偏微分方程/傅里叶变换

本章介绍傅里叶变换。傅里叶变换将函数转换为其他函数。它可以用来解决某些类型的线性微分方程。

定义和计算规则

定义 8.1:

设 $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$。那么 $f$ 的 **傅里叶变换** 定义如下

${\hat {f}}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,{\hat {f}}(y):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx$

我们记得 $f$ 是可积的 $\Leftrightarrow$ $|f|$ 是可积的。

现在我们准备证明下一个定理

**定理 8.2**：可积函数 $f$ 的傅里叶变换是定义良好的。

**证明**：由于 $f$ 是可积的，引理 8.2 告诉我们 $|f|$ 是可积的。但是

$\forall x,y\in \mathbb {R} ^{d}:|f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}|=|f(x)|\cdot \overbrace {|e^{-2\pi ix\cdot y}|} ^{=1}=|f(x)|$

, 因此 $x\mapsto |f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}|$ 是可积的。但随后，$x\mapsto f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}$ 是可积的，这就是为什么

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx={\hat {f}}(y)$

根据可积性的定义，它有一个唯一的复数值。$\Box$

定理 8.3：令$f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$。那么 $f$ 的傅里叶变换 ${\hat {f}}$ 是有界的。

证明:

${\begin{aligned}\left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx\right|&\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}\left|f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}\right|dx&{\text{triangle ineq. for the }}\int \\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|dx&\left|e^{-2\pi ix\cdot y}\right|=1\\&\in \mathbb {R} &f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})\end{aligned}}$$\Box$

一旦我们计算了函数 $f$ 的傅里叶变换 ${\tilde {f}}$，我们可以很容易地找到与 $f$ 相似的函数的傅里叶变换。以下计算规则展示了如何做到这一点的例子。但在我们陈述计算规则之前，我们回忆一下第 2 章中的一个定义，即向量对多重索引的幂，因为它在最后一个计算规则中是必需的。

定义 2.6:

对于向量 $x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ 和一个 $d$ 维多重指标 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，我们定义 $x^{\alpha }$，$x$ 的 $\alpha$ 次方，如下所示

$x^{\alpha }:=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}^{\alpha _{d}}$

现在我们写下计算规则，使用以下符号

符号 8.4:

我们写

$f(x)\rightarrow g(y)$

表示句子“函数 $y\mapsto g(y)$ 是函数 $x\mapsto f(x)$ 的傅里叶变换”。

定理 8.5:

令 ${\hat {f}}$ 是 $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ 的傅里叶变换。 那么以下计算规则成立

1. $f(x)e^{-2\pi ih\cdot x}\rightarrow {\hat {f}}(y+h)$ 对于任意 $h\in \mathbb {R} ^{d}$
2. $f(x+h)\rightarrow {\hat {f}}(y)e^{2\pi ih\cdot y}$ 对于任意 $h\in \mathbb {R} ^{d}$
3. $f(\delta x)\rightarrow \delta ^{-d}{\hat {f}}(\delta ^{-1}y)$ 对于任意 $\delta >0$

如果此外 ${\hat {g}}$ 是 $g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ 的傅里叶变换，我们有

4. $\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\hat {g}}(x)f(x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y){\hat {f}}(y)dy$

证明：要证明第一个规则，我们只需要指数函数的其中一个规则（以及标准点积的对称性）

1.

$f(x)e^{-2\pi ih\cdot x}\rightarrow \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ih\cdot x}e^{-2\pi ix\cdot y}dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot (y+h)}dx={\hat {f}}(y+h)$

对于接下来的两个规则，我们应用一般的积分换元规则，使用微分同胚 $x\mapsto x-h$ 和 $x\mapsto \delta ^{-1}x$，它们是 $\mathbb {R} ^{d}$ 到自身的双射。

2.

$f(x+h)\rightarrow \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x+h)e^{-2\pi ix\cdot y}dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi i(x-h)\cdot y}dx=e^{2\pi ih\cdot y}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx={\hat {f}}(y)e^{2\pi ih\cdot y}$

3.

$f(\delta x)\rightarrow \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\delta x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\delta ^{-d}f(x)e^{-2\pi i(\delta ^{-1}x)\cdot y}dx=\delta ^{-d}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot (\delta ^{-1}y)}dx=\delta ^{-d}{\hat {f}}(\delta ^{-1}y)$

4.

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\hat {g}}(x)f(x)dx&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y)e^{2\pi ix\cdot y}dyf(x)dx&{\text{Def. of the Fourier transform}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(y)e^{2\pi ix\cdot y}dydx&{\text{putting a constant inside the integral}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(y)e^{2\pi ix\cdot y}dxdy&{\text{Fubini}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y)\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{2\pi ix\cdot y}dxdy&{\text{pulling a constant out of the integral}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y){\hat {f}}(y)dy&{\text{Def. of the Fourier transform}}\\\end{aligned}}$

$\Box$

Schwartz 函数的傅里叶变换

为了继续讨论涉及 Schwartz 函数的傅里叶变换的进一步规则，我们需要了解 Schwartz 函数的一些其他性质。

定理 8.6:

设 $\phi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 是一个 Schwartz 函数，设 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。那么函数

$x\mapsto x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)$

也是一个 Schwartz 函数。

证明:

设 $\varrho ,\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。根据一般乘积法则，我们有

$\partial _{\varsigma }x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)=\sum _{\varepsilon \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varepsilon \leq \varsigma }{\binom {\varsigma }{\varepsilon }}\partial _{\varepsilon }(x^{\alpha })\partial _{\varsigma -\varepsilon }\partial _{\beta }\phi (x)$

我们注意到，对于所有 $\alpha$ 和 $\varepsilon$，$\partial _{\varepsilon }(x^{\alpha })$ 等于 $x$ 的某个多重指标幂。由于 $\phi$ 是一个 Schwartz 函数，存在常数 $c_{\varepsilon }$ 使得

$\|x^{\varrho }\partial _{\varepsilon }(x^{\alpha })\partial _{\varsigma -\varepsilon }\partial _{\beta }\phi \|_{\infty }\leq c_{\varepsilon }$

因此，对于 $\|\cdot \|_{\infty }$ 的三角不等式意味着

$\|x^{\varrho }\partial _{\varsigma }x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi \|_{\infty }\leq \sum _{\varepsilon \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varepsilon \leq \varsigma }{\binom {\varsigma }{\varepsilon }}c_{\varepsilon }$$\Box$

定理 8.7:

每个 Schwartz 函数都是可积的。

证明:

我们使用如果一个函数的绝对值几乎处处小于一个可积函数的值，那么第一个函数是可积的。

设 $\phi$ 为一个 Schwartz 函数。则存在 $b,c\in \mathbb {R} _{>0}$ 使得对于所有 $x\in \mathbb {R} ^{d}$

$|\phi (x)|\leq \min \left\{b\prod _{j=1}^{d}|x_{j}|^{-2},c\right\}$

后面的函数是可积的， $\phi$ 的可积性由此得出。$\Box$

现在我们可以证明傅里叶变换与 Schwartz 函数相关的以下三个规则。

定理 8.8:

如果 ${\hat {\phi }}$ 是 Schwartz 空间 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 中函数 $\phi$ 的傅里叶变换，除了定理 8.4 中的规则之外，还满足以下规则：

1. $\partial _{\alpha }\phi (x)\rightarrow (2\pi iy)^{\alpha }{\hat {\phi }}(y)$ 对于任意 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$
2. $(-2\pi ix)^{\alpha }\phi (x)\rightarrow \partial _{\alpha }{\hat {\phi }}(y)$ 对于任意 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$

另外，如果 ${\hat {\theta }}$ 是 $\theta \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 的傅里叶变换，那么

3. ${\widehat {\phi *\theta }}(y)={\hat {\phi }}(y)\cdot {\hat {\theta }}(y)$

证明:

1.

对于第一个规则，我们使用对 $|\alpha |$ 的归纳。

显然，当 $|\alpha |=0$ 时，该结论成立（此时该规则表明 $\phi$ 的傅里叶变换是 $\phi$ 的傅里叶变换）。

我们继续进行归纳步骤：设 $n\in \mathbb {N} _{0}$，并假设对于所有 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，使得 $|\alpha |=n$，该结论成立。设 $\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，使得 $|\beta |=n+1$。我们证明该结论对于 $\beta$ 也成立。

请记住，我们有 $\partial _{\beta }\phi :=\partial _{x_{1}}^{\beta _{1}}\cdots \partial _{x_{d}}^{\beta _{d}}\phi$。我们选择 $k\in \{1,\ldots ,d\}$，使得 $\beta _{k}>0$（这是可能的，因为否则 $|\beta |=0$），定义

$e_{k}:=(0,\ldots ,0,\overbrace {1} ^{k{\text{th entry}}},0,\ldots ,0)$

$\alpha :=\beta -e_{k}$

并得到

$\partial _{\beta }\phi =\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi$

根据施瓦茨定理，这意味着可以任意交换偏导数的顺序。

令 $R\in \mathbb {R} _{>0}$ 是一个任意的正实数。根据富比尼定理和分部积分，我们得到

${\begin{aligned}\int _{[-R,R]^{d}}\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&=\int _{[-R,R]^{d-1}}\int _{-R}^{R}\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx_{k}d(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{d})\\&=\int _{[-R,R]^{d-1}}\left(\left(\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}\right){\big |}_{x_{k}=-R}^{x_{k}=R}-\int _{-R}^{R}\partial _{\alpha }\phi (x)(-2\pi iy_{k})e^{-2\pi ix\cdot y}dx_{k}\right)d(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{d})\end{aligned}}$

由于支配收敛定理（支配函数为 $x\mapsto \partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi (x)$），该方程左边上的积分收敛于

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx$

当 $R\to \infty$ 时。此外，由于 $\phi$ 是一个 Schwartz 函数，存在 $b,c\in \mathbb {R} _{>0}$ 使得

$|\partial _{\alpha }\phi (x)|<\min \left\{b\prod _{j=1 \atop j\neq k}^{d}|x_{j}|^{-2},c\right\}$

因此，最后一个方程最后一行右侧大括号内的函数被 $L^{1}(\mathbb {R} ^{d-1})$ 函数支配

$(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{d})\mapsto \min \left\{b\prod _{j=1 \atop j\neq k}^{d}|x_{j}|^{-2},c\right\}+\int _{-\infty }^{\infty }|\partial _{\alpha }\phi (x)(-2\pi iy_{k})|dx_{k}$

因此，根据控制收敛定理，当 $R\to \infty$ 时，该函数的积分收敛于

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}\left(\int _{-\infty }^{\infty }\partial _{\alpha }\phi (x)(2\pi iy_{k})e^{-2\pi ix\cdot y}dx_{k}\right)d(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{d})&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{\alpha }\phi (x)(2\pi iy_{k})e^{-2\pi ix\cdot y}dx&{\text{Fubini}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}(2\pi iy^{\beta })\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&{\text{induction hypothesis}}\end{aligned}}$

根据实数序列极限的唯一性，我们得到 1。

2.

我们再次对 $|\alpha |$ 进行归纳，注意对于 $|\alpha |=0$，该断言显然成立。假设对于所有满足 $|\alpha |=n$ 的 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，断言成立。选择 $\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 使得 $|\beta |=n+1$ 且 $k\in \{1,\ldots ,d\}$ 使得 $\beta _{k}>0$，并定义 $\alpha :=\beta -e_{k}$。

定理 8.6 和 8.7 意味着

• 对于所有 $y\in \mathbb {R} ^{d}$，$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}|dx<\infty$ 且
• 对于所有 $y\in \mathbb {R} ^{d}$，$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|\phi (x)\partial _{y_{k}}e^{-2\pi ix\cdot y}|dx<\infty$.

此外，

• $\partial _{y_{k}}(\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y})$ 对于所有 $(x,y)\in \mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}$ 存在。

因此，莱布尼茨积分规则意味着

${\begin{aligned}\partial _{\beta }{\hat {\phi }}(y)&=\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }{\hat {\phi }}(y)&\\&=\partial _{y_{k}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}(2\pi ix)^{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&{\text{induction hypothesis}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{y_{k}}(2\pi ix)^{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}(2\pi ix)^{\beta }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx\end{aligned}}$

3.

${\begin{aligned}{\widehat {\phi *\theta }}(y)&:=\int _{\mathbb {R} ^{d}}(\phi *\theta )(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&{\text{Def. of Fourier transform}}\\&:=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (z)\theta (x-z)dze^{-2\pi ix\cdot y}dx&{\text{Def. of convolution}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-2\pi ix\cdot y}\phi (z)\theta (x-z)dzdx&{\text{linearity of the integral}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-2\pi ix\cdot y}\phi (z)\theta (x-z)dxdz&{\text{Fubini}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-2\pi ix\cdot y}e^{-2\pi iz\cdot y}\phi (z)\theta (x)dxdz&{\text{Integration by substitution using }}x\mapsto x+z{\text{ and }}\forall b,c\in \mathbb {R} :e^{b+c}=e^{b}e^{c}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\overbrace {\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-2\pi ix\cdot y}\theta (x)dx} ^{={\hat {\theta }}(y)}\phi (z)e^{-2\pi iz\cdot y}dz&{\text{pulling a constant out of the integral}}\\&={\hat {\theta }}(y)\overbrace {\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (z)e^{-2\pi iz\cdot y}dz} ^{={\hat {\phi }}(y)}&{\text{pulling a constant out of the integral}}\end{aligned}}$$\Box$

定理 8.9:

设 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，并设 ${\hat {\phi }}$ 为 $\phi$ 的傅里叶变换。那么 ${\hat {\phi }}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。

证明:

设 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是两个任意的 $d$ 维多重指标，并设 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。根据定理 8.6，$\partial _{\alpha }((-2\pi \mathrm {i} x)^{\beta }\phi )$ 也是一个 Schwartz 函数。定理 8.8 意味着

$x^{\alpha }\partial _{\beta }{\hat {\phi }}={\widehat {\partial _{\alpha }((-2\pi \mathrm {i} x)^{\beta }\phi )}}$

根据定理 8.3，${\widehat {\partial _{\alpha }((-2\pi \mathrm {i} x)^{\beta }\phi )}}$ 是有界的。由于 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是任意的，这表明 ${\hat {\phi }}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。$\Box$

定义 8.10:

我们定义Schwartz 空间上的傅里叶变换为函数

${\mathcal {F}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}),{\mathcal {F}}(\phi ):={\hat {\phi }}$.

定理 8.9 保证此函数确实映射到 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。此外，我们将Schwartz 空间上的逆傅里叶变换定义为函数

${\mathcal {F}}^{-1}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}),{\mathcal {F}}(\phi ):=x\mapsto \int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (y)e^{2\pi ix\cdot y}dy$.

此函数映射到 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，因为 ${\mathcal {F}}^{-1}(\phi )(x)={\hat {\phi }}(-x)$。

傅里叶变换和逆傅里叶变换都是逐点连续的

定理 8.11:

令 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，并令 $(\phi _{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 是一个 Schwartz 函数序列，使得 $\phi _{l}\to \phi ,l\to \infty$。那么 ${\mathcal {F}}(\phi _{l})\to {\mathcal {F}}(\phi ),l\to \infty$ 且 ${\mathcal {F}}^{-1}(\phi _{l})\to {\mathcal {F}}^{-1}(\phi ),l\to \infty$，在定义 3.11 中定义的 Schwartz 函数收敛意义上。

证明:

1. 我们证明 ${\mathcal {F}}(\phi _{l})\to {\mathcal {F}}(\phi ),l\to \infty$。

令 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。根据定理 8.8 的 1 和 2，以及导数、积分和乘法的线性性，我们有

$x^{\alpha }\partial _{\beta }({\mathcal {F}}(\phi _{l})(x)-{\mathcal {F}}(\phi )(x))=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{\alpha }((-2\pi iy)^{\beta }(\phi _{l}(y)-\phi (y)))e^{-2\pi ix\cdot y}dy$.

类似于定理 8.3 的证明，我们由此得到

$\left|x^{\alpha }\partial _{\beta }({\mathcal {F}}(\phi _{l})(x)-{\mathcal {F}}(\phi )(x))\right|\leq \|\partial _{\alpha }((-2\pi ix)^{\beta }(\phi _{l}-\phi )))\|_{L^{1}}$.

由于多维乘积法则，

$\partial _{\alpha }((-2\pi ix)^{\beta }(\phi _{l}(x)-\phi (x)))=\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma \leq \alpha }{\binom {\varsigma }{\alpha }}\partial _{\varsigma }((-2\pi ix)^{\beta })\partial _{\alpha -\varsigma }(\phi _{l}(x)-\phi (x))$.

现在令 $\epsilon >0$ 为任意数。由于 $\phi _{l}\to \phi$ 正如定义 3.11 中所定义的那样，对于每一个 $n\in \{1,\ldots ,d\}$，我们可以选择 $N_{1}\in \mathbb {N}$ 使得

$\forall k\geq N_{1}:\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma \leq \alpha }{\binom {\varsigma }{\alpha }}\|x_{n}^{2}\partial _{\varsigma }((-2\pi ix)^{\beta })\partial _{\alpha -\varsigma }(\phi _{l}(x)-\phi (x))\|_{\infty }<\epsilon$.

此外，我们可以选择$N_{2}\in \mathbb {N}$ 使得

$\forall k\geq N_{2}:\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma \leq \alpha }{\binom {\varsigma }{\alpha }}\|\partial _{\varsigma }((-2\pi ix)^{\beta })\partial _{\alpha -\varsigma }(\phi _{l}(x)-\phi (x))\|_{\infty }<\epsilon$.

因此，对于$k\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$

${\begin{aligned}\|\partial _{\alpha }((-2\pi ix)^{\beta }(\phi _{l}-\phi )))\|_{L^{1}}&:=\int _{\mathbb {R} ^{d}}|\partial _{\alpha }((-2\pi ix)^{\beta }(\phi _{l}(x)-\phi (x)))|dx\\&\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}\epsilon \min\{x_{1}^{-2},\ldots ,x_{d}^{-2},1\}dx\\&=\epsilon \int _{\mathbb {R} ^{d}}\min\{x_{1}^{-2},\ldots ,x_{d}^{-2},1\}dx\end{aligned}}$

由于$\epsilon >0$ 是任意的，我们得到${\mathcal {F}}(\phi _{l})\to {\mathcal {F}}(\phi ),l\to \infty$.

2. 从 1. 推导出 ${\mathcal {F}}^{-1}(\phi _{l})\to {\mathcal {F}}^{-1}(\phi ),l\to \infty$.

如果 $\phi _{l}\to \phi$ 在 Schwartz 函数意义上，那么 $\theta _{l}\to \theta$ 也在 Schwartz 函数意义上，其中我们定义

$\theta _{l}(x):=\phi _{l}(-x)$ 和 $\theta (x):=\phi (-x)$.

因此，根据 1. 和用微分同胚 $x\mapsto -x$ 进行的变量替换积分，${\mathcal {F}}^{-1}(\phi _{l})={\mathcal {F}}(\theta _{l})\to {\mathcal {F}}(\theta )={\mathcal {F}}^{-1}(\phi )$.$\Box$

在下一个定理中，我们将证明 ${\mathcal {F}}^{-1}$ 是傅里叶变换的逆函数。但是为了证明该定理（证明过程会比较长，所以阅读它将是一个很好的练习），我们需要另外两个引理

引理 8.12:

如果我们定义函数

$G:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,G(x):=e^{-\pi \|x\|^{2}}$,

那么 ${\mathcal {F}}(G)=G$ 并且 ${\mathcal {F}}^{-1}(G)=G$.

证明:

1. ${\mathcal {F}}^{-1}(G)=G$

我们定义

$\mu :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\mu (\xi ):=e^{\pi \|\xi \|^{2}}{\hat {G}}(\xi )$.

根据乘积规则，对于所有 $n\in \{1,\ldots ,d\}$ 我们有

$\partial _{\xi _{n}}\mu (\xi )=2\pi \xi _{n}e^{\pi \|\xi \|^{2}}{\hat {G}}(\xi )+e^{\pi \|\xi \|^{2}}\partial _{\xi _{n}}{\hat {G}}(\xi )$.

根据定理 8.8 的第 1 点，我们有

$2\pi \xi _{n}{\hat {G}}(\xi )=-i{\widehat {\partial _{x_{n}}G}}(\xi )=-i\int _{\mathbb {R} ^{d}}(2\pi x_{n})e^{-\pi \|x\|^{2}}e^{2\pi i\xi \cdot x}dx$;

根据定理 8.8 的第 2 点，我们进一步得到

$\partial _{\xi _{n}}{\hat {G}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}(-2\pi ix_{n})e^{-\pi \|x\|^{2}}e^{2\pi i\xi \cdot x}dx$.

因此，$\mu$ 是常数。此外，

${\begin{aligned}\mu (0)&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-\pi \|x\|^{2}}dx&\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{d}}}e^{-\|x\|^{2}/2}dx&{\text{substitution using }}x\mapsto {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{d}}}x\\&=1&{\text{lemma 6.2}}\end{aligned}}$.

2. ${\mathcal {F}}^{-1}(G)=G$

通过微分同胚 $x\mapsto -x$ 代入，

$\forall x\in \mathbb {R} ^{d}:{\mathcal {F}}^{-1}(G)(x)={\mathcal {F}}(G)(x)=G(x)$.$\Box$

对于下一个引理，我们需要再次使用示例 3.4，因此我们将其重新陈述

示例 3.4： 标准平滑化函数 $\eta$，由以下公式给出

$\eta :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta (x)={\frac {1}{c}}{\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}&{\text{ if }}\|x\|_{2}<1\\0&{\text{ if }}\|x\|_{2}\geq 1\end{cases}}$

, 其中 $c:=\int _{B_{1}(0)}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}dx$，是一个碰撞函数（参见练习 3.2）。

引理 8.13:

令 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，并且对于每个 $n\in \mathbb {N}$ 定义 $\phi _{n}(x):=\eta (x/n)\phi (x)$。 那么 $\phi _{n}\to \phi ,n\to \infty$ 在 Schwartz 函数的意义上。

证明:

令 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 为任意值。 由推广的乘积规则，

$\partial _{\beta }(\phi _{n}-\phi )=\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma \leq \beta }{\binom {\beta }{\varsigma }}{\frac {1}{n^{|\beta -\varsigma |}}}\partial _{\beta -\varsigma }\eta (x/n)\partial _{\varsigma }\phi (x)-\partial _{\beta }\phi (x)$.

根据三角不等式，我们可以推导出

$|x^{\alpha }\partial _{\beta }(\phi _{n}-\phi )|\leq {\frac {1}{n}}\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma <\beta }{\binom {\beta }{\varsigma }}{\frac {1}{n^{|\beta -\varsigma |-1}}}|x^{\alpha }\partial _{\varsigma }\phi (x)||\partial _{\beta -\varsigma }\eta (x/n)|+|x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)||1-\eta (x/n)|$.

由于 $\phi$ 和 $\eta$ 都是 Schwartz 函数（见练习 3.2 和定理 3.9），对于每个 $\varrho \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 我们可以选择 $b_{\varrho },c_{\varrho }\in \mathbb {R}$ 使得

$\|\partial _{\beta -\varrho }\eta \|_{\infty }<b_{\varrho }$ 以及 $\|x^{\alpha }\partial _{\varrho }\phi \|_{\infty }<c_{\varrho }$.

此外，对于每个 $k\in \{1,\ldots ,d\}$，我们可以选择 $c_{k}\in \mathbb {R} ^{d}$ 使得

$\|x_{k}x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi \|_{\infty }<c_{k}$.

现在令 $\epsilon >0$ 为任意正数。我们选择 $N_{1}\in \mathbb {N}$ 使得对于所有 $n\geq N_{1}$

${\frac {1}{n}}\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma <\beta }{\binom {\beta }{\varsigma }}{\frac {1}{n^{|\beta -\varsigma |-1}}}b_{\varsigma }c_{\varsigma }<\epsilon /2$.

此外，我们选择 $R\in \mathbb {R} _{>0}$ 使得

$\|x\|>R\Rightarrow |x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)|<\epsilon /2$.

这是可能的，因为

$|x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)|\leq \min \left\{{\frac {c_{1}}{|x_{1}|}},\ldots ,{\frac {c_{d}}{|x_{d}|}}\right\}$

这是因为我们对 $c_{1},\ldots ,c_{d}$ 的选择。

然后我们选择$N_{2}\in \mathbb {N}$ 使得对于所有$n\geq N_{2}$

$\forall x\in B_{R}(0):|1-\phi (x/n)|<1/c_{\beta }$.

将所有这些代入上述方程得到$|x^{\alpha }\partial _{\beta }(\phi _{n}-\phi )|<\epsilon$ 对于$n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. 由于$\alpha$, $\beta$ 和$\epsilon$ 是任意的，这证明了$\phi _{n}\to \phi$ 在 Schwartz 函数的意义上。$\Box$

定理 8.14:

令$\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$. 那么${\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}(\phi ))=\phi$ 和${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))=\phi$.

证明:

1. 我们证明，如果 $\phi$ 是一个在原点消失的 Schwartz 函数（即 $\phi (0)=0$），那么 ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(0)=0$。

所以，设 $\phi$ 是一个在原点消失的 Schwartz 函数。根据微积分基本定理、多元链式法则和积分的线性性，我们有

$\phi (x)=\phi (x)-\phi (0)=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}\phi (tx)dx=\sum _{j=1}^{d}x_{j}\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}\phi (tx)dt$.

定义 $\phi _{n}(x):=\eta (x/n)\phi (x)$，

$\theta _{j,n}(x):=\eta (x/n)\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}\phi (tx)dt$,

并将上述等式的两边乘以 $\eta (x/n)$，我们得到

$\phi _{n}(x)=\sum _{j=1}^{d}x_{j}\theta _{j,n}(x)$.

由于对所有 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$

$\partial _{\alpha }\theta _{j,n}(x)=\sum _{\varsigma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\varsigma }}{\frac {1}{n^{|\varsigma |}}}\partial _{\varsigma }\eta (x/n)\int _{0}^{1}\partial _{\alpha -\varsigma }\partial _{x_{j}}\phi (tx)dt$,

所有$\theta _{j,n}$ 都是碰撞函数（根据定理 4.15 和练习 3.?），因此是 Schwartz 函数（定理 3.9）。因此，根据定理 8.8 和傅里叶变换的线性（这来自积分的线性），

${\mathcal {F}}(\phi _{n})(y)=\sum _{j=1}^{d}{\mathcal {F}}(x_{j}\theta _{j,n})(y)={\frac {1}{-2\pi i}}\sum _{j=1}^{d}\partial _{y_{j}}{\mathcal {F}}(\theta _{j,n})(y)$.

因此，

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi _{n}))(0)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {F}}(\phi _{n})(y)\overbrace {e^{-2\pi i0\cdot y}} ^{=1}dy={\frac {1}{-2\pi i}}\sum _{j=1}^{d}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{y_{j}}{\mathcal {F}}(\theta _{j,n})(y)dy$.

令$k\in \{1,\ldots ,d\}$. 根据 Fubini 定理，微积分基本定理，并且由于 $\theta _{k,n}$ 是碰撞函数，我们有

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{y_{k}}{\mathcal {F}}(\theta _{k,n})(y)dy=\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}\int _{-\infty }^{\infty }\partial _{y_{k}}{\mathcal {F}}(\theta _{k,n})(y)dy_{k}d(y_{1},\ldots ,y_{k-1},y_{k+1},\ldots ,y_{d})=0$.

如果我们令$n\to \infty$，定理 8.11 和引理 8.13 给出了结论。

2. 从 1. 推导出，如果 $\phi$ 是任意 Schwartz 函数，那么 ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(0)=\phi (0)$.

如同引理 8.12 中定义的那样，我们定义

$G:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,G(x):=e^{-\pi \|x\|^{2}}$.

现在设 $\phi$ 是任意 Schwartz 函数，那么 $\phi -\phi (0)G$ 也是一个 Schwartz 函数（见习题 3.?）。此外，由于 $G(0)=1$，它在原点处为零。因此，根据 1.，

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi -\phi (0)G))(0)=0$.

此外，根据引理 8.12 和傅立叶变换的线性性质，

$0={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi -\phi (0)G))(0)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))-\phi (0)G(0)$.

3. 从 2. 推导出，如果 $\phi$ 是一个 Schwartz 函数，且 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 是任意的，那么 ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(x)=\phi (x)$（即 ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))=\phi$）。

令 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 和 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 为任意值。根据 ${\mathcal {F}}^{-1}$ 的定义，

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {F}}(\phi )(y)e^{2\pi ix\cdot y}dy$.

此外，如果我们定义 $\theta (z):=\phi (z+x)$,

${\mathcal {F}}(\phi )(y)e^{2\pi ix\cdot y}=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (z)e^{-2\pi iz\cdot y}e^{2\pi ix\cdot y}dz=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\theta (z)dze^{-2\pi iz\cdot y}={\mathcal {F}}(\theta )(y)$.

因此，根据 2.，

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {F}}(\theta )(y)dy={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\theta ))(0)=\theta (0)=\phi (x)$.

4. 我们从 3. 推导出，对于任何 Schwartz 函数 $\phi$，我们有 ${\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}(\phi ))=\phi$.

设$\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 以及 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 为任意值。那么我们有

${\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}(\phi ))(y)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}^{-1}(\phi ))(-y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {F}}^{-1}(\phi )(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {F}}(\phi )(-x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(y)=\phi (y)$.$\Box$

缓增分布的傅里叶变换

定义 8.15:

设${\mathcal {T}}$ 为缓增分布。我们定义

${\mathcal {F}}({\mathcal {T}})(\phi ):={\mathcal {T}}({\mathcal {F}}(\phi ))$.

定理 8.16:

${\mathcal {F}}({\mathcal {T}})$ 是一个缓增分布。

证明:

1. 由于 ${\mathcal {T}}$ 和 ${\mathcal {F}}$ （定理 8.11）的序列连续性，以及两个序列连续函数的复合仍然是序列连续的，因此序列连续性成立。

2. 线性性来自 ${\mathcal {T}}$ 和 ${\mathcal {F}}$ 的线性性，以及两个线性函数的复合仍然是线性的。 $\Box$

定义 8.17:

设${\mathcal {T}}$ 为缓增分布。我们定义

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {T}})(\phi ):={\mathcal {T}}({\mathcal {F}}^{-1}(\phi ))$.

来源

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Fourier Analysis: An Introduction. Analysis courses 2000/2001. Princeton University Press. ISBN 000-0-000-00000-0. {{cite book}}: Check |isbn= value: invalid prefix (help)
• Jerry Shurman (2008), Fourier inversion (PDF)