拓扑学/拓扑空间

拓扑学
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在本节中，我们将定义什么是拓扑，并给出一些例子和基本构造。

动机

在抽象代数中，域概括了实数线上运算的概念。这个一般定义允许通过与实数的比较来直观地理解关于非常不同的数学对象的观念。同样，拓扑空间的概念关注于概括欧几里得空间中集合的结构。当然，对于许多拓扑空间来说，相似性很遥远，但有助于判断并指导证明。欧几里得空间中集合结构中有趣的差异，在拓扑空间中具有类比，是连通性、紧致性、维数以及“洞”的存在。

如果我们从一个任意集合开始，可能并不立即清楚需要什么来赋予它有趣的结构。一种可能性可能是定义集合上的度量，但事实证明，要求度量过于严格。实际上，有很多等价的方法来定义我们将称为拓扑空间的东西，只需定义给定集合的子集族即可。拓扑空间的性质取决于子集的数量以及这些集合重叠的方式。拓扑空间可以是精细的或粗糙的，连通的或不连通的，具有很少或许多维度。

定义拓扑空间最流行的方式是根据开集，类似于欧几里得空间中的开集。（在欧几里得空间中，开集直观地被看作是不包含其“边界”的集合）。

拓扑空间的定义

假设我们给定两个集合， $X$ 和 ${\mathcal {T}}$ ，其中 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 的子集的集合。

如果 ${\mathcal {T}}$ 具有以下性质

空集和 $X$ 都在 ${\mathcal {T}}$ 中，
${\mathcal {T}}$ 中任何（有限或无限）集合的并集本身也在 ${\mathcal {T}}$ 中，并且
${\mathcal {T}}$ 中任何有限集合的交集本身也在 ${\mathcal {T}}$ 中，

那么 ${\mathcal {T}}$ 被称为 $X$ 上的拓扑。有序对 $(X,{\mathcal {T}})$ 被称为 拓扑空间。

拓扑空间的这个定义让我们能够重新定义开集。之前，我们将一个集合定义为开集，如果它包含它所有的内点，而集合的内部是由开球定义的，这需要一个度量。也就是说，我们需要某种距离概念来定义开集。拓扑空间没有这样的要求。事实上，上面给出的三个性质——而且只有它们——足以定义一个开集。我们的新定义如下

${\mathcal {T}}$ 的元素被称为开集。

换句话说，开集是拓扑的一个元素。所以拓扑实际上是一个开集的集合。上面的规则描述了开集的行为：如果任意多个开集的并集是开集，有限多个开集的交集是开集，并且空间本身是开集，那么一个集合可以被称为开集。(空集默认情况下被认为是开集)。我们还说一个集合是闭集，如果它的补集是开集。如前所述，一个集合可以同时是开集和闭集：空间本身是开集，但由于它的补集(空集)是开集，因此它也是闭集。

实际上，我们与开集相关的性质，这些性质让我们能够研究许多拓扑概念(比如连续性和收敛性，这些概念之前是使用开集来定义的)，完全由上面描述的三个性质编码，而无需任何距离度量。这实际上是一个非常抽象的定义，只使用集合论的最基本概念(子集、并集和交集)，它允许对作为拓扑空间研究的内容(以及如何将某物视为拓扑空间；在一个给定集合上可以选择许多不同的拓扑)具有极大的灵活性。事实上，这个定义非常普遍，拓扑空间自然地出现在几乎所有数学分支中，拓扑被认为是数学中伟大的统一主题之一。

所以，回顾一下：集合上的拓扑是一个包含空集和集合本身的子集的集合，并且对并集和有限交集是闭合的。拓扑中的集合是开集，它们的补集是闭集。一个 拓扑空间 是一个集合，以及它上的拓扑。

需要注意的一些事项

集合的开放性取决于**特定拓扑结构**。仅说一个集合是开放的，没有严格意义。然而，在实际应用中，通常可以从上下文清楚地了解所考虑的拓扑结构。例如，假设我们有集合 $X=\{1,2,3\}$ ，以及集合 ${\mathcal {T}}=\{\emptyset ,\{1\},\{1,2,3\}\}$ 。 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 上的一个拓扑结构，人们会说集合 $\{1\}$ 是开放的。这指的是 $\{1\}$ 在 ${\mathcal {T}}$ 下是开放的。如果我们给出了另一个拓扑结构 ${\mathcal {T}}_{2}=\{\emptyset ,\{1,2,3\}\}$ ，那么集合 $\{1\}$ 在 ${\mathcal {T}}$ 下是开放的，但在 ${\mathcal {T}}_{2}$ 下不是开放的。在这种情况下，仅仅说 $\{1\}$ 是开放的，就会造成歧义。（顺便说一下，它在 ${\mathcal {T}}_{2}$ 下也不是闭合的，因为它的补集 $\{2,3\}$ 不是开放的）
虽然术语拓扑空间严格来说指的是有序对 $S=(X,{\mathcal {T}})$ （其中 $X$ 是一个集合，而 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 上的拓扑结构），通常拓扑空间 $S$ 与底层集合 $X$ 或拓扑结构 ${\mathcal {T}}$ 互换使用。通常根据上下文可以明确地知道指的是哪一个。例如，有人可能会说“假设 $S\subseteq \mathbb {R}$ 是一个拓扑空间，而区间 $I$ 是 $S$ 的子集。现在，假设 $I$ 是开放的...”等等。在这种情况下（假设作者没有犯错误），指的是拓扑空间 $S$ 是有序对 $(X,{\mathcal {T}})$ ，其中 $X$ 是 $\mathbb {R}$ 的子集，而 $I$ 是 $X$ 的子集。在实数的情况下，通常拓扑结构 ${\mathcal {T}}$ 是 $\mathbb {R}$ 上的通常拓扑结构，其中开放集要么是开区间，要么是开区间的并集。
开集的无穷交集不一定是开集。例如，考虑形式为 $\left(-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)$ 的开区间。对于所有正整数 $n$ 的值，这些区间的交集是集合 $\{0\}$ ，它在实数中不是开集。

拓扑空间的例子

对于任何集合 $X$ ，我们总可以在 $X$ 上定义两种拓扑结构。

离散拓扑 - 包含集合 $X$ 的所有子集的拓扑结构。
平凡拓扑（也称为离散拓扑） - 只包含 $X$ 和空集 $\emptyset$ 的拓扑结构。

度量拓扑

给定一个度量空间 $\ (X,d)\$ ，它的度量拓扑是使用所有开球的集合作为基而诱导的拓扑结构。我们也可以定义由度量诱导的拓扑结构，即由度量定义的所有开子集的集合。我们用 ${\mathcal {T}}$ 表示从度量 d 诱导的拓扑结构，其中 ${\mathcal {T}}=top(d)$ 。

这从度量空间形成拓扑空间。

如果对于一个拓扑空间 $(X,{\mathcal {T}})$ ，我们可以找到一个度量 $d$ ，使得 ${\mathcal {T}}=top(d)$ ，那么这个拓扑空间被称为可度量化的。

实数上的通常拓扑结构

我们可以定义一个拓扑 ${\mathcal {U}}$ 在 $\mathbb {R}$ 上，方法是定义 $U\subseteq \mathbb {R}$ 属于 ${\mathcal {U}}$ 当且仅当对每个点 $x\in U$ ，存在一个 $\varepsilon >0$ 使得 $(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\subseteq U$ 。我们称这种拓扑为标准拓扑或 $\mathbb {R}$ 上的通常拓扑。

任何集合上的有限余拓扑

设 $X$ 为一个非空集合。定义 ${\mathcal {T}}$ 为 $X$ 的所有子集 $G$ 的集合，满足以下条件：

要么 $G=\emptyset$
要么 $X\setminus G$ 是有限的。

(换句话说，开集是由从 $X$ 中移除有限个元素而形成的)

那么 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 上的拓扑，称为 $X$ 上的有限余拓扑（或“有限补集拓扑”）。此外，这种拓扑当且仅当 $X$ 是有限的时，是离散的。

任何集合上的余可数拓扑

设 $X$ 为一个非空集合。定义 ${\mathcal {T}}$ 为 $X$ 的所有子集 $G$ 的集合，满足以下条件：

要么 $G=\emptyset$
要么 $X\setminus G$ 是可数的。

(换句话说，开集是由从 $X$ 中移除可数无限个元素而形成的)

那么 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 上的一个拓扑，称为 $X$ 上的 **余可数拓扑**（或“可数补拓扑”）。此外，这个拓扑只有在 $X$ 可数的情况下才是离散的。

拓扑空间中的集合

设 $X$ 为一个拓扑空间。我们可以定义 $X.$ 上许多类型的集合。

集合 A 在 X 中的补集，记为 $A^{C}$ ，是 $A^{C}=X\setminus A$ （即，整个空间减去 A）。
如果集合 $C$ 的补集 $C^{C}$ 是开集，则称该子集 $C$ 为 **闭集**。请注意，任意多个闭集的交集是闭集，有限多个闭集的并集是闭集。
还要注意，一个集合可以同时是闭集和开集。空集 $\emptyset$ 和整个集合 $X$ 是最简单的例子，它们既是开集又是闭集。根据定义， $\emptyset$ 是开集，因此它的补集 $X$ 是闭集。但 $X$ ，根据定义，是一个开集，因此 $X$ 既是开集又是闭集。
如果一个集合 $N$ 包含一个包含点 $x\in X$ 的开集，则称集合 $N$ 为点 $x$ 的 **邻域**。换句话说，如果存在开集 $U$ 使得 $x\in U\subseteq N.$ ，则 $N$ 是 $x$ 的邻域。

接下来，我们探究拓扑学研究中一些常见的集合。

定义

在拓扑空间中， $G_{\delta }$ 集合 是可数个开集的交集。 $F_{\sigma }$ 集合 是可数个闭集的并集。

定理

$F_{\sigma }$ 集合的补集是 $G_{\delta }$ 集合，反之亦然。

证明
设 A 为 $F_{\sigma }$ 集合，设 $n\in \mathbb {N}$ 。那么 A 是可数个闭集的并集， $\bigcup \limits _{n}^{}{A_{n}}$ ，使得 $A_{n}$ 对所有 n 都是闭集。那么 $A^{c}=\bigcap \limits _{n}^{}{\left(A_{n}\right)^{c}}$ 。由于 $A_{n}$ 是闭集， $\left(A_{n}\right)^{c}$ 是开集，因此我们得到了可数个开集的交集。所以 $A^{c}$ 是 $G_{\delta }$ 集合。

另一个方向的证明完全类似，留给读者完成。

定理

在任何度量空间中，闭集都是一个 $G_{\delta }$ 集。
证明：
令 X 为度量空间，并令 $A\subseteq (X,d)$ 。
定义 $O_{n}=\bigcup \limits _{n}{\left\{\beta _{1/n}(x)~\left|~x\in A\right.\right\}}$ 。观察到 $O_{n}$ 对任何 n 都是开的，因此其并集是开的。现在我们的目标是证明 ${\bar {A}}=\bigcap \limits _{n}{O_{n}}$ ，以证明闭集是可数个开集的交集。

$\subseteq$ :
令 $x\in {\bar {A}}$ 。然后 $\beta _{1/n}(x)$ 与 A 在某个 $x_{0}$ 处相交，这意味着 $x\in \beta _{1/n}(x_{0})\subseteq O_{n}.$ 。这对于任何 n 都成立，因此 $x\in \bigcap \limits _{n}{O_{n}}$ 。

$\supseteq$ :
令 $x\in \bigcap \limits _{n}{O_{n}}$ 且 $\varepsilon >0$ 。则 $\exists ~n\in \mathbb {N}$ 使得 $1/n<\varepsilon$ 。所以 $x\in O_{n}\Rightarrow \exists ~x_{0}$ 在 A 中使得 $x\in \beta _{1/n}(x_{0})$ ，这表明 $x\in \beta _{\varepsilon }(x_{0})$ 。因此 $x\in {\bar {A}}$ .

因此 ${\bar {A}}=\bigcap \limits _{n}{O_{n}}$ 且为 $G_{\delta }$ 集。