通过电子游戏解释物理学/牛顿第一和第三定律

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主题 2.4 - 牛顿第一和第三定律

本节将探讨牛顿定律的其余部分，提供对力的一般性质及其与物体相互作用的更广泛理解。

示例 1：一条游泳的锦鲤

玩家操控的锦鲤正在池塘里慢慢游动。

考虑O_dot的“鱼池”地图。玩家可以在地图底部操控锦鲤。因此，鱼可以旋转并在水中轻轻移动。我们可以看到，当鱼沿直线路径移动时，它似乎以恒定速度移动。为了进一步研究，请考虑自由体图（如下）。它包括鱼在直线运动时作用在其上的力。

*每个提到的力的定义*
* 令 ${\vec {F}}_{\text{grav}}$ 为作用在鱼身上的向下重力。
* 令 ${\vec {F}}_{\text{buoyancy}}$ 为水提供的向上力。
* 令 ${\vec {F}}_{\text{thrust}}$ 为鱼身体提供的向前力。
* 令 ${\vec {F}}_{\text{drag}}$ 为水在鱼运动方向上提供的向后力。
* 令所有显示的力的幅度相等。

我们可以将这些向量三维地加在一起（通过以任何顺序将它们的末端彼此相邻放置），以表明作用在鱼上的合力， ${\vec {F}}_{\text{net}}$ ，为零。

使用自由体图，我们可以发现鱼的 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 为 $0\;{\text{N}}$ 。这可以通过矢量加法完成，如右侧可视化所示。通过使用主题 2.3中牛顿第二定律的定义，我们可以直接求解鱼的净加速度， ${\vec {a}}_{\text{net}}$ ，如下所示。

${\vec {F}}_{\text{net}}=m{\vec {a}}_{\text{net}}$ [牛顿第二定律的定义]

${\vec {a}}_{\text{net}}={\frac {{\vec {F}}_{\text{net}}}{m}}$ [代数。]

${\vec {a}}_{\text{net}}={\frac {0}{m}}\;{\frac {\text{N}}{\text{kg}}}$ [代入。我们可以假设鱼确实有质量。]

${\vec {a}}_{\text{net}}=0\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ [代数， ${\frac {\text{N}}{\text{kg}}}\implies {\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ ]

我们可以看到，因为 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 为 $0\;{\text{N}}$ ，鱼的 ${\vec {a}}_{\text{net}}$ 为 $0\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 。需要注意的是，无论鱼体内包含多少质量，它的净加速度都为零。因此，我们可以在下面进一步推广这个概念。

因为 ${\vec {a}}_{\text{net}}={\frac {{\vec {F}}_{\text{net}}}{m}}$ ，如果存在一个零 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 并且一个物体具有任何正值的质量，那么 ${\vec {a}}_{\text{net}}=0\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ .

从本质上讲，这就是牛顿第一定律的定义，它实际上只是牛顿第二定律的特例。作为正式定义，它指出

牛顿第一定律

除非一个物体受到净外力，否则它要么静止，要么如果它已经运动，则保持恒定速度。^[1]

因此，从牛顿第一定律我们可以发现，如果一个物体有质量，那么如果它没有加速，那么它一定有一个零净力。需要注意的是，这个性质可以帮助我们在已知其他力的情况下显着地帮助我们求解特定力的幅度，如示例 3 所示。

示例 2：在砂岩上滑动

玩家在砂岩洞穴中玩耍，在一个光滑的表面上滑动。

考虑由Sirestyx制作的地图Sandstone Cave，玩家在光滑的斜坡表面上滑行。需要注意的是，在主题 2.2中，我们讨论了对于一个物体放在上面的斜面系统

存在一个作用于物体的重力， ${\vec {F}}_{\text{grav}}$ ，指向下方。
存在一个法向力， ${\vec {F}}_{\text{n}}$ ，作用在物体上，垂直于斜面向上。

在沙岩洞的情况下，玩家并没有明显的平面可以滑动。相反，表面看起来是弯曲的。然而，我们仍然可以使用主题 2.2 中的大多数技术来研究玩家与洞穴壁之间的相互作用。唯一的区别是，我们需要注意到作用在玩家身上的法向力会随着表面的斜率变化而变化。

更具体地说，我们之前发现可以用公式

F_{\text{n}}=mgcos(\theta )

来描述物体在斜面上的法向力，其中

\theta

是仰角，以度为单位。因为

cos(\theta )

从

1

减小到

0

，随着

\theta

从

0^{\circ }=0\;{\text{rad}}

增加到

90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\;{\text{rad}}

（如右图所示），其中

$cos(0^{\circ })=cos(0\;{\text{rad}})=1$

$\updownarrow \;{\mathit {cos(\theta )}}\;{\text{is decreasing as}}\;\theta \;{\text{is increasing.}}$

$cos(90^{\circ })=cos({\frac {\pi }{2}}\;{\text{rad}})=0$

因此，对于表面角度介于水平 $0^{\circ }=0\;{\text{rad}}$ ）和垂直 $90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\;{\text{rad}}$ ）之间的某个位置，斜率越陡，法向力就越小。我们可以在玩家沿着沙岩洞的表面滚动时看到这一点。例如，在上面的视频中，在击中猴子管家后，玩家ez01沿着右墙向上滑动，然后向下掉落。ez01 的位置及其相关的自由体图可以看作是下面左图所示的几个实例。

滑动玩家（ez01）在光滑表面不同斜率上的力向量图。注意，为了视觉上的简洁，在玩家的头像上放了一个橙色的圆圈。
滑动球体在陡峭斜坡上的力向量图，图中叠加了显示法向力推导的文字。

从左图可以看出， $F_{\text{n}}$ 的长度似乎与 $F_{\text{g}}$ 的 Y 轴分量相同。我们可以使用上面右图所示的三角函数来证明这一点。

知道 $F_{\text{n}}=F_{\text{g,y}}$ 的大小后，我们可以用以下方式描述法向力的量级：

它与 $F_{\text{g,y}}$ 的方向相反。
它等于 $F_{\text{g,y}}$ 的大小。

换句话说，砂岩墙的法向力 “反推” 玩家的力量与玩家推向墙的力量相同。需要注意的是，玩家重力的水平分量 $F_{\text{g,x}}$ 始终垂直于砂岩墙的斜坡（见左图）。因此，它不会 “推” 玩家进入墙内。只有 $F_{\text{g,y}}$ 会这样。

我们可以通过牛顿第三定律来概括这种行为，其定义如下：

牛顿第三定律

当一个有质量的物体对另一个有质量的物体施加力时，第二个物体将对第一个物体施加大小相等、方向相反的力。^[2]

由此，我们可以验证一定存在一个 $F_{\text{n}}$ ，其大小相等，方向与 $F_{\text{g,y}}$ 相反。

为了说明这一点，假设牛顿第三定律不成立。如果我们计算玩家在 Y 轴（垂直于墙壁斜坡）上的合力， $F_{\text{net,y}}\neq F_{\text{g,y}}+F_{\text{n}}$ 。在这种情况下，玩家 ex01 会要么向下穿过砂岩加速，要么漂浮到空中。

然而，如果我们考虑视频片段，ex01 在与 monkey butler 相撞后会沿着砂岩轻轻滑动，始终不会失去与墙壁表面的接触。因此，牛顿第三定律成立。

示例 3：沉没的集装箱船

一艘集装箱船在撞击一块岩石后逐渐沉没。

为了进一步理解牛顿第三定律，假设一艘集装箱船在 O_o O_o O_o 的地图 “沉没的集装箱船” 中撞击了一块小岩石岛，随后开始沉没。在此之前，集装箱垂直堆叠在一起。

在本练习中，假设我们考虑的是船体撞击岩石之前的时间段，并且

每个集装箱的质量为 $9{,}000.\;{\text{kg}}$ 。
物体由于重力而产生的加速度为 $9.8\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 。
船以恒定速度移动。
集装箱上没有明显的水平力作用。
集装箱船直立时的参考图像。此图像将用于回答以下练习。

练习 1： 考虑参考图像和其他提供的信息，为黄色集装箱绘制自由体图。然后计算作用在其上的法向力。

答案 1

为了解决这个问题，首先我们需要考虑一定存在一个作用在黄色集装箱上的重力，该重力直接向下作用。由于重力直接向下作用，因此所有的重力都将黄色集装箱推向它下方的橙色集装箱。

因此，根据牛顿第三定律，一定存在一个大小相等、方向相反的力与重力相对应。根据主题 2.2 中对力的类型的定义，这将是一个法向力。

要计算法向力的量级，我们可以计算 $F_{\text{n}}=mgcos(\theta )$ . 因为 $\theta =0$ 使得 $cos(\theta )=1$ ， $F_{\text{n}}=mg$ 。然后，我们可以用代数来求出作用在黄色集装箱上的法向力，如下所示
$F_{\text{n, yellow}}=mg$
$F_{\text{n, yellow}}=(9{,}000.)(9.8)\;{\text{kg}}\cdot {\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}\quad$ [代入变量。]
$F_{\text{n, yellow}}=88200\;{\text{N}}\quad$ [代数；牛顿（N）的定义]
$F_{\text{n, yellow}}=8.8\cdot 10^{4}\;{\text{N}}\quad$ [2 个有效数字；使用科学计数法]

黄色集装箱受到一个大小为 $8.8\cdot 10^{4}\;{\text{N}}$ 、方向向上的法向力。

练习 2： 为示例 1 中黄色集装箱下面的橙色集装箱绘制自由体图。计算作用在该橙色集装箱上的法向力。

答案 2

对于这个问题，我们可以认为，在练习 1 中，有一个向下拉动黄色集装箱的重力 ( $F_{\text{grav, yellow}}$ )。因为它向下（进入橙色集装箱）施加，这意味着橙色集装箱被它向下推。

此外，橙色集装箱被它自身的重力向下推 (( $F_{\text{grav, orange}})$ )。因此，橙色集装箱用它自身和黄色集装箱的重力一起推入船体。由于船甲板是平坦的，并且直接在集装箱下方，因此船体被作用在橙色集装箱上的所有向下力推开。

根据牛顿第三定律，一定存在一个大小相等、方向相反的力，来抵消之前提到的作用在橙色集装箱上的向下力。这将是橙色集装箱的法向力， $F_{\text{n, orange}}$ 。

由于 $F_{\text{n, orange}}$ 的大小等于 $F_{\text{grav, orange}}$ 和 $F_{\text{grav, orange}}$ 的组合，就大小而言
$F_{\text{n, orange}}=F_{\text{grav, orange}}+F_{\text{grav, orange}}$
从这里，我们可以直接求解作用在橙色容器上的法向力的量级。
$F_{\text{n, orange}}=F_{\text{grav, orange}}+88200\;{\text{N}}\quad$ [代入练习 1 中的橙色箱子的重力，尽可能多的保留有效数字。]
$F_{\text{n, orange}}=88200+88200\;{\text{N}}\quad$ [因为橙色箱子的质量相同，它将具有相同的重力大小。]
$F_{\text{n, orange}}=176400\;{\text{N}}\quad$ [加法。]
$F_{\text{n, orange}}=1.8\cdot 10^{5}\;{\text{N}}\quad$ [2 个有效数字；科学计数法。]
橙色容器的法向力大小为 $1.8\cdot 10^{5}\;{\text{N}}$ ，方向向上。

示例 4：继续游泳的锦鲤（有挑战性）

锦鲤与睡莲相互作用，导致系统以恒定速度向上移动。

通过O_dot切换回地图“鱼塘”，我们将进一步了解牛顿第三定律。假设鱼继续在池塘中游泳。然后，鱼开始与它前面的睡莲相互作用。在这个例子中，我们将研究鱼与睡莲之间的力相互作用。

假设（在较长的时间内）

鱼和睡莲以恒定速度相互直接接触。
睡莲直接位于鱼的前面。
鱼和睡莲始终处于垂直平衡状态（它们保持在水面）。
来自示例 1 的力（ ${\vec {F}}_{\text{grav,fish}}$ ， ${\vec {F}}_{\text{buoyancy,fish}}$ ， ${\vec {F}}_{\text{thrust,fish}}$ ) 的大小保持不变。
示例 1 中的 ${\vec {F}}_{\text{drag}}$ 的相等性在示例 2 中不是必需的。

为什么我们没有考虑

{\vec {F}}_{\text{drag}}

的相等性？

需要注意的是，水对物体的阻力取决于多种因素，包括物体速度、物体表面积、物体形状和其他因素。为了简单方便，我们假设例子 2 中的 ${\vec {F}}_{\text{drag, lily}}$ 和 ${\vec {F}}_{\text{drag, fish}}$ 不一定与例子 1 中的 ${\vec {F}}_{\text{drag, fish}}$ 相同。

简单来说，如果 ${\vec {F}}_{\text{drag}}\neq {\vec {F}}_{\text{drag,fish}}+{\vec {F}}_{\text{drag,lily pad}}$ ，那么荷叶和鱼在碰撞后会短暂地一起加速。这是因为水要么不会像之前那样强烈地拉住它们（要么会拉得更紧）。

然而，荷叶和鱼因此会有一个变化的速度。因此，它们的阻力会随着时间推移而改变。这会导致荷叶和鱼系统接近恒定速度，而与具体的阻力无关。

练习： 考虑鱼和荷叶在相互作用之前两个自由体的示意图，以及提供的其他信息，画出鱼和荷叶在相互作用时的两个自由体的示意图。

答案

根据牛顿第一定律，因为鱼和荷叶都具有恒定速度，所以该系统具有一个 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 为零。

然而，很明显鱼正在通过 ${\vec {F}}_{\text{thrust, fish}}$ 力推动荷叶前进。这是因为这是我们目前知道的鱼身上唯一指向荷叶的力。因此，根据牛顿第三定律，一定还存在一个大小相等、方向相反的 ${\vec {F}}_{\text{lily pad on fish}}$ 力。

另一个需要考虑的因素是，一旦鱼开始与荷叶相互作用，荷叶就会像之前提到的那样开始移动。这会导致荷叶上的阻力，可以称为 ${\vec {F}}_{\text{drag, lily pad}}$ 。由于阻力与运动方向相反，所以阻力的矢量会从荷叶的质心开始，向后指向。换句话说， ${\vec {F}}_{\text{drag, lily pad}}$ 正在推动鱼。

因此，我们可以再次应用牛顿第三定律，包括鱼对荷叶有一个大小相等、方向相反的 ${\vec {F}}_{\text{drag, lily pad}}$ 力。我们可以将这个向量称为 ${\vec {F}}_{\text{fish on lily pad}}$ 。

有了这些，我们就可以绘制鱼和荷叶在相互作用过程中的自由体的示意图，如下所示。

问题 1：一艘简陋的小船

玩家将一艘帆船从码头上推开。

考虑“Don't Drown”的修改版本，由Hexigon制作，其中一艘小帆船在甲板上。玩家通过在船上施加向左的力来将船推入水中。

假设

帆船和玩家的质量均为 $90.\;{\text{kg}}$ 。
玩家以 $200.\;{\text{N}}$ 的力向左推帆船。
地面粗糙，当船和玩家在上面移动时会产生动摩擦力。
帆船和玩家一起加速，然后达到恒定速度。
帆船除了帆之外，密度均匀，帆的质量可以忽略不计。

第（a）部分

(i) 当他和帆船以恒定速度运动时，定义作用在玩家垂直方向上的力。

(ii) 同样，定义此时作用在玩家水平方向上的力。
(iii) 画出此时玩家的受力图。

第（b）部分

(i) 使用右侧选项和上面提供的信息，确定帆船的质心位置。

(ii) 当玩家和帆船以恒定速度运动时，画出帆船的受力图。

第（c）部分

假设玩家开始推船后不久，玩家-船系统具有 $0.3\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 的最大水平加速度大小。此加速度方向向左。
(i) 计算玩家-船系统达到最大加速度时动摩擦力的力的大小。
(ii) 计算玩家-船系统以恒定左向速度运动时动摩擦力的力的大小。

可以讨论本文的讨论页上的解决方案。在讨论页上，您可以获得来自他人的帮助。

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参考文献

↑ “5.3: Newton’s First Law.” Physics LibreTexts, 18 Oct. 2016, https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/05%3A_Newton’s_Laws_of_Motion/5.03%3A_Newton’s_First_Law.
↑ “5.6: Newton’s Third Law.” Physics LibreTexts, 18 Oct. 2016, https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/05%3A_Newton’s_Laws_of_Motion/5.06%3A_Newtons_Third_Law.

[1] “5.3: Newton’s First Law.” Physics LibreTexts, 18 Oct. 2016, https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/05%3A_Newton’s_Laws_of_Motion/5.03%3A_Newton’s_First_Law.

[2] “5.6: Newton’s Third Law.” Physics LibreTexts, 18 Oct. 2016, https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/05%3A_Newton’s_Laws_of_Motion/5.06%3A_Newtons_Third_Law.

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