}$对于任何 p 范数诱导的度量，当$p\geq 1$。设${\vec {x_{n}}}=(x_{n,1},x_{n,2},\cdots ,x_{n,k})$。并设${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{k})$。
那么，${\vec {x_{n}}}\rightarrow {\vec {x}}$当且仅当$\forall i,1\leq i\leq k:x_{n,i}\rightarrow x_{i}$。

一致收敛

如果对于任何 $\epsilon >0$，存在一个 $N$ 使得当 $a$ 和 $b$ 都大于 $N$ 时，则 $d(f_{a}(x),f_{b}(x))<\epsilon$ 对于任何 $x\in S$ 成立，则称函数序列 $\{f_{n}\}$ 在集合 $S$ 上一致收敛。

闭集

闭包

定义: 如果存在一个序列 $a_{n},\forall n,a_{n}\in A$，使得 $a_{n}\rightarrow p$，则称点 $p$ 为集合 $A$ 的一个闭包点。

换句话说，点 $p$ 是集合 $A$ 的闭包点，如果存在一个在 $A$ 中的序列收敛于 $p$。请注意，$p$ 不一定是集合 $A$ 的元素。

使用球体的等效定义：点$p$被称为集合$A$的闭包点，如果对于包含$p$的每一个开球$B$，我们都有$B\cap A\neq \emptyset$。换句话说，包含$p$的每一个开球都包含$A$中至少一个不同于$p$的点。
证明留作练习。

直观地，闭包点与集合$A$是“无限接近”的。它非常接近，我们可以找到集合中收敛到集合的任意闭包点的序列。

示例：令 A 为线段$[0,1)\in \mathbb {R}$，点$p=1$不在$A$中，但它是闭包点：令$a_{n}=1-{\frac {1}{n}}$。$a_{n}\in A$（$n>0$，因此$a_{n}=1-{\frac {1}{n}}<1$）并且$a_{n}\rightarrow 1$（因为${\frac {1}{n}}\rightarrow 0$）。

定义：集合$A\subseteq X$ 在 $({X},d)$ 中的闭包是所有闭包点的集合。集合A的闭包标记为${\bar {A}}$ 或者 $Cl(A)$。

注意 $A\subseteq {\bar {A}}$。简单证明：对于每个 $x\in A$，令 $(a_{n}=x)\forall n$。

示例

对于度量空间 $\mathbb {R}$（直线），设 $a,b\in \mathbb {R}$，我们有

• $Cl([a,b])=[a,b]$
• $Cl((a,b])=[a,b]$
• $Cl([a,b))=[a,b]$
• $Cl((a,b))=[a,b]$

闭集

定义：集合$A\subseteq X$ 在 ${X}\,$ 中是闭集，如果$A=Cl(A)$。
含义：如果一个集合包含所有闭包点，那么这个集合就是闭集。

等效的定义是：集合$A\subseteq X$ 在${X}\,$ 中是闭合的，如果对于每个点$p\in A$，以及对于每个球$B,p\in B$，那么$B\cap A\neq \emptyset$.
这个定义的证明直接来自于前一个定义和收敛性的定义。

性质

Cl 的一些基本性质（对于任何集合$A,B$）

• $A\subseteq Cl(A)$
• $Cl(Cl(A))=Cl(A)$
• $Cl(A\cup B)=Cl(A)\cup Cl(B)$
• $A$ 是闭合的当且仅当$A=Cl(A)$
• 虽然以上内容暗示有限多个闭合集的并集也是一个闭合集，但这对于无限多个闭合集的并集并不一定成立。为了在实数轴上看到一个例子，令$A_{n}=\{[-1+{\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}]\}$。我们看到$\cup _{i=1}^{\infty }A_{i}=(-1,1)$ 无法包含它的闭包点，$\pm 1.$

因此，这个并集不能成为实数的闭合子集。

证明留给读者作为练习。第 5 个的提示：回忆$Cl(A)=\cap \{A\subseteq S|S{\text{ is closed }}\!\!\}\!\!{\text{ }}$.

开集 vs 闭集

也就是说，开集接近它的边界但不包括它；而闭合集包含它接近的每个点。这两个属性可能看起来是互斥的，但它们并非如此。

• 在任何度量空间$(X,d)$ 中，集合$X$ 既是开集也是闭集。

• 在任何具有离散度量的空间中，每个集合既是开集也是闭集。

• 在 $\mathbb {R}$ 中，在标准度量下，唯一既是开集又是闭集的集合是 $\mathbb {R}$ 和 $\emptyset$。但是，有些集合既不是开集也不是闭集。例如，半开区间，如 $[0,1)$，既不是开集也不是闭集。再比如，有理数集不是开集，因为围绕一个有理数的开球包含无理数；它也不是闭集，因为存在收敛于无理数的有理数序列（例如，收敛于 $\pi$ 的各种无穷级数）。

补集

回顾/定义：令 $A$ 是空间 $X$ 中的一个集合。我们定义 $A$ 的补集，$A^{c}$ 为 $X\setminus A$。

一个简单的例子：令 $X=[0,1];A=[0,{\frac {1}{2}}]$。那么 $A^{c}=({\frac {1}{2}},1]$。

故事继续...

一个非常重要的命题：令 $A$ 是空间 $(X,d)$ 中的一个集合。那么，A 是开集当且仅当 $A^{c}$ 是闭集。
证明： ($\Rightarrow$) 首先，我们假设 A 是一个开集。我们将证明 $A^{c}=Cl(A^{c})$。根据闭包的性质，我们只需要证明 $Cl(A^{c})\subseteq A^{c}$。令 $p\in Cl(A^{c})$（我们将证明 $p\in A^{c}$）。
对于每个球体 $B,p\in B$，根据定义，我们有 (*)$B\cap A^{c}\neq \emptyset$。如果该点不在 $A^{c}$ 中，那么 $p\in A$。 $A$ 是开集，因此存在一个球体 $B$，使得：$p\in B\subseteq A$，这意味着 $B\cap A^{c}=\emptyset$，与 (*) 矛盾。
($\Leftarrow$) 另一方面，假设 $A^{c}$ 是闭集，并证明 $A$ 是开集。设 $p$ 为 $A$ 中的点（我们将证明 $p\in int(A)$）。如果 $p$ 不在 $int(A)$ 中，那么对于每个球 $B,p\in B$，都有 $B\nsubseteq A$。这意味着 $B\cap A^{c}\neq \emptyset$。根据闭包点的定义，$p$ 是 $A^{c}$ 的闭包点，所以我们可以说 $p\in Cl(A^{c})$。 $A^{c}$ 是闭集，因此 $p\in A^{c}=Cl(A^{c})$。这与假设 $p\in A$ 矛盾。

请注意，如前所述，集合仍然可以 **既是开集又是闭集**！

在 $\mathbb {R}$

以下是一个关于 $\mathbb {R}$ 上的开集和闭集的重要定理。
定理：在 $\mathbb {R}$ 中的开集 $O$ 是可数个不相交的开区间的并集。
证明：设 $x\in O$。设 $a=\sup\{t|t\notin O,t<x\}$ 且设 $b=\inf\{t|t\notin O,t>x\}$。存在一个开球 $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ 使得 $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq O$，因为 $O$ 是开的。因此，a≤x-ε 且 b≥x+ε。因此，x ∈(a,b)。集合 O 包含 (a,b) 的所有元素，因为如果一个数大于 a，小于 x，但不在 O 内，则 a 不会是 {t|t∉O, t<x} 的上确界。类似地，如果存在一个数小于 b，大于 x，但不在 O 内，则 b 不会是 {t|t∉O, t>x} 的下确界。因此，O 还包含 (a,x) 和 (x,b)，所以 O 包含 (a,b)。如果 y≠x 且 y∈(a,b)，则从该元素构造的区间与上述相同。如果 y<a，则 inf{t|t∉O, t>y} 也会小于 a，因为在 y 和 a 之间有一个不在 O 内的数。类似地，如果 y>b，则 sup{t|t∉O, t<y} 也会大于 b，因为在 y 和 b 之间有一个不在 O 内的数。因此，从上述过程中构造的所有可能的开区间都是不相交的。从元素 x 构造的所有此类开区间的并集就是 O，所以 O 是不相交开区间的并集。因为有理数在 R 中稠密，每个开区间内都存在一个有理数，并且因为有理数是可数的，所以开区间本身也是可数的。

闭集的例子

1. 在任何度量空间中，单点集 $\{x\}$ 是闭集。要了解原因，请考虑开集 $\{x\}^{c}$。令 $y\in \{x\}^{c}$。那么 $y\neq x$，所以 $d(y,x)>0$。令 $\epsilon ={\frac {1}{2}}d(y,x)$。那么 $B_{\epsilon }(y)\subseteq \{x\}^{c}$。所以 $\{x\}^{c}$ 是开集，因此 $\{x\}$ 是闭集。
2. 在任何度量空间中，每个有限集 $T=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ 是闭集。要了解原因，请观察 $T^{c}={\Big [}\bigcup \{x_{i}\}{\Big ]}^{c}=\bigcap \{x_{i}\}^{c}$ 是开集，所以 $T$ 是闭集。
3. 闭区间 [a,b] 是闭集。
4. 康托集 考虑区间 [0,1] 并将其称为 C₀。令 A₁ 等于 {0, ${\tfrac {2}{3}}$} 并令 d_n = $({\tfrac {1}{3}})^{n}$。令 A_n+1 等于集合 A_n∪{x|x=a+2d_n, a∈A_n}。令 C_n 为 $\textstyle \bigcup _{a\in A_{n}}${[a,a+d_n]}，这是闭集的有限并集，因此是闭集。那么交集 $\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{C_{i}}$ 称为康托集，是闭集。

练习

1. 证明一个点 x 在 X 内有收敛于 x 的点序列当且仅当包含 x 的所有球都包含 X 内的至少一个元素。
2. 在 $\mathbb {R}$ 中，唯一既是开集又是闭集的集合是空集和整个集合。 然而，当考虑 $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ 时，情况就不一样了。 请举出一个在 $\mathbb {Q}$ 中既是开集又是闭集的集合。
3. 设 $A$ 是空间 $x$ 中的一个集合。 证明以下结论：
   1. $Cl(A)=Int(A^{c})^{c}$
   2. $Int(A)=Cl(A^{c})^{c}$

连续性

定义

让我们回顾一下函数连续性的概念。 从直观上来说，连续性意味着你可以在纸上画一个函数，而不用提起笔。 连续性在拓扑学中很重要。 但让我们从头开始。

经典的 delta-epsilon 定义： 设 $(X,d),(Y,e)$ 是空间。 函数 $f:X\rightarrow Y$ 在点 $x$ 处连续，如果对于所有 $\epsilon _{x}>0$ 都存在一个 $\delta _{\epsilon _{x}}>0$，使得：对于所有满足 $d(x,x_{1})<\delta _{\epsilon _{x}}$ 的 $x_{1}$，我们有 $e(f(x),f(x_{1}))<\epsilon _{x}$。

让我们用球来重新定义：一个函数$f:X\rightarrow Y$ 在点$x$ 处连续，如果对于所有$\epsilon _{x}>0$ 都存在$\delta _{\epsilon _{x}}>0$，使得以下成立：对于所有满足$x_{1}\in B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x)$ 的$x_{1}$，都有$f(x_{1})\in B_{\epsilon _{x}}(f(x))$。或者更简单地说：$f(B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x))\subseteq B_{\epsilon _{x}}(f(x))$

看起来好多了！但我们还可以做得更好。

定义

• 如果一个函数在集合 S 中的每个点处都连续，那么该函数在集合 S 中是连续的。
• 如果一个函数在其整个定义域上都是连续的，那么该函数是连续的。

命题： 函数 $f:X\rightarrow Y$ 是连续的，根据以上定义 $\Leftrightarrow$ 对 $Y$ 中的每个开集 $U$，$U$ 的逆像， $f^{-1}(U)$，在 $X$ 中是开的。也就是说，$Y$ 中每个开集的逆像在 $X$ 中是开的。
注意，$f$ 不必是满射或双射才能使 $f^{-1}$ 有定义。符号 $f^{-1}$ 仅仅表示 $f^{-1}(U)=\{x\in X:f(x)\in U\}$.

证明： 首先，假设函数 $f$ 根据定义是连续的（$\Rightarrow$ 方向）。我们需要证明对于每个开集 $U$，$f^{-1}(U)$ 是开的。

设 $U\subseteq Y$ 是一个开集。设 $x\in f^{-1}(U)$。 $f(x)$ 在 $U$ 中，因为 $U$ 是开集，我们可以找到 $\epsilon _{x}$ ，使得 $B_{\epsilon _{x}}(f(x))\subseteq U$。因为 f 是连续函数，对于这个 $\epsilon _{x}$ ，我们可以找到一个 $\delta _{\epsilon _{x}}>0$ 使得 $f(B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x))\subseteq B_{\epsilon _{x}}(f(x))\subseteq U$。这意味着 $B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x)\subseteq f^{-1}(U)$ ，因此，$x$ 是内点。这对所有 $x$ 都成立 - 意味着 $f^{-1}(U)$ 中的所有点都是内点，根据定义，$f^{-1}(U)$ 是开集。

($\Leftarrow$)另一方面，假设对于一个函数$f$，对于每个开集$U\in Y$，$f^{-1}(U)$ 在$X$中是开集。我们需要证明$f$ 是连续的。

对于每个$x\in X$ 以及对于每个$\epsilon _{x}>0$，集合$B_{\epsilon _{x}}(f(x))$ 在$Y$中是开集。因此集合$V=f^{-1}(B_{\epsilon _{x}}(f(x)))$ 在$X$中是开集。注意$x\in V$。因为$V$ 是开集，这意味着我们可以找到一个$\delta _{\epsilon _{x}}$，使得$B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x)\subseteq V$，并且我们有$f(B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x))\subseteq B_{\epsilon _{x}}(f(x))$.

最后一个证明给了我们一个额外的定义，我们将用于本书剩余部分的连续性。这个新定义的优点是它只使用开集，因此可以应用于没有度量的空间，所以我们现在有了两个等价的定义，可以用来定义连续性。

示例

• 设$f$ 是从任何空间 $(X,d)$ 到任何空间 $(Y,e)$ 的任何函数，其中 $d$ 是离散度量。那么 $f$ 是连续的。为什么？对于每个开集 $U$，集合 $f^{-1}(U)$ 是开的，因为在具有离散度量的空间中，每个集合都是开的。
• 设$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ;f(x)=x$ 为恒等函数。 $f$ 是连续的：每个开集的源都是它本身，因此是开的。

练习

1. 证明函数 $f:X\rightarrow Y$ 是连续的 $\Leftrightarrow$ 对于 $Y$ 中的每个闭集 $U$，$U$ 的逆像，$f^{-1}(U)$，在 $X$ 中是闭的。
   

一致连续性

在度量空间 X 中，从 X 到度量空间 Y 的函数 **一致连续** ，如果对于所有 $\epsilon$，都存在一个 $\delta$，使得对于所有 $x_{1},x_{2}\in X$，$d(x_{1},x_{2})<\delta$ 意味着 $d(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon$。

等距

等距是一个 满射 映射 $f:X\rightarrow Y$，其中 $(X,\delta )$ 和 $(Y,\rho )$ 是度量空间，并且对于所有 $a,b\in X$，$\delta (a,b)=\rho (f(a),f(b))$。

在这种情况下，$(X,\delta )$ 和 $(Y,\rho )$ 被称为等距。

请注意，$f$ 的 单射性 来自于保持距离的性质

$f(a)=f(b)$

$\implies \rho (f(a),f(b))=0$

$\implies \delta (a,b)=0$

$\implies a=b$

因此，等距必然是 双射。

练习

1. 证明一个集合是度量开集 当且仅当 它是一个（可能无限的）开球的并集。
2. 证明离散度量实际上是一个度量。