本章讨论的是热方程,其形式如下

对于某个
。利用分布理论,我们将证明一个显式解公式(如果
具有足够的可微性),并且我们甚至证明了初值问题的解公式。
引理 6.1:

证明:

在两边取平方根即可完成证明。
引理 6.2:

证明:

根据引理 6.1,
.
如果我们将替换积分(定理 5.5)应用于此,使用微分同胚
,我们将得到

并乘以

因此,首先计算最内层的积分,然后提取结果常数,


定理 6.3:
函数

是热方程的格林函数。
证明:
1.
我们证明
是局部可积的。
设
是一个紧集,并设
使得
。我们首先证明积分

存在

通过使用微分同胚
在内部积分中进行变量变换,以及引理 6.2,我们得到

因此,积分

存在。但是,由于

,其中
是
的特征函数,积分

存在。由于
是一个任意的紧集,因此我们具有局部可积性。
2.
我们计算
和
(参见练习 1)。


3.
我们证明

令
为任意函数。
在证明的最后一步中,我们只处理项
。

如果我们选择
和
使得

,我们甚至有

利用控制收敛定理(定理 5.1),我们可以再次改写该项。
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{t}-\Delta _{x})T_{E(\cdot -(t,x))}(\varphi )&=\int _{(t,t+T)\times B_{R}(x)}(-\partial _{t}-\Delta _{x})\varphi (s,y)E(s-t,y-x)d(s,y)\\&=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\int _{(t,t+T)\times B_{R}(x)}(-\partial _{t}-\Delta _{x})\varphi (s,y)E(s-t,y-x)(1-\chi _{[t,t+\epsilon ]}(s))d(s,y)\\&=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\int _{(t+\epsilon ,t+T)\times B_{R}(x)}(-\partial _{t}-\Delta _{x})\varphi (s,y)E(s-t,y-x)d(s,y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e913301ee6126b390a02d6c41e7ad31a5f5c6014)
其中,
是
的特征函数。
我们将极限项分成两部分,分别对每一项进行操作。

最后的积分是在
上进行的,其中
。在这个区域及其边界上,
是可微的。因此,我们允许进行分部积分。
在最后两次操作中,我们使用了分部积分,其中
和
交换了定理 5.4 中函数的角色,以及
和
交换了向量场的角色。在后一种操作中,我们没有直接应用定理 5.4,而是对等式两边减去了边界项。
让我们也对另一个积分进行分部积分。

现在我们将这两个项加起来,可以发现

以上导数计算表明
,这就是为什么最后两个积分相互抵消,因此

利用
,并使用微分同胚
进行多维积分替换,我们得到

由于
是连续的(甚至光滑的),我们有

因此


定理 6.4:如果
是有界的,在
变量上连续可微一次,在
变量上连续可微二次,则

是热传导方程的解。

证明:
1.
我们证明
具有足够的可微性,以满足方程。
2.
我们引用定理 5.?,该定理明确指出,如果卷积具有足够的可微性(我们在证明的第一部分中已经证明),则与格林核的卷积是解。
定理及定义 6.6:设
为有界函数,在
变量上具有一阶连续导数,在
变量上具有二阶连续导数,并设
为连续且有界的函数。如果我们定义

,则函数

是热方程初值问题的连续解,即

注意,如果我们不要求解是连续的,我们可以取任意一个解,并将其在
处设置为
。
证明:
1.
我们证明

根据定理7.4,我们已经知道
是以下方程的解:

因此,对于
,我们有

这就是为什么如果满足以下条件,则
将成立。
- 对于

我们现在来验证这一点。
根据空间卷积的定义,我们有

以及

通过应用莱布尼兹积分法则(参见练习 2),我们发现

对所有
。
2.
我们证明
是连续的。
很明显,
在
上是连续的,因为所有一阶偏导数都存在且连续(参见练习 2)。剩下的需要证明的是
在
上是连续的。
为此,我们首先注意到,对所有 

此外,由于
的连续性,对于任意给定的
和任意
,我们都可以找到一个
,使得
.
根据以上两点观察,我们可以得出结论
但是由于使用微分同胚
进行换元积分,我们得到

这就是为什么

由于
是任意的,因此连续性得证。