本章介绍傅里叶变换。傅里叶变换将函数转换为其他函数。它可以用来解决某些类型的线性微分方程。
定义 8.1:
设
。那么
的 **傅里叶变换** 定义如下

我们记得
是可积的
是可积的。
现在我们准备证明下一个定理
**定理 8.2**:可积函数
的傅里叶变换是定义良好的。
**证明**:由于
是可积的,引理 8.2 告诉我们
是可积的。但是

, 因此
是可积的。但随后,
是可积的,这就是为什么

根据可积性的定义,它有一个唯一的复数值。
定理 8.3:令
。那么
的傅里叶变换
是有界的。
证明:


一旦我们计算了函数
的傅里叶变换
,我们可以很容易地找到与
相似的函数的傅里叶变换。以下计算规则展示了如何做到这一点的例子。但在我们陈述计算规则之前,我们回忆一下第 2 章中的一个定义,即向量对多重索引的幂,因为它在最后一个计算规则中是必需的。
定义 2.6:
对于向量
和一个
维多重指标
,我们定义
,
的
次方,如下所示

现在我们写下计算规则,使用以下符号
符号 8.4:
我们写

表示句子“函数
是函数
的傅里叶变换”。
证明:要证明第一个规则,我们只需要指数函数的其中一个规则(以及标准点积的对称性)
1.

对于接下来的两个规则,我们应用一般的积分换元规则,使用微分同胚
和
,它们是
到自身的双射。
2.

3.

4.

为了继续讨论涉及 Schwartz 函数的傅里叶变换的进一步规则,我们需要了解 Schwartz 函数的一些其他性质。
定理 8.6:
设
是一个 Schwartz 函数,设
。那么函数

也是一个 Schwartz 函数。
证明:
设
。根据一般乘积法则,我们有

我们注意到,对于所有
和
,
等于
的某个多重指标幂。由于
是一个 Schwartz 函数,存在常数
使得

因此,对于
的三角不等式意味着


定理 8.7:
每个 Schwartz 函数都是可积的。
证明:
我们使用如果一个函数的绝对值几乎处处小于一个可积函数的值,那么第一个函数是可积的。
设
为一个 Schwartz 函数。则存在
使得对于所有 

后面的函数是可积的,
的可积性由此得出。
现在我们可以证明傅里叶变换与 Schwartz 函数相关的以下三个规则。
证明:
1.
对于第一个规则,我们使用对
的归纳。
显然,当
时,该结论成立(此时该规则表明
的傅里叶变换是
的傅里叶变换)。
我们继续进行归纳步骤:设
,并假设对于所有
,使得
,该结论成立。设
,使得
。我们证明该结论对于
也成立。
请记住,我们有
。我们选择
,使得
(这是可能的,因为否则
),定义


并得到

根据施瓦茨定理,这意味着可以任意交换偏导数的顺序。
令
是一个任意的正实数。根据富比尼定理和分部积分,我们得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{[-R,R]^{d}}\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&=\int _{[-R,R]^{d-1}}\int _{-R}^{R}\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx_{k}d(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{d})\\&=\int _{[-R,R]^{d-1}}\left(\left(\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}\right){\big |}_{x_{k}=-R}^{x_{k}=R}-\int _{-R}^{R}\partial _{\alpha }\phi (x)(-2\pi iy_{k})e^{-2\pi ix\cdot y}dx_{k}\right)d(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{d})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa188b1fa41913feed107e4293e93ac4ce43d051)
由于支配收敛定理(支配函数为
),该方程左边上的积分收敛于

当
时。此外,由于
是一个 Schwartz 函数,存在
使得

因此,最后一个方程最后一行右侧大括号内的函数被
函数支配

因此,根据控制收敛定理,当
时,该函数的积分收敛于

根据实数序列极限的唯一性,我们得到 1。
2.
我们再次对
进行归纳,注意对于
,该断言显然成立。假设对于所有满足
的
,断言成立。选择
使得
且
使得
,并定义
。
定理 8.6 和 8.7 意味着
- 对于所有
,
且
- 对于所有
,
.
此外,
对于所有
存在。
因此,莱布尼茨积分规则意味着

3.


证明:
设
是两个任意的
维多重指标,并设
。根据定理 8.6,
也是一个 Schwartz 函数。定理 8.8 意味着

根据定理 8.3,
是有界的。由于
是任意的,这表明
。
定义 8.10:
我们定义Schwartz 空间上的傅里叶变换为函数
.
定理 8.9 保证此函数确实映射到
。此外,我们将Schwartz 空间上的逆傅里叶变换定义为函数
.
此函数映射到
,因为
。
傅里叶变换和逆傅里叶变换都是逐点连续的
证明:
1. 我们证明
。
令
。根据定理 8.8 的 1 和 2,以及导数、积分和乘法的线性性,我们有
.
类似于定理 8.3 的证明,我们由此得到
.
由于多维乘积法则,
.
现在令
为任意数。由于
正如定义 3.11 中所定义的那样,对于每一个
,我们可以选择
使得
.
此外,我们可以选择
使得
.
因此,对于

由于
是任意的,我们得到
.
2. 从 1. 推导出
.
如果
在 Schwartz 函数意义上,那么
也在 Schwartz 函数意义上,其中我们定义
和
.
因此,根据 1. 和用微分同胚
进行的变量替换积分,
.
在下一个定理中,我们将证明
是傅里叶变换的逆函数。但是为了证明该定理(证明过程会比较长,所以阅读它将是一个很好的练习),我们需要另外两个引理
引理 8.12:
如果我们定义函数
,
那么
并且
.
证明:
1. 
我们定义
.
根据乘积规则,对于所有
我们有
.
根据定理 8.8 的第 1 点,我们有
;
根据定理 8.8 的第 2 点,我们进一步得到
.
因此,
是常数。此外,
.
2. 
通过微分同胚
代入,
.
对于下一个引理,我们需要再次使用示例 3.4,因此我们将其重新陈述
示例 3.4: 标准平滑化函数
,由以下公式给出

, 其中
,是一个碰撞函数(参见练习 3.2)。
证明:
令
为任意值。 由推广的乘积规则,
.
根据三角不等式,我们可以推导出
.
由于
和
都是 Schwartz 函数(见练习 3.2 和定理 3.9),对于每个
我们可以选择
使得
以及
.
此外,对于每个
,我们可以选择
使得
.
现在令
为任意正数。我们选择
使得对于所有 
.
此外,我们选择
使得
.
这是可能的,因为

这是因为我们对
的选择。
然后我们选择
使得对于所有
.
将所有这些代入上述方程得到
对于
. 由于
,
和
是任意的,这证明了
在 Schwartz 函数的意义上。
定理 8.14:
令
. 那么
和
.
证明:
1. 我们证明,如果
是一个在原点消失的 Schwartz 函数(即
),那么
。
所以,设
是一个在原点消失的 Schwartz 函数。根据微积分基本定理、多元链式法则和积分的线性性,我们有
.
定义
,
,
并将上述等式的两边乘以
,我们得到
.
由于对所有 
,
所有
都是碰撞函数(根据定理 4.15 和练习 3.?),因此是 Schwartz 函数(定理 3.9)。因此,根据定理 8.8 和傅里叶变换的线性(这来自积分的线性),
.
因此,
.
令
. 根据 Fubini 定理,微积分基本定理,并且由于
是碰撞函数,我们有
.
如果我们令
,定理 8.11 和引理 8.13 给出了结论。
2. 从 1. 推导出,如果
是任意 Schwartz 函数,那么
.
如同引理 8.12 中定义的那样,我们定义
.
现在设
是任意 Schwartz 函数,那么
也是一个 Schwartz 函数(见习题 3.?)。此外,由于
,它在原点处为零。因此,根据 1.,
.
此外,根据引理 8.12 和傅立叶变换的线性性质,
.
3. 从 2. 推导出,如果
是一个 Schwartz 函数,且
是任意的,那么
(即
)。
令
和
为任意值。根据
的定义,
.
此外,如果我们定义
,
.
因此,根据 2.,
.
4. 我们从 3. 推导出,对于任何 Schwartz 函数
,我们有
.
设
以及
为任意值。那么我们有
.
定义 8.15:
设
为缓增分布。我们定义
.
定理 8.16:
是一个缓增分布。
证明:
1. 由于
和
(定理 8.11)的序列连续性,以及两个序列连续函数的复合仍然是序列连续的,因此序列连续性成立。
2. 线性性来自
和
的线性性,以及两个线性函数的复合仍然是线性的。 
定义 8.17:
设
为缓增分布。我们定义
.