通过视频游戏解释物理学/系统和质心

主题 2.1 - 系统和质心

在讨论本单元后面的力之前，我们需要先考虑几个定义。

介绍

物体集合，例如摩天轮的轨道，有一个质心。了解这一点可以帮助我们检查作用在系统上的力，正如以下主题中所介绍的那样。

物体的质心（有时缩写为CoM）是指构成该物体的所有部分的平均位置。

在经典力学中，考虑这一点在各种情况下都很有用，因为它通常使我们能够将形状不规则的物体视为一个单独的点。在本系列文章的后面，这将特别有助于简化许多问题和概念。

在某些情况下，例如在由antidonaldtrump / Armin van buren（在右侧）制作的摩天轮中，确定系统物体的质心可能很有用。需要注意的是，物理学中的系统只是我们感兴趣在一起观察的物体或物体部分的集合。

示例 1：摩天轮

例如如何计算系统的质心，我们首先需要考虑组成它的具有质量的物体。在摩天轮的情况下，为简单起见，我们假设只有摩天轮的六个轨道具有不可忽略的质量。因此，摩天轮的其余部分（例如底座或轮缘）将不被视为对它的质心有贡献。

有了这一点，我们可以定义组成该系统的六个物体。对于这些物体中的每一个，我们需要知道它们自己的质心。

使用右侧的图表，它代表六个轨道的每个质心的位置，假设

• 每个绿色点指定轨道的质心及其位置。
• 绿色点的坐标值以米为单位$({\text{m}})$.
• 所有轨道具有相同的质量，为$10,000.\;{\text{kg}}$.

为了计算摩天轮的质心在哪里，我们需要使用质心在特定方向上的定义，如下所示。本质上，这允许我们分别计算系统在水平和垂直方向上的质心（假设二维情况）。由此，我们可以通过了解每个轨道的相对质量和坐标来描述质心（在特定方向上）。

某个方向上的质心定义（$x$）：

$x_{\text{com}}={\frac {x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}+x_{3}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$

在上面的公式中，$m_{1},m_{2},m_{3}\dots$代表系统中每个物体的质量。此外，$x_{1},x_{2},x_{3}\dots$代表该物体在（X）方向上的质心。

为了反映我们目前收集的信息，请参考下表。在这里，我们将每个轨道及其质心位置指定为上述公式的一部分。

摩天轮系统的已知信息

物体名称	分配的$m_{n}$	已知 CoM 的 X 坐标，$x_{n}$	已知 CoM 的 Y 坐标，$y_{n}$
红色手推车	$m_{1}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;x_{1}=10.\;{\text{m}}$	$\;y_{1}=20.\;{\text{m}}$
紫色手推车	$m_{2}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;x_{2}=20.\;{\text{m}}$	$\;y_{2}=30.\;{\text{m}}$
蓝色手推车	$m_{3}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;x_{3}=30.\;{\text{m}}$	$\;y_{3}=20.\;{\text{m}}$
绿色手推车	$m_{4}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;x_{4}=30.\;{\text{m}}$	$\;y_{4}=10.\;{\text{m}}$
黄色手推车	$m_{5}=10,000.\;kg$	$\;x_{5}=20.\;{\text{m}}$	$\;y_{5}=0.0\;{\text{m}}$
橙色手推车	$m_{6}=10,000.\;kg$	$\;x_{6}=10.\;{\text{m}}$	$\;y_{6}=10.\;{\text{m}}$

.

利用上面标注的信息，我们可以开始计算质心在 $x$ 和 $y$ 方向。

我们可以从计算 $x$ 方向的质心，$x_{\text{com}}$ 开始。为此，我们需要使用上面指定的特定方向质心公式，$x_{\text{com}}={\frac {x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}+x_{3}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$。

使用上面表格中的信息，然后代入已知变量，我们会发现：$x_{\text{com}}={\frac {(10.)(10,000.)+(20.)(10,000.)+(30.)(10,000.)+(30.)(10,000.)+(20.)(10,000.)+(10.)(10,000.)}{(10,000.)+(10,000.)+(10,000.)+(10,000.)+(10,000.)+(10,000.)}}{\frac {{\text{m}}\cdot {\text{kg}}}{\text{kg}}}$。
这可以通过代数简化，使得
$\implies x_{\text{com}}={\frac {1,200,000}{60,000}}{\text{m}}\cdot {\cancelto {\mathbf {1} }{\frac {\text{kg}}{\text{kg}}}}$

$\implies x_{\text{com}}=20.\;{\text{m}}\;{\text{[2}}\;{\text{sigfigs]}}$

练习题：使用提供的表格和用于解决特定方向的质心的过程，求解 $y_{\text{com}}$。使用此信息，摩天轮系统的质心位于哪里，($x_{\text{com}}$, $y_{\text{com}}$)？

物体名称	分配的$m_{n}$	已知 CoM 的 Y 坐标，$y_{n}$
红色手推车	$m_{1}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;y_{1}=20.\;{\text{m}}$
紫色手推车	$m_{2}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;y_{2}=30.\;{\text{m}}$
蓝色手推车	$m_{3}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;y_{3}=20.\;{\text{m}}$
绿色手推车	$m_{4}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;y_{4}=10.\;{\text{m}}$
黄色手推车	$m_{5}=10,000.\;kg$	$\;y_{5}=0.0\;{\text{m}}$
橙色手推车	$m_{6}=10,000.\;kg$	$\;y_{6}=10.\;{\text{m}}$

使用右边的表格，我们可以考虑专用于分配质量 ($m_{\text{n}}$) 和 Y 坐标 ($y_{\text{n}}$) 的系统部分（摩天轮）。

此外，由于正在求解 Y 方向上的质心，相关方程可以指定特定方向为 $y$，使得

$y_{\text{com}}={\frac {y_{1}m_{1}+y_{2}m_{2}+y_{3}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$

与计算 $x_{\text{com}}$ 的方式类似，我们可以使用变量替换并代数简化以找到 $y_{\text{com}}$。此推导导致找到 $y_{\text{com}}$，如下所示。

$y_{\text{com}}=15.\;{\text{m}}\;{\text{[2}}\;{\text{sigfigs]}}$

知道了 $x_{\text{com}}$ 和 $y_{\text{com}}$ 的值后，我们现在可以指定摩天轮的质心位于 $(20.,15.)\;{\text{m}}$。为了更好地理解，我们可以再次考虑摩天轮系统的参考图像。通过使用周围标记的坐标，我们可以绘制质心的位置，它正好位于中心轴下方（图像中大型灰色杆件交汇处）。

请看下面的摩天轮图像，上面叠加了一个醒目的黄色星形，指示着质心的近似位置。

示例 2：方块蛇

第一节：内容概述

在关于摩天轮的先前示例中，我们考虑了特定时刻，计算了系统在该时刻的质心。然而，尽管系统只包含少数几个考虑的部件，但仍然需要相当多的努力。

一段展示一条简单蛇在矩形网格中游动的视频。

这引发了几个问题

1. 有时是否有关于质心的捷径？
2. 我们是否可以将物体的质心概念扩展到运动中的物体？

在本例中，我们将回答这些问题，提供更多关于系统质心背后的直觉和应用的见解。

考虑 11vanya11 创建的地图“奇异之蛇”。在这张地图中，一条由七个方块组成的蛇，如右侧所示，绕着矩形周长游动。假设这七个方块具有均匀密度*，并且质量相同。

*关于均匀密度的重要说明

当物体具有均匀密度时，这意味着质量在其内部均匀分布。换句话说，如果我们将蛇的方块看作多个块，那么如果两个块占据相同的空间，它们将具有相同的质量。

蛇的一个方块被分成三个不同的块。由于三个块的大小相同，并且蛇的方块具有均匀密度，因此这些块具有相同的质量。

更进一步，假设我们将蛇块的中心移除一小部分，而不考虑它。然后，蛇块另一侧相同大小的部分也被移除。重复这个过程，直到我们接近块的几何中心，也就是蛇块的质心所在位置。

通过逐渐移除具有均匀密度的块的相对部分，我们可以发现该块的质心位于其几何中心。

由于蛇块的密度均匀，移除的部分将具有相同的质量。此外，由于它们位于相对侧，因此它们不会改变蛇块的质心位置。这是因为质心换句话说，是物体质量的平均点。值得注意的是，对于许多基本的平面几何形状，例如圆形、正方形、等边三角形等，如果它具有均匀的密度，那么质心就是几何中心所在位置。

第二部分：寻找质心的实用技巧

一条由更多块组成的蓝色蛇，能够在比之前视频中更复杂的路线上移动。

当考虑蛇块的信息（以及上面侧注的信息）时，在许多情况下，我们可以简化寻找物体质心的过程。为了解释这个概念，让我们考虑一个名为“方块蛇”的O_o O_o O_o,的静止图像，它类似于右侧所示的图。假设蛇的每个块的质量为 $1\;{\text{kg}}$，长度和宽度为 $0.2\;{\text{m}}$。

我们现在知道，如果（1）一个系统或系统的一部分构成一个简单的几何形状，并且（2）该系统或系统的一部分具有均匀的密度，那么它将在几何中心处具有质心。

从右侧的图像可以明显看出，蛇作为一个整体并没有构成一个简单的几何形状。然而，蛇的一部分构成了矩形形状。由于整条蛇的密度均匀，因此每个蛇部分（如下所示）的质心都位于其几何中心。

蓝色蛇被分成四个部分，每个部分的质心都位于该部分的几何中心。每个部分的质量也已标出。

通过使用上述方法，如果我们要使用 $x_{\text{com}}$ 和 $y_{\text{com}}$ 的公式（在给定坐标系的情况下），计算将变得简单得多。我们不必考虑 16 个不同块的 $(x,y)$ 坐标，只需要考虑四个不同的组就可以找到整条蛇在那一刻的质心。

继续这个例子

我们能够找到每个质心的相对位置，因为我们知道每个块的大小。

如果我们知道每个质心的坐标位置，或者能够用其他方法求解它们，我们就能计算出整条蛇的质心位置。

回顾一下，蛇的每个块的长度和宽度为 $0.2m$。如果我们假设绿色部分的质心位于 $(x,y)$ 坐标 $(0.0,0.0)\;{\text{m}}$，我们就可以手动计算出其他质心的位置，如右侧图所示。

从这一点开始，我们可以使用 $x_{\text{com}}$ 和 $y_{\text{com}}$ 的公式，如例 1 中介绍的那样。

$x_{\text{com}}={\frac {x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}+x_{3}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$

$x_{\text{com}}={\frac {x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}+x_{3}m_{3}+x_{4}m_{4}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}}}$

$x_{\text{com}}={\frac {(0.00)(4.0)+(0.40)(3.0)+(1.1)(7.0)+(1.8)(2.0)}{(4.0)+(3.0)+(7.0)+(2.0)}}{\frac {{\text{m}}\cdot {\text{kg}}}{\text{kg}}}$ $x_{\text{com}}=0.78\;{\text{m}}\;{\text{[2}}\;{\text{sigfigs]}}$

$y_{\text{com}}={\frac {y_{1}m_{1}+y_{2}m_{2}+y_{3}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$

$y_{\text{com}}={\frac {(0.00)(4.0)+(0.30)(3.0)+(0.60)(7.0)+(0.40)(2.0)}{(4.0)+(3.0)+(7.0)+(2.0)}}{\frac {{\text{m}}\cdot {\text{kg}}}{\text{kg}}}$

$y_{\text{com}}=0.37\;{\text{m}}\;{\text{[2}}\;{\text{sigfigs]}}$

同时 $x_{\text{com}}$ 和 $y_{\text{com}}$，我们可以确定蛇的质量中心大约在 $(0.78,0.37)\;{\text{m}}$，如右图所示，在图像上叠加了一个星号。

需要澄清的是，物体的质量中心可以不在物体本身。例如，考虑一个甜甜圈，它（1）中间有一个洞，（2）密度均匀。虽然甜甜圈本身在洞里没有质量，但甜甜圈围绕洞的质量平均起来，使得它的质量中心位于洞中。

因此，正如蛇的例子所示，物体的（或系统的）质量中心**不一定**在物体本身。

第三部分：质量中心的运动速度

玩家正在攀爬几个不断向下落的小型绿色平台。

如前几节所述，我们通过考虑静止帧来简化了系统的质量中心的寻找。然而，很多时候，质量中心正在运动，在某些情况下需要考虑这一点。

为了探讨这个概念，考虑由Fantao制作的地图攀爬。

假设

• 所有平台都以 $-0.5\;{\text{m/s}}$ 的恒定速度下降。
• 较小的平台的质量均为 $1.0kg$。
• 较大的顶部平台的质量为 $2.5kg$。

可见平台系统的质量中心的运动速度是多少？

解决这个问题可能很直观。解释一下，如果整个系统（比如汽车，或者在这种情况下，一套绿色平台）以相同的速度运动，那么这个系统的质量中心以该速度运动是有道理的。这将**与**质量中心的位置无关。

更正式地说，我们也可以通过考虑质量中心速度的公式来解决这个问题

某个方向（$x$）上质量中心速度的定义

$v_{\text{com,x}}={\frac {v_{1,x}m_{1}+v_{2,x}m_{2}+v_{3,x}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$

$v_{\text{com,x}}={\frac {v_{1,x}m_{1}+v_{2,x}m_{2}+v_{3,x}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$
$\implies v_{\text{com,x}}={\frac {(-0.5)(1.0)+(-0.5)(1.0)+(-0.5)(1.0)+(-0.5)(2.5)}{(1.0)+(1.0)_{(}1.0)+(2.5)}}{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\cdot {\frac {\text{kg}}{\text{kg}}}$
$\implies v_{\text{com,x}}=-0.5{\frac {\text{m}}{\text{s}}}{\text{[1}}{\text{ sigfig]}}$

除此之外，由于平台在水平方向上没有移动，因此存在一个 $v_{\text{com,y}}$ 等于 $0.0\;{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\;{\text{[1}}{\text{ sigfig]}}$.

我们可以像在主题 1.2 中计算位移一样将这些向量加在一起。因此，我们可以指定 $v_{\text{com}}=\pm {\sqrt {(v_{\text{com,x}})^{2}+(v_{\text{com,y}})^{2}}}$.

因此，$v_{\text{com}}=\pm {\sqrt {(-0.5)^{2}+(0.0)^{2}}}$
$v_{\text{com}}=\pm {\sqrt {(-0.5)^{2}+(0.0)^{2}}}$

$\implies v_{\text{com}}=-0.5{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\;{\text{[1}}{\text{ sigfig, Cartesian coordinate convention]}}$.

问题 1：冰山

三座冰山的可视化效果，它们各自的水面以上质量和各自的质心*（以粉色标记）。

* 指它们各自露出水面的冰山部分。

单位换算：$1{,}000\;{\text{kg}}=1\;{\text{Mg}}$

请参考右侧图片所示，由Semi_Cow124绘制的Breaking Ice地图。
第 (a) 部分

计算三座冰山露出水面部分的质心位置。

假设每座冰山总质量的 90% 都沉在水下。经发现，三座冰山水下部分的质心位于$(22.0,-15.0)\;{\text{m}}$。
第 (b) 部分

(i): 三座冰山在水下的总质量是多少？
(ii): 计算三座完整冰山的质心位置。

图片中展示了多名玩家跳跃并弹跳在最大的冰山上，直到它开始坍塌。

正在下落的冰山，图中标出了其特定部分的垂直速度。

假设游戏中出现一个新情况（如上图），玩家积极跳跃在冰山上。由于他们的冲击，地图中央最大的冰山开始破裂并崩塌。在某一时刻，最大的冰山露出水面的 70% 部分记录了其垂直速度，如右侧图所示。假设冰山剩余部分保持静止。
第 (c) 部分

中间冰山露出水面部分的质心以多快的速度垂直下落？

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参考文献