偏微分方程/基本解、格林函数和格林核

在过去的两个章节中，我们学习了测试函数空间和分布。本章将展示一种利用测试函数空间和分布来获得线性偏微分方程解的方法。

分布解和基本解

在上一章中，我们定义了分布与光滑函数的乘积和分布的导数。因此，对于一个分布 ${\mathcal {T}}$，我们可以计算以下表达式：

$a\cdot \partial _{\alpha }{\mathcal {T}}$

对于一个光滑函数 $a:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 和一个 $d$ 维多重指标 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。因此，我们注意到，在一个形式为

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

我们可以将任何分布 ${\mathcal {T}}$ 代替 $u$ 代入左侧。但是，在这种情况下，等式将不成立，因为右侧是一个函数，而左侧将得到一个分布（因为分布的有限和又是分布，根据练习 4.1；记住只有有限多个 $a_{\alpha }$ 被允许不为零，参见定义 1.2）。但是，如果我们用 ${\mathcal {T}}_{f}$（对应于 $f$ 的正则分布）替换右侧，那么可能存在分布 ${\mathcal {T}}$ 满足该方程。在这种情况下，我们称之为 *分布解*。让我们在方框中总结一下这个定义。

定义 5.1:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集，令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

设 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(O)^{*}$ 是一个线性偏微分方程，并令 ${\mathcal {T}}$ 。那么 ${\mathcal {T}}$ 被称为上述线性偏微分方程的 **分布式解** 当且仅当

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\varphi )={\mathcal {T}}_{f}(\varphi )$.

定义 5.2:

设 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是一个开集，并令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

是一个线性偏微分方程。如果 $F:O\to {\mathcal {D}}(O)^{*}$ 具有以下两个性质

1. $\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):x\mapsto F(x)(\varphi )$ 是连续的，并且
2. $\forall x\in O:\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }F(x)(\varphi )=\delta _{x}(\varphi )$,

我们称 $F$ 为该偏微分方程的 **基本解**。

关于 $\delta _{x}$ 的定义，请参考练习 4.5。

引理 5.3:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集，并令 $\{{\mathcal {T}}_{x}|x\in S\}\subseteq {\mathcal {D}}(O)^{*}$ 为一组分布，其中 $S\subseteq \mathbb {R} ^{d}$。进一步假设对于所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$，函数 $S\to \mathbb {R} ,x\mapsto {\mathcal {T}}_{x}(\varphi )$ 是连续且有界的，并令 $f\in L^{1}(S)$ 是紧支撑的。那么

${\mathcal {T}}(\varphi ):=\int _{S}f(x){\mathcal {T}}_{x}(\varphi )dx$

是一个分布。

证明:

令 $C\subset \mathbb {R} ^{d}$ 为 $f$ 的支撑。对于 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$，用如下符号表示函数 $C\to \mathbb {R} ,x\mapsto {\mathcal {T}}_{x}(\varphi )$ 的上确界范数：

$\|{\mathcal {T}}_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }$.

如果 $\|f\|_{L_{1}}=0$ 或 $\|{\mathcal {T}}_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }=0$，则 ${\mathcal {T}}$ 恒等于零，因此是一个分布。 因此，我们只需要考虑 $\|f\|_{L_{1}}\neq 0$ 且 $\|{\mathcal {T}}_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }\neq 0$ 的情况。

对于每个 $n\in \mathbb {N}$，${\overline {B_{n}(0)}}$ 是一个紧集，因为它是有界闭集。 因此，我们可以用有限个两两不相交的集合 $Q_{n,1},\ldots ,Q_{n,k_{n}}$ 来覆盖 ${\overline {B_{n}(0)}}\cap S$，这些集合的直径不超过 $1/n$（为了方便，我们选择这些集合为 ${\overline {B_{n}(0)}}\cap S$ 的子集）。 此外，我们选择 $x_{n,1}\in Q_{n,1},\ldots ,x_{n,k_{n}}\in Q_{n,k_{n}}$。

对于每个 $n\in \mathbb {N}$，我们定义

${\mathcal {T}}_{n}(\varphi ):=\sum _{j=1}^{k_{n}}\int _{Q_{n,j}}f(x){\mathcal {T}}_{x_{n,j}}(\varphi )dx$

，这是一个分布的有限线性组合，因此也是一个分布（参见习题 4.1）。

现在令 $\vartheta \in {\mathcal {D}}(O)$ 和 $\epsilon >0$ 是任意的。我们选择 $N_{1}\in \mathbb {N}$ 使得对于所有的 $n\geq N_{1}$

$\forall x\in B_{R_{n}}(0)\cap S:y\in B_{1/n}(x)\Rightarrow |{\mathcal {T}}_{x}(\varphi )-{\mathcal {T}}_{y}(\varphi )|<{\frac {\epsilon }{2\|f\|_{L^{1}}}}$.

我们可以做到这一点，因为连续函数在紧集上是一致连续的。此外，我们选择 $N_{2}\in \mathbb {N}$ 使得

$\int _{S\setminus B_{n}(0)}|f(x)|dx<{\frac {\epsilon }{2\|{\mathcal {T}}_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }}}$.

我们可以根据控制收敛定理做到这一点。因为对于 $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$

$|{\mathcal {T}}_{n}(\varphi )-{\mathcal {T}}(\varphi )|<\sum _{j=1}^{k_{n}}\int _{Q{n,j}}|f(x)||{\mathcal {T}}_{\lambda _{x_{n,j}}}(\varphi )-{\mathcal {T}}_{x}(\varphi )|dx+{\frac {\epsilon \|{\mathcal {T}}_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }}{2\|T_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }}}<\epsilon$,

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):{\mathcal {T}}_{l}(\varphi )\to {\mathcal {T}}(\varphi )$. 因此，根据定理 AI.33，该结论成立。$\Box$

定理 5.4:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集，令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

是一个线性偏微分方程，其中 $f$ 是可积的，且具有紧支撑。令 $F$ 为该 PDE 的基本解。那么

${\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,{\mathcal {T}}(\varphi ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)F(x)(\varphi )dx$

是一个分布，是该偏微分方程的分布解。

证明: 由于根据基本解的定义，函数 $x\mapsto F(x)(\varphi )$ 对所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 是连续的，引理 5.3 意味着 ${\mathcal {T}}$ 是一个分布。

此外，根据定义 4.16，

${\begin{aligned}\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\varphi )&={\mathcal {T}}\left(\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\varphi )\right)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)F(x)\left(\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\varphi )\right)dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }F(x)(\varphi )dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\delta _{x}(\varphi )dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\varphi (x)dx\\&={\mathcal {T}}_{f}(\varphi )\end{aligned}}$.$\Box$

引理 5.5:

令 $\varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$, $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$, $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 且 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})^{*}$. 那么

$f\partial _{\alpha }({\mathcal {T}}*\varphi )=(f\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})*\varphi$.

证明:

根据定理 4.21 2., 对所有 $x\in \mathbb {R} ^{d}$

${\begin{aligned}f\partial _{\alpha }({\mathcal {T}}*\varphi )(x)&=f{\mathcal {T}}*(\partial _{\alpha }\varphi )(x)\\&=f{\mathcal {T}}((\partial _{\alpha }\varphi )(x-\cdot ))\\&=f{\mathcal {T}}\left((-1)^{|\alpha |}\partial _{\alpha }(\varphi (x-\cdot ))\right)\\&=f(\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})(\varphi (x-\cdot ))\\&=(\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})(f\varphi (x-\cdot ))\\&=(f\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})(\varphi (x-\cdot ))=(f\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})*\varphi (x)\\\end{aligned}}$.$\Box$

定理 5.6:

令 ${\mathcal {T}}$ 是方程的解

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d}):\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\varphi )=\delta _{0}$,

其中只有有限个 $a_{\alpha }$ 不为零，并且令 $\vartheta \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$. 那么 $u:={\mathcal {T}}*\vartheta$ 是以下方程的解

$\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u=\vartheta$.

证明:

根据引理 5.5，我们有

${\begin{aligned}\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u(x)&=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }({\mathcal {T}}*\vartheta )(x)\\&=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})*\vartheta (x)\\&=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\vartheta (x-\cdot ))\\&=\delta _{0}(\vartheta (x-\cdot ))=\vartheta (x)\end{aligned}}$.$\Box$

单位分解

在本节中，您将了解数学中一个非常重要的工具，即单位分解。 我们将在本章以及本书的后面用到它。 为了证明单位分解的存在性（我们很快就会定义它是什么），我们首先需要一些定义。

定义 5.7:

设 $S\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为一个集合。 我们定义

• $\partial S:=\left\{x\in \mathbb {R} {\big |}\forall \epsilon >0:B_{\epsilon }(x)\cap S\neq \emptyset \wedge B_{\epsilon }(x)\cap (\mathbb {R} ^{d}\setminus S)\neq \emptyset \right\}$
• ${\overset {\circ }{S}}:=S\setminus \partial S$

$\partial S$ 称为 $S$ 的边界，而 ${\overset {\circ }{S}}$ 称为 $S$ 的内部。此外，如果 $x\in \mathbb {R} ^{d}$，我们定义

${\text{dist}}(S,x):=\inf _{y\in S}\|x-y\|$.

证明中还需要用到定义 3.13，因此现在将其重新陈述

定义 3.13:

对于 $R\in \mathbb {R} _{>0}$，我们定义

$\eta _{R}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta _{R}(x)=\eta \left({\frac {x}{R}}\right){\big /}R^{d}$.

定理和定义 5.8：设 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是一个开集，并设 $U_{\upsilon },\upsilon \in \Upsilon$ 是 $\mathbb {R} ^{d}$ 的开子集，使得 $\bigcup _{\upsilon \in \Upsilon }U_{\upsilon }=O$（即，集合 $U_{\upsilon },\upsilon \in \Upsilon$ 形成 $O$ 的开覆盖）。那么存在 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$ 中的一个函数序列 $(\eta _{l})_{l\in \mathbb {N} }$，使得以下条件满足

1. $\forall n\in \mathbb {N} :\forall x\in O:0\leq \eta _{n}(x)\leq 1$
2. $\forall n\in \mathbb {N} :\exists \upsilon \in \Upsilon :{\text{supp }}\eta _{n}\subseteq U_{\upsilon }$
3. $\forall x\in O:|\{n\in \mathbb {N} |\eta _{n}(x)\neq 0\}|<\infty$
4. $\forall x\in O:\sum _{i=0}^{\infty }\eta _{i}(x)=1$

序列 $(\eta _{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 被称为 $O$ 关于 $U_{\upsilon },\upsilon \in \Upsilon$ 的单位分解。

证明：我们将通过显式构造这样的函数序列来证明这一点。

1. 首先，我们构造一个开球序列 $(B_{l})_{l\in \mathbb {N} }$，它具有以下性质

• $\forall n\in \mathbb {N} :\exists \upsilon \in \Upsilon :{\overline {B_{n}}}\subseteq U_{\upsilon }$
• $\forall x\in O:|\{n\in \mathbb {N} |x\in {\overline {B_{n}}}\}|<\infty$
• $\bigcup _{j\in \mathbb {N} }B_{j}=O$.

为了做到这一点，我们首先从序列紧集的定义开始；对于每个 $n\in \mathbb {N}$，我们定义

$K_{n}:=\left\{x\in O{\big |}{\text{dist}}(\partial O,x)\geq {\frac {1}{n}},\|x\|\leq n\right\}$.

这个序列具有以下性质

• $\bigcup _{j\in \mathbb {N} }K_{j}=O$
• $\forall n\in \mathbb {N} :K_{n}\subset {\overset {\circ }{K_{n+1}}}$.

我们现在构建 $(B_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 使得

• $K_{1}\subset \bigcup _{1\leq j\leq k_{1}}B_{j}\subseteq {\overset {\circ }{K_{2}}}$ 和
• $\forall n\in \mathbb {N} :K_{n+1}\setminus {\overset {\circ }{K_{n}}}\subset \bigcup _{k_{n}<j\leq k_{n+1}}B_{j}\subseteq {\overset {\circ }{K_{n+2}}}\setminus K_{n-1}$

对于某些 $k_{1},k_{2},\ldots \in \mathbb {N}$。我们用以下方法做到这一点：为了满足第一个条件，我们首先用球体覆盖 $K_{1}$，对于每个 $x\in K_{1}$ 选择一个球体 $B_{x}$ 使得 $B_{x}\subseteq U_{\upsilon }\cap {\overset {\circ }{K_{2}}}$ 对于一个 $\upsilon \in \Upsilon$。由于这些球体覆盖了 $K_{1}$，并且 $K_{1}$ 是紧致的，我们可以选择一个有限的子覆盖 $B_{1},\ldots B_{k_{1}}$。

为了满足第二个条件，我们以类似的方式进行，注意到对于所有 $n\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ $K_{n+1}\setminus {\overset {\circ }{K_{n}}}$ 是紧致的，而 ${\overset {\circ }{K_{n+2}}}\setminus K_{n-1}$ 是开集。

这个开球序列具有我们期望的性质。

2. 我们选择相应的函数。由于每个 $B_{n}$，$n\in \mathbb {N}$ 是一个开球，它具有以下形式

$B_{n}=B_{R_{n}}(x_{n})$

其中 $R_{n}\in \mathbb {R}$ 和 $x_{n}\in \mathbb {R} ^{d}$。

很容易证明，由以下定义的函数

${\tilde {\eta }}_{n}(x):=\eta _{R_{n}}(x-x_{n})$

满足 ${\tilde {\eta }}_{n}(x)=0$ 当且仅当 $x\in B_{n}$。因此，也有 ${\text{supp }}{\tilde {\eta }}_{n}={\overline {B_{n}}}$。我们定义

$\eta (x):=\sum _{j=1}^{\infty }{\tilde {\eta }}_{j}(x)$

以及，对于每个 $n\in \mathbb {N}$，

$\eta _{n}:={\frac {{\tilde {\eta }}_{n}}{\eta }}$.

然后，由于 $\eta$ 从不为零，序列 $(\eta _{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 是一个 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$ 函数序列，并且它具有性质 1. - 4.，这一点很容易验证。 $\Box$

格林函数和格林核

定义 5.9:

令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

为一个线性偏微分方程。如果对于所有 $x\in \mathbb {R} ^{d}$，${\mathcal {T}}_{G(\cdot ,x)}$ 是定义良好的，并且

$F(x):={\mathcal {T}}_{G(\cdot ,x)}$

是该偏微分方程的一个基本解，则称该函数 $G:\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 为该偏微分方程的格林函数。

定义 5.10:

令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

为一个线性偏微分方程。如果函数

$G(y,x):=K(y-x)$

是该偏微分方程的格林函数，则称该函数 $K:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 为该偏微分方程的格林核。

定理 5.11:

令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

为一个线性偏微分方程（以下简称 PDE），使得 $f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{d})$，令 $K$ 为该 PDE 的格林核。如果

$u:=f*K$

如果 $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u$ 存在且连续，则 $u$ 是该偏微分方程的解。

证明:

我们选择 $(\eta _{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 作为 $O$ 的单位分解，其中 $O$ 的开覆盖只包含集合 $O$ 本身。根据单位分解的定义，我们有

$f=\sum _{j\in \mathbb {N} }\eta _{j}f$.

对于每个 $n\in \mathbb {N}$，我们定义

$f_{n}:=\eta _{n}f$

以及

$u_{n}:=f_{n}*K$.

根据 Fubini 定理，对于所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$ 和 $n\in \mathbb {N}$

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}T_{K(\cdot -y)}(\varphi )f_{n}(y)dy&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(x-y)\varphi (x)dxf_{n}(y)dy\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f_{n}(y)K(x-y)\varphi (x)dydx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}(f_{n}*K)(x)\varphi (x)dx\\&={\mathcal {T}}_{u_{n}}(\varphi )\end{aligned}}$.

因此，定理 4.11 中给出的 ${\mathcal {T}}_{u_{n}}$ 是一个定义良好的分布。

定理 5.4 意味着 ${\mathcal {T}}_{u_{n}}$ 是 PDE 的分布解

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u_{n}(x)=f_{n}(x)$.

因此，对于所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$，我们有，根据定理 4.19，

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u_{n}\right)(x)\varphi (x)dx&={\mathcal {T}}_{\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u_{n}}(\varphi )\\&=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{u_{n}}(\varphi )\\&=T_{f_{n}}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f_{n}(x)\varphi (x)dx\end{aligned}}$.

由于 $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u_{n}$ 和 $f_{n}$ 均为连续函数，根据定理 3.17，它们必须相等。将等式两边关于 $n$ 求和得到定理。$\Box$

定理 5.12:

令 $K\in L_{\text{loc}}^{1}$，并令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集。那么对于所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$，函数 $x\mapsto {\mathcal {T}}_{K(\cdot -x)}(\varphi )$ 是连续的。

证明:

如果 $x_{l}\to x,l\to \infty$，那么

${\begin{aligned}{\mathcal {T}}_{K(\cdot -x_{l})}(\varphi )-{\mathcal {T}}_{K(\cdot -x)}(\varphi )&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(y-x_{l})\varphi (y)dy-\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(y-x)\phi (y)dy\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(y)(\varphi (y+x_{l})-\varphi (y+x))dy\\&\leq \max _{y\in \mathbb {R} ^{d}}|\varphi (y+x_{l})-\varphi (y+x)|\underbrace {\int _{{\text{supp }}\varphi +B_{1}(x)}K(y)dy} _{\text{constant}}\end{aligned}}$

当$l$ 足够大时，最后一个表达式中的最大值收敛于 $0$，因为 $l\to \infty$，因为 $\varphi$ 的支撑是紧致的，因此 $\varphi$ 由Heine-Cantor 定理 一致连续。$\Box$

最后一个定理表明，如果我们找到一个局部可积函数$K$ 使得

$\forall x\in \mathbb {R} ^{d}:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{K(\cdot -x)}=\delta _{x}$,

我们找到了相应偏微分方程的格林核$K$。我们将在获得热方程和泊松方程解的过程中依赖这个定理。

来源

• Hasse Carlsson (2011), 分布理论讲义 (PDF)
• Daniel Matthes (2013/2014), 偏微分方程讲义 {{citation}}: 请检查日期值：|year= (帮助)