拓扑/度量空间

拓扑
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在我们开始之前

在我们全面讨论拓扑空间之前，我们将首先关注一种特殊的拓扑空间，即度量空间。这种抽象包含一个庞大且有用的特殊情况家族，因此值得特别关注。此外，这种抽象生动形象且易于理解；它将随后引导我们进入拓扑空间的完整抽象。

度量空间

定义

一个度量空间是一个笛卡尔对 $(X,d)$ 其中 $X$ 是一个非空的集合且 $d:X\times X\to [0,\infty )$ ，是一个被称为度量的函数，它满足以下要求：对于所有的 $a,b,c\in X$

$d(a,b)=0$ 当且仅当 $a=b$
$d(a,b)=d(b,a)$ (对称性)
$d(a,c)\leq d(a,b)+d(b,c)$ (三角不等式)

请注意，一些作者不要求度量空间是非空的。当我们讨论带有度量 $d$ 的度量空间 $X$ 时，我们将使用符号 $(X,d)$ 来表示。

例子

一个重要的例子是离散度量。它可以定义在任何非空集 X 上，如下所示

d(x,y)={\begin{cases}1&:x\neq y\\0&:x=y\end{cases}}

在实数集 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 上，定义 $d(x,y)=|x-y|$ $d(x,y)=|x-y|$ （ $x$ $x$ 和 $y$ $y$ 之间的绝对距离）。
为了证明这确实是度量空间，我们必须证明 $d$ $d$ 确实是度量。首先，对于任何实数 $x$ $x$ 和 $y$ $y$ ，都有 $d(x,y)=|x-y|\geq 0$ $d(x,y)=|x-y|\geq 0$ 。
- $d(x,y)=|x-y|=0\iff (x-y)=0\lor -(x-y)=0\iff x=y$
- $d(x,y)=|x-y|=|y-x|=d(y,x)$
- $d(x,z)=|x-z|=|x-y+y-z|={\bigr |}(x-y)+(y-z){\bigr |}\leq |x-y|+|y-z|=d(x,y)+d(y,z)$
将平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 作为空间，并令 $d{\bigl (}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}){\bigr )}={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$ .

这是

(x_{1},y_{1})

和

(x_{2},y_{2})

之间的欧几里得距离。

我们可以将上述两个例子推广。令 $V$ 为一个赋范向量空间（在 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ 上）。我们可以定义度量为： $d(x,y)=\|x-y\|$ 。因此每个赋范向量空间都是一个度量空间。
对于向量空间 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ ，我们有一个有趣的范数。令 $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 和 $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ 是 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ 中的两个向量。我们定义 p-范数： $\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ $\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ 。对于每个 $p$ $p$ -范数，都存在一个基于它的度量。 $p$ $p$ 的一些有趣情况是
- $p=1$ 。该度量是 $d(x,y)=\|x-y\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|$
- $p=2$ 。该度量就是我们熟知的欧几里得度量 $d(x,y)=\|x-y\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{2}}}$
- $p=\infty$ 。这有点令人惊讶： $d(x,y)=\|x-y\|_{\infty }=\max _{i=1\ldots n}{\bigl \{}|x_{i}-y_{i}|{\bigr \}}$
  
  作为练习，你可以证明 $\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}=\max _{i=1\ldots n}\{|x_{i}|\}$ ，从而证明了 $\|\cdot \|_{\infty }$ 的定义是合理的。
球面上两点之间的大圆距离是一种度量。
希尔伯特空间是无限序列空间上的度量空间， $\{a_{k}\}$ 使得 $\sum _{i=1}^{\infty }a_{k}^{2}$ 收敛，度量为 $d{\bigl (}\{a_{i}\},\{b_{i}\}{\bigr )}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(a_{i}-b_{i})^{2}}}$ .
埃尔德什数的概念暗示了所有数学家集合上的度量。设 $x,y$ 是两个数学家，定义 $d(x,y)$ 为：如果 $x,y$ 是同一个人，则为 0；如果 $x,y$ 共同发表过论文，则为 1；如果最短的序列 $(\{x,a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\},\ldots ,\{a_{n-1},y\})$ （其中每一步都将两个共同发表过论文的人配对）长度为 $n$ ，则为 $n$ ；如果 $x\neq y$ 且不存在这样的序列，则为 $\infty$ .
这个度量可以很容易地推广到任何自反关系（或无向图，它们是相同的）。
请注意，如果我们改为定义 $d(x,y)$ 为 $x,y$ 的埃尔德什数之和，那么 $d$ 将不会是度量，因为它将不满足 $d(x,y)=0\iff x=y$ 。例如，如果 $x=y$ = 斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆，则 $d(x,y)=2$ .

注意

在本章中，我们将参考度量空间。每个度量空间都带有一个度量函数。因此，度量函数可能不会被明确提及。有几个原因

我们不想使文本过于模糊。
我们对它没有特别要说的。
空间具有“自然”度量。例如， $\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}$ 的“自然”度量是欧几里得度量 $d_{2}$ 。

由于这是一个维基，如果您出于某种原因认为该度量值得一提，您可以更改文本（如果您确信您知道自己在做什么）或在讨论页面中报告它。

开球

动机

开球是度量空间拓扑的基石。我们将通过它定义直观的拓扑定义（稍后将转换为真正的拓扑定义），并将微积分定义的属性（如收敛和连续性）转换为它们的拓扑定义。我们将尝试展示如何用“开球语言”来写度量空间的许多定义。然后我们可以立即将定义转换为拓扑定义。

定义

给定一个度量空间 $(X,d)$ ，以 $r$ 为半径，以 $p$ 为中心的**开球**定义为集合

B_{r}(p)={\bigl \{}x\in X:d(x,p)<r{\bigr \}},(r\in \mathbb {R} ^{+})

直观地说，它是空间中所有距离某一点 $p$ 小于 $r$ 的所有点。

例子

为什么这被称为球？让我们看看 $\mathbb {R} ^{3}$ 的情况

d{\bigl (}(x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3}){\bigr )}={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}

因此 $B_{r}{\bigl (}(0,0,0){\bigr )}$ 恰好是 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}<r^{2}$ – 中心为球 $(0,0,0)$ ，半径为 $r$ 。在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，这个球被称为开球，因为它不包含球面 ( $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}$ )。

单位球 是半径为 1 的球。让我们看看一些 $B_{1}{\bigl (}(0,0){\bigr )}$ $\mathbb {R} ^{2}$ 的单位球的例子，它们有不同的 $p$ -范数诱导的度量。 $\mathbb {R} ^{2}$ 使用范数 $\|\cdot \|_{p}$ 的单位球是

B_{1}{\bigl (}(0,0){\bigr )}={\Big \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:d{\bigl (}(x,y),(0,0){\bigr )}<1{\Big \}}={\Big \{}(x,y):{\bigl \|}(x,y)-(0,0){\bigr \|}_{p}<1{\Big \}}={\Big \{}(x,y):\|(x,y)\|_{p}<1{\Big \}}={\Big \{}(x,y):{\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}}<1{\Big \}}

由 $\|\cdot \|_{1}$ 诱导的度量，在这种情况下，单位球为： $|x|+|y|<1$

由 $\|\cdot \|_{2}$ 诱导的度量，在这种情况下，单位球为： ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<1$

由 $\|\cdot \|_{\infty }$ 诱导的度量，在这种情况下，单位球为： $\max {\bigl \{}|x|,|y|{\bigr \}}<1$

正如我们所见，单位球不必看起来像一个真正的球。事实上，有时单位球可能是一个点。

离散度量，单位球为 $B_{1}{\bigl (}(0,0){\bigr )}={\Big \{}d{\bigl (}(0,0),(x,y){\bigr )}<1{\Big \}}={\Big \{}d{\bigl (}(0,0),(x,y){\bigr )}=0{\Big \}}=\{(0,0)\}$

集合的内部

定义

定义：我们说 x 是 A 的内点当且仅当存在一个 $\epsilon >0$ 使得： $B_{\epsilon }(x)\subseteq A$ 。直观地，这意味着 x 确实是 "在" A 的 "内部" - 因为它包含在 A 内部的球体中 - 它不靠近 A 的边界。

图示

内点	非内点

定义：集合 A 的内部是 A 中所有内点的集合。集合 A 的内部用 $\operatorname {int} (A)$ 表示。常用的表示法： $\operatorname {int} (S)=\{x\in S|x{\text{ is an interior point of }}S\}$ 和 $\operatorname {int} (S)=\cup \{A\subseteq S|A{\text{ is open }}\!\!\}\!\!{\text{ }}$ 。

性质

int 的一些基本性质（对于任意集合 A,B）

$\operatorname {int} (A)\subseteq A$
$\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)\,$
$\operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)$
$A\subseteq B\Rightarrow \operatorname {int} (A)\subseteq \operatorname {int} (B)$

第一个性质的证明
我们需要证明： $x\in \operatorname {int} (A)\implies x\in A$ 。但这很简单！根据定义，我们有 $x\in B_{\epsilon }(x)\subseteq A$ ，因此 $x\in A$

第二个性质的证明
为了证明 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)\,$ ，我们需要证明 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))\subseteq \operatorname {int} (A)$ 和 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))\supseteq \operatorname {int} (A)$ 。
" $\subseteq$ " 方向已经证明：对于任意集合 A，如果 $\operatorname {int} (A)\subseteq A$ ，那么将 $\operatorname {int} (A)$ 作为该集合，我们得到 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))\subseteq \operatorname {int} (A)$ 。
" $\supseteq$ " 方向
令 $x\in \operatorname {int} (A)$ 。我们需要证明 $x\in \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))$ 。
如果 $x\in \operatorname {int} (A)$ ，那么存在一个球 $B_{\epsilon }(x)\subseteq A$ 。现在，球 $B_{\frac {\epsilon }{2}}(x)$ 中的每个点 y 都是 A 的内点（在 $\operatorname {int} (A)$ 内部），因为其周围存在一个球体，该球体位于 A 内部： $y\in B_{\frac {\epsilon }{2}}(x)\implies B_{\frac {\epsilon }{2}}(y)\subset B_{\epsilon }(x)\subset A$ 。
我们有 $x\in B_{\frac {\epsilon }{2}}(x)\subset \operatorname {int} (A)$ （因为它的每个点都在 $\operatorname {int} (A)$ 内），根据定义， $x\in \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))$ .
提示：为了更好地理解，请自己绘制 $x,B_{\epsilon }(x),B_{\frac {\epsilon }{2}}(x),y,B_{\frac {\epsilon }{2}}(y)$ .

其余证明留给读者。

提醒

[a, b] : 所有满足 $a\leq x\leq b$ 的所有点 x
(a, b) : 所有满足 $a<x<b$ 的所有点 x

示例

对于度量空间 $\mathbb {R}$ （直线），我们有

$int([a,b])=(a,b)$
$int((a,b])=(a,b)$
$int([a,b))=(a,b)$
$int((a,b))=(a,b)$

让我们证明第一个例子 ( $int([a,b])=(a,b)$ ）。令 $x\in (a,b)$ （即： $a<x<b$ ），我们将证明 $x$ 是一个内点。
令 $\epsilon =\min\{x-a,b-x\}$ 。注意 $x+\epsilon \leq x+b-x=b$ 以及 $x-\epsilon \geq x-x+a=a$ 。因此 $B_{\epsilon }(x)=(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (a,b)$ 。
我们已经证明了在 $(a,b)$ 中的每个点 x 都是内点。那么 $a,b$ 呢？让我们证明它们不是内点。如果 $a$ 是 $[a,b]$ 的内点，那么就会存在一个球 $B_{\epsilon }(a)\subset [a,b]$ 。但是，这意味着点 $a-{\frac {\epsilon }{2}}$ 位于 $[a,b]$ 里面。但是，由于 $a-{\frac {\epsilon }{2}}<a$ ，这与之前的结论矛盾。同样地，我们可以证明 b 也不是内点。
总之，集合 $(a,b)$ 包含了 $[a,b]$ 的所有内点。我们可以标记 $int([a,b])=(a,b)$

开集

定义

如果一个集合在度量空间中等于其内部 ( $A=Int(A)$ )，那么这个集合被称为开集。当我们遇到拓扑空间时，我们将对开集的定义进行推广。但是，度量空间中的开集的定义与将度量空间视为拓扑空间时的定义相同。

性质

空集是一个开集（根据定义： $int(\emptyset )=\emptyset$ ）。
开球是一个开集。
对于任何集合 B，int(B) 都是一个开集。这是显而易见的，因为：int(int(B))=int(B)。
如果 A、B 为开集，那么 $A\cap B$ 为开集。因此，有限个开集的交集是开集。
如果 ${A_{i}:i\in I}$ （对于任何指标集 I）是开集，那么它们的并集 $\cup _{i\in I}A_{i}$ 是开集。

命题 2 的证明
设 $B_{r}(x)$ 是一个开球。设 $y\in B_{r}(x)$ 。那么 $y\in B_{r-d(x,y)}(y)\subseteq B_{r}(x)$ 。
在下面的图中，绿线是 $d(x,y)$ ，棕色线是 $r-d(x,y)$ 。我们找到了一个包含 $y$ 的球体，它在 $B_{r}(x)$ 内。

命题 4 的证明
A 和 B 是开集。我们需要证明 $int(A\cap B)=A\cap B$ 。由于 int 的第一个性质，我们只需要证明 $int(A\cap B)\supseteq A\cap B$ ，这意味着 $\forall x\in A\cap B:x\in int(A\cap B)$ 。令 $x\in A\cap B$ 。我们也知道， $x\in int(A),x\in int(B)$ ，这是由于前提 A、B 是开集，且 $x\in A,x\in B$ 。这意味着存在球： $B_{{\epsilon }_{1}}(x)\subset A,B_{{\epsilon }_{2}}(x)\subset B$ 。令 $\epsilon =\min\{{\epsilon _{1},\epsilon _{2}}\}$ ，我们有 $B_{\epsilon }(x)\subset A,B_{\epsilon }(x)\subset B\Rightarrow B_{\epsilon }(x)\subset A\cap B$ 。根据内点的定义，我们有 $x\in int(A\cap B)$ ( $B_{\epsilon }(x)$ 是所需的球)。

有趣的是，这个性质并不一定适用于开集的无穷交集。为了在实数轴上看到一个例子，令 $A_{n}=\{(-1/n,1/n)\}$ 。然后我们看到 $\cap _{i=1}^{\infty }A_{i}=\{0\}$ ，它是一个闭集。

证明 5
证明开集的并集是开集，是非常简单的：令 ${A_{i}:i\in I}$ （对于任何索引集 I）为一组开集。我们需要证明 $int(\cup _{i\in I}A_{i})\supseteq \cup _{i\in I}A_{i}$ ：如果 $x\in A_{i}$ 那么它有一个球 $B_{\epsilon }(x)\subset A_{i}\subseteq \cup _{i\in I}A_{i}$ 。使一点在 $A_{i}$ 中成为内点的同一个球，也会使它在 $\cup _{i\in I}A_{i}$ 中成为内点。

命题：一个集合是开集，当且仅当它是开球的并集。
证明：令 A 为开集。根据定义，如果 $x\in A$ 那么存在一个球 $B_{\epsilon _{x}}(x)\subseteq A$ 。然后我们可以将 A 表示为： $A=\cup _{x\in A}B_{\epsilon _{x}}(x)$ 。这个等式成立是因为： $\cup _{x\in A}B_{\epsilon _{x}}(x)\subseteq A$ 因为 $\forall x\in A:B_{\epsilon _{x}}(x)\subseteq A$ 。 $\cup _{x\in A}B_{\epsilon _{x}}(x)\supseteq A$ 因为在每个球中都有元素 $x$ ，我们联合了 A 中所有元素的球。
另一方面，开球的并集是开集，因为所有开集的并集都是开集。

例子

正如我们所见，每个开球都是开集。
对于任何具有离散度量的空间 $X$ ，每个集合都是开集。

证明：设 $U$ 为一个集合。我们需要证明，如果 $x\in U$ 则 $x$ 是一个内点。让我们使用以 $x$ 为中心，半径为 ${\frac {1}{2}}$ 的球。我们有 $B_{\frac {1}{2}}(x)=\{y\mid d(x,y)<{\frac {1}{2}}\}=\{x\}\subseteq U$ 。因此 $x$ 是一个内点。

空间 $\mathbb {R}$ 具有普通度量。每个开区间 $(a,b)$ 是一个开集。这个证明类似于我们之前见过的证明 $int([a,b])=(a,b)$ 。

定理

在任何度量空间 X 中，以下三个陈述成立

1) 任意多个开集的并集是开集。

证明： 设

C

是一个开集的集合，令

x\in \cup C

。那么存在一个

U\in C

使得

x\in U

。

因此存在一个

\epsilon >0

使得

B_{\epsilon }(x)\subseteq U

。因此

B_{\epsilon }(x)\subseteq \cup C

.

2) 有限多个开集的交集是开集。

证明： 设

x\in \cap C

，其中

C

是一个有限的开集集合。

所以

x\in U

对于每个

U\in C

。设

C={U_{1},U_{2},...,U_{n}}

。对于每个

i=1,2,3,...,n

，存在一个

\epsilon _{i}>0

使得

B_{\epsilon }(x)\subseteq U_{i}

。设

\epsilon =min_{i}

{

\epsilon _{i}

}. 因此

\epsilon >0

并且

B_{\epsilon }(x)\subseteq \cap C

.

3) 空集和 _X_ 都是开集。

定理

在任何度量空间 _X_ 中，以下陈述成立

1) 任意数量的闭集的交集是闭集。

2) 有限数量的闭集的并集是闭集。

收敛

定义

首先，让我们将微积分中的收敛定义翻译成度量空间的“语言”：我们说一个序列 $x_{n}$ 收敛于 $x$ ，如果对于每一个 $\epsilon >0$ 存在一个 $N$ ，使得对于每个 $n^{*}>N$ ，以下成立： $d(x_{n^{*}},x)<\epsilon$ .
等价地，我们可以使用开球来定义收敛：序列 $x_{n}$ 收敛到 $x$ 如果对于每个 $\epsilon >0$ 都存在 $N$ 使得对于每个 $n^{*}>N$ 以下成立： $x_{n^{*}}\in B_{\epsilon }(x)$ 。

后一个定义使用了开球的“语言”，但我们可以做得更好 - 我们可以从收敛定义中去掉 $\epsilon$ ，从而使定义更加拓扑。让我们定义 $x_{n}$ **收敛** 到 $x$ （并标记为 $x_{n}\rightarrow x$ ），如果对于**每个球** $B$ 包含 $x$ ，都存在 $N_{B}$ 使得对于每个 $n^{*}>N_{B}$ 以下成立： $x_{n^{*}}\in B(x)$ 。 $x$ 称为该序列的极限。

这些定义都是一样的，但后一个使用拓扑术语，并且可以很容易地转换为拓扑定义。

性质

如果一个序列有极限，它只有一个极限。
证明令序列 $x_{n}$ 有两个极限， $x\,$ 和 $x^{\prime }$ 。如果它们不相同，我们必须有 $0<d(x,x^{\prime })$ 。令 $\epsilon$ 小于这个距离。现在对于某些 $N$ ，对于所有 $n>N$ ，它必须是 $x_{n}\in B_{\epsilon /2}(x)$ 和 $x_{n}\in B_{\epsilon /2}(x^{\prime })$ ，根据 $x\,$ 和 $x^{\prime }$ 是极限的事实。但这不可能；这两个球是分开的。因此极限是重合的，即序列只有一个极限。
如果 $x_{n}\rightarrow x$ ，那么几乎根据定义，我们得到 $d(x_{n},x)\rightarrow 0$ 。（ $d(x_{n},x)$ 是距离序列）。

例子

在 $\mathbb {R}$ 上使用自然度量，级数 $x_{n}={\frac {1}{n}}$ 收敛到 $0$ 。我们记为： ${\frac {1}{n}}\rightarrow 0$
任何使用离散度量的空间，级数 $x_{n}$ 收敛，当且仅当它最终为常数。换句话说： $x_{n}\rightarrow x$ 当且仅当，我们可以找到 $N$ 使得对于每个 $n^{*}>N$ ， $x_{n^{*}}=x$
一个你可能已经知道的例子

空间 $\mathbb {R} ^{k}$ ，对于任何当 $p\geq 1$ 的 p-范数诱导度量。令 ${\vec {x_{n}}}=(x_{n,1},x_{n,2},\cdots ,x_{n,k})$ 。并且令 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{k})$ 。
那么， ${\vec {x_{n}}}\rightarrow {\vec {x}}$ 当且仅当 $\forall i,1\leq i\leq k:x_{n,i}\rightarrow x_{i}$ 。

一致收敛

如果对于任何 $\epsilon >0$ ，存在一个 $N$ ，使得当 $a$ 和 $b$ 都大于 $N$ 时，则 $d(f_{a}(x),f_{b}(x))<\epsilon$ 对于任何 $x\in S$ 成立，则称函数序列 $\{f_{n}\}$ 在集合 $S$ 上一致收敛。

闭集

闭包

定义：如果存在一个序列 $a_{n},\forall n,a_{n}\in A$ ，使得 $a_{n}\rightarrow p$ ，则称点 $p$ 为集合 $A$ 的闭包点。

换句话说，点 $p$ 是集合 $A$ 的闭包点，如果存在一个在 $A$ 中的序列收敛于 $p$ 。注意， $p$ 不一定属于集合 $A$ 。

使用球体给出等效的定义：点 $p$ 被称为集合 $A$ 的闭包点，如果对于包含 $p$ 的每个开球 $B$ ，我们有 $B\cap A\neq \emptyset$ 。换句话说，每个包含 $p$ 的开球都包含 $A$ 中至少一个与 $p$ 不同的点。
证明留作练习。

直观上，闭包点与集合 $A$ “任意”接近。它是如此接近，以至于我们可以在该集合中找到一个收敛到该集合的任何闭包点的序列。

示例：令 A 为线段 $[0,1)\in \mathbb {R}$ ，点 $p=1$ 不在 $A$ 中，但它是一个闭包点：令 $a_{n}=1-{\frac {1}{n}}$ 。 $a_{n}\in A$ ( $n>0$ ，因此 $a_{n}=1-{\frac {1}{n}}<1$ ) 并且 $a_{n}\rightarrow 1$ （因为 ${\frac {1}{n}}\rightarrow 0$ ）。

定义：集合 $A\subseteq X$ 在度量空间 $({X},d)$ 中的闭包是包含所有聚点的集合。集合 A 的闭包用 ${\bar {A}}$ 或 $Cl(A)$ 表示。

请注意 $A\subseteq {\bar {A}}$ 。一个简短的证明：对于每一个 $x\in A$ ，令 $(a_{n}=x)\forall n$ 。

例子

对于度量空间 $\mathbb {R}$ （实数直线），令 $a,b\in \mathbb {R}$ ，我们有

$Cl([a,b])=[a,b]$
$Cl((a,b])=[a,b]$
$Cl([a,b))=[a,b]$
$Cl((a,b))=[a,b]$

闭集

定义：集合 $A\subseteq X$ 在 ${X}\,$ 中是闭合的，如果 $A=Cl(A)$ 。
意思：一个集合是闭合的，如果它包含了它所有的聚点。

等效的定义是：集合 $A\subseteq X$ 在 ${X}\,$ 中是闭合的，如果对于每个点 $p\in A$ ，并且对于每个球 $B,p\in B$ ，那么 $B\cap A\neq \emptyset$ 。
该定义的证明直接来自于前一个定义和收敛的定义。

性质

Cl 的一些基本性质（对于任意集合 $A,B$ ）

$A\subseteq Cl(A)$
$Cl(Cl(A))=Cl(A)$
$Cl(A\cup B)=Cl(A)\cup Cl(B)$
$A$ 是闭合的当且仅当 $A=Cl(A)$
虽然以上表明有限个闭合集的并集也是闭合集，但对于无限个闭合集的并集，则不一定是这样。例如在实数轴上，设 $A_{n}=\{[-1+{\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}]\}$ 。我们可以看到 $\cup _{i=1}^{\infty }A_{i}=(-1,1)$ 没有包含它的闭包点，即 $\pm 1.$

因此，这个并集不是实数的闭合子集。

证明留给读者作为练习。第 5 个提示：回忆 $Cl(A)=\cap \{A\subseteq S|S{\text{ is closed }}\!\!\}\!\!{\text{ }}$ 。

开集与闭集

也就是说，开集接近边界但不包含边界，而闭合集包含它接近的每个点。这两个性质看起来是互斥的，但并非如此。

在任何度量空间 $(X,d)$ 中，集合 $X$ 既是开集又是闭集。

在任何具有离散度量的空间中，每个集合都是既开集又是闭集。

在 $\mathbb {R}$ 中，在普通度量下，唯一既是开集又是闭集的集合是 $\mathbb {R}$ 和 $\emptyset$ 。然而，一些集合既不是开集也不是闭集。例如，像 $[0,1)$ 这样的半开区间既不是开集也不是闭集。再举一个例子，有理数集合不是开集，因为围绕有理数的开球包含无理数；它也不是闭集，因为存在收敛于无理数的有理数序列（比如各种收敛于 $\pi$ 的无穷级数）。

补集

提醒/定义：设 $A$ 是空间 $X$ 中的集合。我们定义 $A$ 的补集 $A^{c}$ 为 $X\setminus A$ 。

一个快速示例：设 $X=[0,1];A=[0,{\frac {1}{2}}]$ 。那么 $A^{c}=({\frac {1}{2}},1]$ 。

故事继续...

一个非常重要的命题：设 $A$ 是空间 $(X,d)$ 中的集合。那么，A 是开集当且仅当 $A^{c}$ 是闭集。
证明： ( $\Rightarrow$ ) 对于第一部分，我们假设 A 是一个开集。我们将证明 $A^{c}=Cl(A^{c})$ 。由于闭包的性质，证明 $Cl(A^{c})\subseteq A^{c}$ 就足够了。设 $p\in Cl(A^{c})$ （我们将证明 $p\in A^{c}$ ）。
对于每个球体 $B,p\in B$ ，根据定义我们有 (*) $B\cap A^{c}\neq \emptyset$ 。如果该点不在 $A^{c}$ 中，则 $p\in A$ 。 $A$ 是开集，因此，存在一个球体 $B$ ，使得： $p\in B\subseteq A$ ，这意味着 $B\cap A^{c}=\emptyset$ ，与 (*) 矛盾。
( $\Leftarrow$ ) 另一方面，假设 $A^{c}$ 是闭集，并证明 $A$ 是开集。令 $p$ 为 $A$ 中的一点（我们将证明 $p\in int(A)$ ）。如果 $p$ 不在 $int(A)$ 中，那么对于每个球体 $B,p\in B$ ，我们都有 $B\nsubseteq A$ 。这意味着 $B\cap A^{c}\neq \emptyset$ 。根据闭包点的定义， $p$ 是 $A^{c}$ 的闭包点，因此可以说 $p\in Cl(A^{c})$ 。 $A^{c}$ 是闭集，因此 $p\in A^{c}=Cl(A^{c})$ 。这与假设 $p\in A$ 相矛盾。

请注意，如前所述，一个集合仍然可以是**既开又闭**的！

在 $\mathbb {R}$

以下是表征 $\mathbb {R}$ 上开集和闭集的重要定理。
定理： $\mathbb {R}$ 中的开集 $O$ 是可数个不相交开区间的并集。
证明：设 $x\in O$ 。设 $a=\sup\{t|t\notin O,t<x\}$ ，设 $b=\inf\{t|t\notin O,t>x\}$ 。因为 $O$ 是开集，所以存在一个开球 $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ 使得 $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq O$ 。因此，a≤x-ε 且 b≥x+ε。因此，x ∈(a,b)。集合 O 包含 (a,b) 中的所有元素，因为如果一个数大于 a，且小于 x 但不在 O 内，那么 a 就不会是 {t|t∉O, t<x} 的上确界。类似地，如果存在一个数小于 b 且大于 x，但不在 O 内，那么 b 就不会是 {t|t∉O, t>x} 的下确界。因此，O 还包含 (a,x) 和 (x,b)，因此 O 包含 (a,b)。如果 y≠x 且 y∈(a,b)，那么由该元素构造的区间将与之前相同。如果 y<a，那么 inf{t|t∉O, t>y} 也将小于 a，因为存在一个在 y 和 a 之间的数不在 O 内。类似地，如果 y>b，那么 sup{t|t∉O, t<y} 也将大于 b，因为存在一个在 y 和 b 之间的数不在 O 内。因此，由上述过程构造的所有可能的开区间都是不相交的。由元素 x 构造的所有这些开区间的并集就是 O，所以 O 是不相交开区间的并集。因为有理数在 R 中稠密，所以每个开区间内都存在一个有理数，而且因为有理数是可数的，所以开区间本身也是可数的。

闭集的例子

在任何度量空间中，单点集 $\{x\}$ 是闭集。要理解这一点，考虑开集 $\{x\}^{c}$ 。令 $y\in \{x\}^{c}$ 。则 $y\neq x$ ，因此 $d(y,x)>0$ 。令 $\epsilon ={\frac {1}{2}}d(y,x)$ 。则 $B_{\epsilon }(y)\subseteq \{x\}^{c}$ 。所以 $\{x\}^{c}$ 是开集，因此 $\{x\}$ 是闭集。
在任何度量空间中，每个有限集 $T=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ 是闭集。要理解这一点，观察到 $T^{c}={\Big [}\bigcup \{x_{i}\}{\Big ]}^{c}=\bigcap \{x_{i}\}^{c}$ 是开集，因此 $T$ 是闭集。
闭区间 [a,b] 是闭集。
康托尔集 考虑区间 [0,1]，并将其称为 C₀。令 A₁ 等于 {0, ${\tfrac {2}{3}}$ }，并令 d_n = $({\tfrac {1}{3}})^{n}$ 。令 A_n+1 等于集合 A_n∪{x|x=a+2d_n, a∈A_n}。令 C_n 为 $\textstyle \bigcup _{a\in A_{n}}$ {[a,a+d_n]}，它是闭集的有限并，因此是闭集。然后交集 $\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{C_{i}}$ 被称为康托尔集，它是闭集。

习题

证明一个点 x 存在一个收敛于 x 的点序列，当且仅当所有包含 x 的球都至少包含 X 内的一个元素。
在 $\mathbb {R}$ 中，唯一既是开集又是闭集的集合是空集和整个集合。但当我们观察 $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ 时，情况就不一样了。请给出一个在 $\mathbb {Q}$ 中既是开集又是闭集的集合的例子。
令 $A$ $A$ 是空间 $x$ $x$ 中的一个集合。证明以下结论
1. $Cl(A)=Int(A^{c})^{c}$
2. $Int(A)=Cl(A^{c})^{c}$

连续性

定义

让我们回顾一下函数连续性的概念。直观地说，连续性意味着你可以在纸上画出函数，而无需抬起笔。连续性在拓扑学中很重要。但让我们从头开始。

经典的 delta-epsilon 定义：令 $(X,d),(Y,e)$ 是空间。函数 $f:X\rightarrow Y$ 在点 $x$ 处是连续的，如果对于所有的 $\epsilon _{x}>0$ ，存在一个 $\delta _{\epsilon _{x}}>0$ 使得：对于所有的 $x_{1}$ ，只要 $d(x,x_{1})<\delta _{\epsilon _{x}}$ ，就有 $e(f(x),f(x_{1}))<\epsilon _{x}$ 。

让我们用球体重新表述定义：一个函数 $f:X\rightarrow Y$ 在点 $x$ 处连续，如果对于所有 $\epsilon _{x}>0$ 都存在 $\delta _{\epsilon _{x}}>0$ 使得以下成立：对于所有 $x_{1}$ ，只要 $x_{1}\in B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x)$ ，我们就有 $f(x_{1})\in B_{\epsilon _{x}}(f(x))$ 。或者更简洁地说： $f(B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x))\subseteq B_{\epsilon _{x}}(f(x))$

看起来已经好多了！但我们还可以做得更多。

定义

如果一个函数在一个集合 S 上的每个点都连续，则该函数在集合 S 上连续。
如果一个函数在其整个定义域上连续，则该函数连续。

命题：一个函数 $f:X\rightarrow Y$ 连续，根据上面定义 $\Leftrightarrow$ 对于 $Y$ 中的每个开集 $U$ ， $U$ 的逆像， $f^{-1}(U)$ ，在 $X$ 中是开的。也就是说， $Y$ 中每个开集的逆像在 $X$ 中是开的。
请注意 $f$ 不必是满射或双射， $f^{-1}$ 仍然是定义良好的。符号 $f^{-1}$ 仅仅表示 $f^{-1}(U)=\{x\in X:f(x)\in U\}$ .

证明：首先，我们假设函数 $f$ 按定义是连续的（ $\Rightarrow$ 方向）。我们需要证明对于每一个开集 $U$ ， $f^{-1}(U)$ 也是开集。

设 $U\subseteq Y$ 为一个开集。设 $x\in f^{-1}(U)$ 。 $f(x)$ 在 $U$ 中，因为 $U$ 是开集，我们可以找到一个 $\epsilon _{x}$ ，使得 $B_{\epsilon _{x}}(f(x))\subseteq U$ 。因为 f 是连续的，对于那个 $\epsilon _{x}$ ，我们可以找到一个 $\delta _{\epsilon _{x}}>0$ 使得 $f(B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x))\subseteq B_{\epsilon _{x}}(f(x))\subseteq U$ 。这意味着 $B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x)\subseteq f^{-1}(U)$ ，因此， $x$ 是一个内点。这对每一个 $x$ 都成立 - 这意味着 $f^{-1}(U)$ 中的所有点都是内点，根据定义， $f^{-1}(U)$ 是开集。

( $\Leftarrow$ )另一方面，假设对于一个函数 $f$ ，对于每个开集 $U\in Y$ ， $f^{-1}(U)$ 在 $X$ 中是开集。我们需要证明 $f$ 是连续的。

对于每个 $x\in X$ 以及对于每个 $\epsilon _{x}>0$ ，集合 $B_{\epsilon _{x}}(f(x))$ 在 $Y$ 中是开集。因此，集合 $V=f^{-1}(B_{\epsilon _{x}}(f(x)))$ 在 $X$ 中是开集。注意 $x\in V$ 。因为 $V$ 是开集，这意味着我们可以找到一个 $\delta _{\epsilon _{x}}$ 使得 $B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x)\subseteq V$ ，并且我们有 $f(B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x))\subseteq B_{\epsilon _{x}}(f(x))$ 。

最后一个证明给了我们 **一个额外的定义，我们将在本书的其余部分用于连续性**。这个新定义的美妙之处在于它只使用开集，因此可以应用于没有度量的空间，所以现在我们有了两个可以用于连续性的等效定义。

例子

令 $f$ 是从任何空间 $(X,d)$ 到任何空间 $(Y,e)$ 的任何函数，其中 $d$ 是离散度量。那么 $f$ 是连续的。为什么？对于每一个开集 $U$ ，集合 $f^{-1}(U)$ 是开的，因为在离散度量空间中，每一个集合都是开的。
令 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ;f(x)=x$ 是恒等函数。 $f$ 是连续的：每一个开集的原像都是它自身，因此是开的。

练习

证明函数 $f:X\rightarrow Y$ 是连续的 $\Leftrightarrow$ 对于 $Y$ 中的每一个闭集 $U$ ， $U$ 的逆像， $f^{-1}(U)$ ，在 $X$ 中是闭的。

一致连续性

在度量空间 X 中，从 X 到度量空间 Y 的函数被称为一致连续，如果对于所有 $\epsilon$ ，存在一个 $\delta$ ，使得对于所有 $x_{1},x_{2}\in X$ ， $d(x_{1},x_{2})<\delta$ 意味着 $d(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon$ .

等距映射

等距映射是一个满射映射 $f:X\rightarrow Y$ ，其中 $(X,\delta )$ 和 $(Y,\rho )$ 是度量空间，并且对于所有 $a,b\in X$ ， $\delta (a,b)=\rho (f(a),f(b))$ .

在这种情况下， $(X,\delta )$ 和 $(Y,\rho )$ 被称为等距。

注意 $f$ 的单射性来自保持距离的性质

f(a)=f(b)

\implies \rho (f(a),f(b))=0

\implies \delta (a,b)=0

\implies a=b

因此，等距变换必然是双射的。

习题

证明一个集合是度量空间中的开集当且仅当它是（可能是无限的）开球的并集。
证明离散度量实际上是一个度量。

拓扑
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