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偏微分方程/热方程

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偏微分方程
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本章讨论的是热方程,其形式如下

对于某个。利用分布理论,我们将证明一个显式解公式(如果具有足够的可微性),并且我们甚至证明了初值问题的解公式。

格林核与解

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引理 6.1:

证明:

在两边取平方根即可完成证明。

引理 6.2:

证明:

根据引理 6.1,

.

如果我们将替换积分(定理 5.5)应用于此,使用微分同胚,我们将得到

并乘以

因此,首先计算最内层的积分,然后提取结果常数,

定理 6.3:

函数

是热方程的格林函数。

证明:

1.

我们证明是局部可积的。

是一个紧集,并设使得。我们首先证明积分

存在

通过使用微分同胚在内部积分中进行变量变换,以及引理 6.2,我们得到

因此,积分

存在。但是,由于

,其中的特征函数,积分

存在。由于是一个任意的紧集,因此我们具有局部可积性。

2.

我们计算(参见练习 1)。

3.

我们证明

为任意函数。

在证明的最后一步中,我们只处理项

如果我们选择 使得

,我们甚至有

利用控制收敛定理(定理 5.1),我们可以再次改写该项。

其中, 的特征函数。

我们将极限项分成两部分,分别对每一项进行操作。

最后的积分是在 上进行的,其中 。在这个区域及其边界上, 是可微的。因此,我们允许进行分部积分。

在最后两次操作中,我们使用了分部积分,其中交换了定理 5.4 中函数的角色,以及交换了向量场的角色。在后一种操作中,我们没有直接应用定理 5.4,而是对等式两边减去了边界项。

让我们也对另一个积分进行分部积分。

现在我们将这两个项加起来,可以发现

以上导数计算表明,这就是为什么最后两个积分相互抵消,因此

利用 ,并使用微分同胚 进行多维积分替换,我们得到

由于 是连续的(甚至光滑的),我们有

因此

定理 6.4:如果是有界的,在变量上连续可微一次,在变量上连续可微二次,则

是热传导方程的解。

证明:

1.

我们证明具有足够的可微性,以满足方程。

2.

我们引用定理 5.?,该定理明确指出,如果卷积具有足够的可微性(我们在证明的第一部分中已经证明),则与格林核的卷积是解。

初值问题

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定义 6.5:设 为两个函数。 的空间卷积 由下式给出

定理及定义 6.6:设 为有界函数,在 变量上具有一阶连续导数,在 变量上具有二阶连续导数,并设 为连续且有界的函数。如果我们定义

,则函数

热方程初值问题的连续解,即

注意,如果我们不要求解是连续的,我们可以取任意一个解,并将其在处设置为

证明:

1.

我们证明

根据定理7.4,我们已经知道是以下方程的解:

因此,对于,我们有

这就是为什么如果满足以下条件,则 将成立。

对于

我们现在来验证这一点。

根据空间卷积的定义,我们有

以及

通过应用莱布尼兹积分法则(参见练习 2),我们发现

对所有

2.

我们证明 是连续的。

很明显, 上是连续的,因为所有一阶偏导数都存在且连续(参见练习 2)。剩下的需要证明的是 上是连续的。

为此,我们首先注意到,对所有

此外,由于 的连续性,对于任意给定的 和任意,我们都可以找到一个,使得

.

根据以上两点观察,我们可以得出结论

但是由于使用微分同胚进行换元积分,我们得到

这就是为什么

由于是任意的,因此连续性得证。

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