本章讨论的是热方程,其形式如下
对于某个。利用分布理论,我们将证明一个显式解公式(如果具有足够的可微性),并且我们甚至证明了初值问题的解公式。
引理 6.1:
证明:
在两边取平方根即可完成证明。
引理 6.2:
证明:
根据引理 6.1,
- .
如果我们将替换积分(定理 5.5)应用于此,使用微分同胚,我们将得到
并乘以
因此,首先计算最内层的积分,然后提取结果常数,
定理 6.3:
函数
是热方程的格林函数。
证明:
1.
我们证明是局部可积的。
设是一个紧集,并设使得。我们首先证明积分
存在
通过使用微分同胚在内部积分中进行变量变换,以及引理 6.2,我们得到
因此,积分
存在。但是,由于
,其中是的特征函数,积分
存在。由于是一个任意的紧集,因此我们具有局部可积性。
2.
我们计算和(参见练习 1)。
3.
我们证明
令 为任意函数。
在证明的最后一步中,我们只处理项 。
如果我们选择 和 使得
,我们甚至有
利用控制收敛定理(定理 5.1),我们可以再次改写该项。
其中, 是 的特征函数。
我们将极限项分成两部分,分别对每一项进行操作。
最后的积分是在 上进行的,其中 。在这个区域及其边界上, 是可微的。因此,我们允许进行分部积分。
在最后两次操作中,我们使用了分部积分,其中和交换了定理 5.4 中函数的角色,以及和交换了向量场的角色。在后一种操作中,我们没有直接应用定理 5.4,而是对等式两边减去了边界项。
让我们也对另一个积分进行分部积分。
现在我们将这两个项加起来,可以发现
以上导数计算表明,这就是为什么最后两个积分相互抵消,因此
利用 ,并使用微分同胚 进行多维积分替换,我们得到
-
由于 是连续的(甚至光滑的),我们有
因此
定理 6.4:如果是有界的,在变量上连续可微一次,在变量上连续可微二次,则
是热传导方程的解。
证明:
1.
我们证明具有足够的可微性,以满足方程。
2.
我们引用定理 5.?,该定理明确指出,如果卷积具有足够的可微性(我们在证明的第一部分中已经证明),则与格林核的卷积是解。
定理及定义 6.6:设 为有界函数,在 变量上具有一阶连续导数,在 变量上具有二阶连续导数,并设 为连续且有界的函数。如果我们定义
,则函数
是热方程初值问题的连续解,即
注意,如果我们不要求解是连续的,我们可以取任意一个解,并将其在处设置为。
证明:
1.
我们证明
根据定理7.4,我们已经知道是以下方程的解:
因此,对于,我们有
这就是为什么如果满足以下条件,则 将成立。
- 对于
我们现在来验证这一点。
根据空间卷积的定义,我们有
以及
通过应用莱布尼兹积分法则(参见练习 2),我们发现
对所有 。
2.
我们证明 是连续的。
很明显, 在 上是连续的,因为所有一阶偏导数都存在且连续(参见练习 2)。剩下的需要证明的是 在 上是连续的。
为此,我们首先注意到,对所有
此外,由于 的连续性,对于任意给定的 和任意,我们都可以找到一个,使得
- .
根据以上两点观察,我们可以得出结论
-
但是由于使用微分同胚进行换元积分,我们得到
这就是为什么
由于是任意的,因此连续性得证。