通过电子游戏解释物理学/二维运动

通过电子游戏解释物理学
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主题 1.5 - 二维运动

在某些情况下，我们可能需要追踪一个物体在多于一个维度上的运动。这种情况通常用抛射运动来描述。抛射运动是指一个物体在空中运动时，只受到重力（也称为地心引力）的加速作用。^[1]

目前，我们只需要知道力的一般概念，即它们会使物体在特定方向上加速。具体来说，重力导致所有有质量的物体之间存在吸引力。这使得有质量的物体互相加速。

举一个现实生活中的例子，如果一个人在地球上扔一个香蕉皮，香蕉皮会向下加速，直到撞击地面。同时，地球也会向上加速朝向香蕉皮。然而，由于地球的质量远远大于香蕉皮，因此地球因香蕉皮而产生的位移非常小。因此，在大多数情况下，我们可以忽略地球因香蕉皮的质量而产生的运动。

有关地心引力和相关信息的更多介绍，请查看此视频 by VSauce（从 2:40 到 7:27）。^[2]

考虑O_dot制作的香蕉丛林地图（如下）。我们可以看到香蕉在被猴子释放后向下加速（朝向下方）。在香蕉接触到地面或丛林之前，它们处于自由落体状态。这意味着香蕉只受到地球重力的加速作用。因此，香蕉在下降时垂直速度会越来越负。但是，它们的水平速度保持不变。

一只猴子抛出香蕉，由于抛射运动，香蕉呈抛物线形落下。

这种特性可以通过追踪猴子抛出的第一个香蕉的运动轨迹来观察（大约在视频播放到 2 秒处）。在此，香蕉在自由落体中以恒定速率向下加速，但没有水平加速度。因此，请注意以下几点：

香蕉被猴子抛出后，水平速度保持恒定，直到它撞击地面。
然而，香蕉同时具有不断增大的垂直速度大小。
由于上述因素，香蕉在落下过程中随着时间的推移变得越来越垂直。
这是因为随着时间的推移，垂直速度与水平速度的比例在大小上越来越大。

空气阻力

在现实生活中，空气阻力会影响地球大气中所有处于抛射运动的物体。这是因为物体与空气直接碰撞，运动方式不同。因此，空气会在物体上施加一个阻力。这个力会减慢物体的速度并缩短其飞行路径。作用在物体上的阻力取决于各种因素，包括飞行物体的精确形状及其速度大小和方向。^[3]^[4]

在本系列内容中，除非另有说明，我们将假设所有实验中阻力（空气阻力）可以忽略不计，以便简化计算。

如上所述，空气在某些情况下会对物体施加很大的阻力。例如，在紧急着陆 by Raspy 667（在右侧），可视化的飞机以恒定的垂直速度下降，而不是向下加速朝向海洋。这个具体例子将在第二单元：力学和牛顿定律中进一步探讨。但是，现在，重要的是从运动学的角度来讨论这个问题。

重力使飞机向下加速；然而，一个同样大的阻力使飞机向上加速。因此，由于视频中这两个力同时发生，飞机既没有向上加速也没有向下加速。相反，飞机的加速度为 0 m/s²，直到它着陆。由于此原因，飞机以恒定的速度（朝向下方）运动，直到它撞击海洋。

洞穴中的空中飞行

在本节中，我们将分析一个物理场景并进行全面解释。它旨在为本主题的以下练习题提供一个深入的示例。为了更好地理解，建议你在事先仔细阅读本节内容。

通过更深入地了解什么使处于抛射运动中的物体加速，我们现在将研究宝石洞穴 by G3nius（下图）的修改版中克莱尔（青绿色）的轨迹。

假设克莱尔在抛射运动中向上和向右发射。假设描述其运动的任何向量在主题 1.1 - 位移中来自笛卡尔网格约定的(X,Y)符号中具有分量。已知克莱尔的初始速度向量为(10., 20.) (m/s)。此外，假设空气阻力（阻力）可以忽略不计，并且克莱尔的重力加速度大小为9.8 m/s²。

示例 1：计算角度

计算克莱尔相对于 +X 方向的初始发射角度（以度为单位）。

当克莱尔最初发射时，我们已经知道初始速度分量。利用这一点，我们可以通过根据已知的初始垂直和水平速度向量构造一个直角三角形来直接计算其发射角度（相对于 +X 方向）。

更具体地说，由于初始速度为 (10., 20.) m/s 并且在 (X,Y) 符号中，

{\vec {v}}_{initial,x}

的大小为 10 m/s，方向朝向右侧。此外，

{\vec {v}}_{initial,y}

的大小为 20. m/s，方向朝向上方。我们可以将这些向量分量绘制到克莱尔上，如图右侧所示。

利用这一点，我们可以考虑由

{\vec {v}}_{initial}

向量及其分量构成的直角三角形。我们可以通过考虑向量分量并执行三角函数来求解向量的方向。

有了这些，我们可以推导出 $\theta$ ，注意到 $tan(\theta )={\frac {{\textsf {opposite}}\;{\textsf {side}}}{{\textsf {adjacent}}\;{\textsf {side}}}}$ .

由此，我们可以将已知三角形边长值代入。作为参考，边长代表 ${\vec {v}}_{initial,x}$ 各个分量的幅值。

因此， $tan(\theta )={\frac {{\vec {v}}_{initial,y}}{{\vec {v}}_{initial,x}}}\implies tan(\theta )={\frac {20.}{10.}}{\textsf {(m/s)}}$ .

然后，我们可以将等式两边同时进行 $tan(x)$ 的逆运算，即 $arctan(x)$ 。这使我们能够将等式改写为 $\theta =arctan({\frac {20.}{10.}})\implies \theta =1.1071...\;{\textsf {radians}}\implies \theta =63\;{\textsf {degrees}}\;{\textsf {[2}}\;{\textsf {sigfigs]}}$

因此，我们可以计算出，在克莱尔最初发射的瞬间，她以大约 63 度角相对于 +X 方向运动。

示例 2：将加速度和速度结合考虑

考虑克莱尔在空中的水平和垂直速度。因为在空中只有重力作用在克莱尔身上，那么她朝哪个方向加速？这将如何影响克莱尔在抛射运动中的水平和垂直速度？

了解到只有重力作用在克莱尔身上，玩家在抛射运动中向下加速。因此，克莱尔只有垂直速度在变化，而她的水平速度保持不变。

为了进一步深入研究，我们知道玩家受到的重力加速度为 **9.8 m/s²** 向下。这是克莱尔唯一受到的加速度。因此，重力加速度完全作用在垂直方向，而不是水平方向。因此，克莱尔的垂直速度每秒下降 9.8 m/s。这可以通过等式 **

v_{x,f}=v_{x,i}+a_{x}(t)

从主题 1.4 - 一维匀加速运动得出。

为了直观地了解克莱尔速度的变化，请查看俄亥俄州立大学的 Bonk.io 物理编码项目.^[5]

通过这个交互式演示（如右图所示），我们可以发现，如果玩家在空中只受到重力作用

玩家的 速度向量 将在空中以恒定的速度朝 -Y 方向移动，直到玩家再次反弹地面。
在视频中的任何时间，速度向量在水平方向上的长度都保持不变。

如果垂直加速度不同会怎么样？

在这个例子中，我们直接修改了玩家的整体垂直 加速度 ，同时保持水平加速度为 0。

在片段的前半部分，按下方向键（使玩家具有更大的负加速度）。因此，当玩家在空中时，速度向量将快速向下移动。

这与片段的后半部分形成对比，后半部分按下了向上方向键（使玩家具有更小的负加速度）。在这个测试中，速度向量明显向下移动的速度更慢。因此，我们可以看到，通过在某个方向上具有较小的加速度幅值，该方向上的速度将变化得更慢。

示例 3：解决多步运动学问题

假设克莱尔在以之前规定的条件发射后 **3.5 秒** 撞击了洞穴墙壁。在此时间间隔内，克莱尔的净位移幅值是多少？

虽然看起来仅仅依靠时间间隔、初始速度向量和重力加速度来计算Clare的位移是一个很困难的任务，但如果我们将问题分解，它就会变得简单得多。

首先，由于Clare的加速度是垂直的，所以水平速度在整个时间间隔内保持不变。由于速度是位移变化率，如果速度在某个方向x上是恒定的，那么 ${\vec {d}}_{x}={\vec {v}}_{x}(t_{elapsed})$ 。因为 ${\vec {v}}_{x}=10.\;{\textsf {m/s}}$ 并且 $t_{elapsed}=3.5\;{\textsf {s}}$ ， ${\vec {d}}_{x}=(10.)(3.5)\implies {\vec {d}}_{x}=35.\;{\textsf {m}}$ .

考虑垂直速度，参考给定恒定加速度的通用运动学方程表。需要注意的是，我们已经知道 ${\vec {v}}_{initial,y}$ 、 ${\vec {a}}_{y,\;(gravity)}$ 和 $t_{elapsed}$ 。我们想要找到垂直位移 ${\vec {d}}_{y}$ ，这相当于 $y_{final}-y_{initial}$ 。根据表格，我们可以使用方程 $x_{f}-x_{i}=v_{x,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{x}(t)^{2}$ 来解决这个问题，因为我们已经知道或需要求解的变量。

为了说明，由于公式中的方向仅仅是一个占位符，我们可以将该方程应用于垂直方向。因此，我们需要求解的是垂直位移，可以使用 $y_{f}-y_{i}=v_{y,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$ 。

$y_{f}-y_{i}=v_{y,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$

$\implies {\vec {d}}_{y}=v_{y,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}\quad {\text{[Definition of displacement.]}}$

${\vec {d}}_{y}=(20.)(3.5)+{\frac {1}{2}}(-9.8)(3.5)^{2}\quad {\text{[Substitution of known variables.]}}$

${\vec {d}}_{y}=9.975\;{\textsf {m}}\quad {\text{[Calculating; sigfigs left for later]}}$

有了这两个位移分量 ** ${\vec {d}}_{x}$ 和 ** ${\vec {d}}_{y}$ ，我们可以通过创建这两个分量组成的直角三角形，并使用勾股定理（如右图所示）来求解 ** ${\vec {d}}_{net}$ 。

${\vec {d}}_{net}=\pm {\sqrt {({\vec {d}}_{y})^{2}+({\vec {d}}_{y})^{2}}}\;{\text{[Derived from Pythagorean Theorem**]}}$

${\vec {d}}_{net}={\sqrt {({\vec {d}}_{y})^{2}+({\vec {d}}_{y})^{2}}}\;{\text{[The displacement magnitude is needed.]}}$

${\vec {d}}_{net}={\sqrt {(35)^{2}+(9.975)^{2}}}\;{\text{[Substitution of variables]}}$

${\vec {d}}_{net}=36.\;{\textsf {m}}\;{\text{[Calculations; 2 sigfigs]}}$

因此，在克莱尔从发射到撞击洞穴墙壁的 3.5 秒时间间隔内，她的净位移为 **36 米**。

**如果需要，请查看主题 1.2 - 计算位移以获取有关推导的更多帮助。**

练习题

注意： (如果加速度恒定，则提供运动学方程的表格) 可能有助于某些问题部分。

问题 1： 假设一条蛇在由猴子管家制作的地图卡塔利娜中沿着巨石滑行。蛇从一块大巨石上掉下来，水平速度为 **-0.3 米/秒**，然后进入自由落体运动，直到撞击 **下方** 的草地 **1.0 米**。在自由落体过程中，蛇以 **9.8 米/秒²** 的恒定大小向下加速。蛇受到的空气阻力可以忽略不计。

第 a 部分）

(i) 当蛇处于自由落体时，哪个加速度向量可以模拟蛇的整体加速度？从右侧图像中的四个选项中选择一个。

(ii) 使用笛卡尔网格约定，蛇的加速度向量是正方向还是负方向？

第 b 部分） 如果我们要求解蛇下落过程中经过的时间，应该使用哪些公式？

第 c 部分） 计算蛇下落过程中经过的时间。

第 d 部分） 使用你在 c 部分中的答案，确定蛇在自由落体过程中水平位移。

问题 1 的解答

通过考虑初始提示，我们可以收集到已知关于蛇自由落体的的信息。

我们被告知蛇的初始水平速度为 -0.3 米/秒。因此， $v_{x,i}=-0.3\;{\text{m/s}}$ .
同样，我们被告知蛇最初没有垂直速度。因此， $v_{y,i}=0.0\;{\text{m/s}}$ .
由于蛇向下坠落了 1.0 米，因此它在自由落体运动期间将具有 -1.0 米的垂直位移。因此， $\Delta y=-1.0\;{\text{m}}$
由于蛇被告知是自由落体运动，因此重力是作用在蛇上的唯一力。因此，蛇上的重力加速度（大小为 9.8 米/秒²）是蛇的总加速度。由于物体由于重力而在向下方向加速，根据笛卡尔坐标系约定，我们可以允许 $a_{net}=-9.8\;{\text{m/s}}^{2}$ .

通过仔细考虑提示，我们现在可以快速回答第 a) 部分

关于第 a) 部分 (i)，由于重力加速度是蛇在自由落体运动期间作用在蛇上的唯一类型的加速度，因此蛇的加速度向量可以用一个指向下方的箭头来表示。因此，选项 D 在右侧再次显示的图表中将是正确答案。

为了回答第 a) 部分 (ii)，由于蛇的加速度指向下方，并且我们使用笛卡尔坐标系约定，因此蛇的加速度将在负方向。

为了回答第 b) 和 c) 部分，我们需要找到一种方法来直接计算蛇下落所需的时间。通过考虑（运动学方程表），我们可以决定哪个方程最适合在这种情况下使用。

一种方法是通过排除我们无法使用的方程。我们可以通过问自己一个问题来做到这一点：如果我们将已知变量代入某个方程，我们将能够直接求解单个未知值吗？

为了直奔主题，我们不能轻易引入更多未知值，并能够求解我们被要求寻找的未知变量。通过这种排除法，我们可以决定不使用方程 1、2 和 4。这是因为它们都会引入未知变量 $v_{y,f}$ . 由于我们不知道蛇的最终垂直速度是多少，因此选择其中一个方程将导致我们引入额外的工作或陷入死胡同。

因此，让我们考虑方程 3，因为它没有其他选择： $y_{f}-y_{i}=v_{y,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$ . 我们知道蛇的垂直位移，它将等于 $y_{f}-y_{i}$ 。因此，根据定义，我们可以将该方程改写为： $\Delta y=v_{y,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$ 。此外，我们知道初始垂直速度， $v_{y,i}$ ，等于 0。如果我们将它代入我们的方程，那么项 $v_{y,i}(t)$ 也将等于 0。因此，我们可以从方程中删除此项。

为了澄清，即使我们正在考虑不同的情况，其中 $v_{y,i}(t)\neq 0$ ，我们最终仍然可以直接求解经过的时间。但是，这将涉及处理通过使用二次方程来简化二次方程，例如通过使用二次公式。在此之后，我们可能还需要消除一个无关解。对于这个关于蛇的特定问题，求解过程将因为项 $v_{y,i}(t)$ 可以被移除而变得简单。

因此，我们可以将公式 3 写成 $\Delta y={\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$ 的形式来描述蛇的运动。由于垂直加速度（也就是 $a_{net}$ ）和垂直位移（ $\Delta y$ ）都是已知的，我们可以直接解出经过的时间。因此， 公式 3 可以用来解决经过的时间问题，从而解答 Part b)。

由于上面所做的推导，我们可以使用公式 3 的重写形式， $\Delta y={\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$ ，并使用代数直接求解 $t_{elapsed}$ ，如下所示

$\Delta y={\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$

$\implies (t)^{2}={\frac {2\Delta y}{a_{y}}}\;{\text{[隔离时间变量。]}}$

$\implies t=\pm {\sqrt {\frac {2\Delta y}{a_{y}}}}\;{\text{[对等式两边开平方。]}}$

$\implies t=\mathbf {+} {\sqrt {\frac {2\Delta y}{a_{y}}}}\;{\text{[寻找正的经过时间。]}}$

$\implies t={\sqrt {\frac {2(-1.0)}{-9.8}}}\;{\text{[代入变量。]}}$

$\implies \mathbf {t=0.45} \;{\textbf {sec}}\;{\text{[计算; 2 个有效数字]}}$

因此，蛇从巨石上掉下来到撞击草地之间的时间为 0.45 秒，这回答了 Part c)。

最后，为了解决d)部分，我们需要知道蛇的水平速度是恒定的。这是因为除了重力之外，没有其他力作用在蛇身上。因此，我们可以考虑我们最初的水平速度， $v_{x,i}=-0.3\;{\text{m/s}}$ . 如果我们的水平速度是恒定的，那么在蛇下落期间，它将始终保持不变。因此， $v_{\mathbf {x} }=-0.3\;{\text{m/s}}$ .

如在主题 1.3 - 速度和平均速度中介绍，我们知道 $v_{x,\;average}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ . 由于 $v_{x}$ 将等于 $v_{x,\;average}$ 在蛇下落期间，我们可以将 $v_{x}$ 代入表达式并简化，如下所示

$v_{x,\;average}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

$\implies v_{x}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}\;{\text{[变量替换.]}}$

$\implies \Delta {x}=v_{x}\Delta t\;{\text{[代数.]}}$

$\implies \Delta {x}=(-0.3)(0.4517...)\;{\text{[代入.]}}$

$\implies \Delta {x}={\text{0.14}}\;{\text{m}}\;{\text{[计算；2 位有效数字]}}$

因此，蛇在坠落过程中水平位移为-0.14 m，回答了 d) 部分。

问题 2： 假设一条大白鲨在O_dot的SHARK!!地图中吞下一只磷虾。磷虾在进入鲨鱼胃部0.500 秒后迅速加速，超过了鲨鱼的嘴巴。磷虾相对于鲨鱼的加速度矢量的大小恒定为19.5 m/s²，并指向-X方向下方 5.00 度。值得注意的是，磷虾进入鲨鱼嘴巴时被认为是静止的。

第 a 部分）

(i) 考虑如果磷虾的位置是在它进入鲨鱼嘴巴 ${\text{(}}\;t_{initial}=0.000\;{\text{sec)}}$ 到它到达鲨鱼胃部 ${\text{(}}\;t_{final}=0.500\;{\text{sec)}}$ 期间，每隔 0.100 秒记录一次。以下三种选择中哪一种最能代表磷虾在这段时间内的位置变化？

(ii) 参考右边的图表，计算磷虾在水平方向上的加速度大小。

b)部分 计算磷虾在 0.000 到 0.500 秒之间的水平位移。

部分 c) 假设一位研究人员正在计算磷虾到达鲨鱼胃部时的总速度 ${\text{(at t = 0.500 sec)}}$ 。研究人员在计算磷虾的总速度时应该使用哪个加速度值？请解释你的选择。

磷虾的加速度向量，如在部分 a 之前给出。	在部分 a (ii) 中计算出的加速度向量的水平分量。	都不是。

部分 d)* 在一个新的情况下，假设研究人员后来发现鲨鱼吞下了第二只磷虾。两只磷虾以相同的加速度进入鲨鱼体内，并走完全相同的路径。但是，第二只磷虾以 **2.0 m/sec** 的初始速度大小进入鲨鱼体内。初始速度方向在 -X 轴下方 5.0 度。第二只磷虾从鲨鱼的嘴巴到达鲨鱼的胃需要多少时间？

*注意：对于这部分问题，你最终可能会得到一个二次方程。在这种情况下，将所有项移到等式同一侧。然后，将你的变量输入这个定制的 Desmos 图形计算器。

问题 2 解答

就像我们在问题 1 中所做的那样，考虑最初的提示可以让我们快速了解到底发生了什么。阅读提示

我们被告知磷虾从鲨鱼的嘴到胃需要 0.500 秒。因此， $t_{elapsed}=0.500\;{\text{s}}$ .
此外，我们被告知磷虾以 19.5 m/s² 的加速度加速，方向在 -X 轴下方 5 度。因此， ${\vec {a}}_{net}=19.5\;{\text{m/s}}^{2}$ 且 $\theta =5.00^{\circ }$ .
此外，因为我们知道磷虾最初处于静止状态， ${\vec {v}}_{net,i}={\vec {v}}_{x,i}={\vec {v}}_{y,i}=0.000\;{\text{m/s}}$ .

有了这些，我们知道磷虾从静止开始并加速，使其迅速向左下方移动。因此，使用 **部分 a) (i)**，我们需要找到磷虾平均速度随着时间推移而增加的选择。

因为选择 A、B 和 C 中显示的点旨在作为磷虾在 0.000、0.100、0.200、... 和 0.500 秒时的位置记录。因此，在每个记录的点之间经过 0.100 秒。由于 ${\vec {v}}_{net,avg}={\frac {{\vec {d}}_{net}}{\Delta t}}$ 使得 ${\vec {d}}_{net}={\vec {v}}_{net,avg}\Delta t$ ，如果我们知道每个时间间隔之间的平均速度都在增加，那么每个后续点之间的位移必须更大。

换句话说，磷虾正在变得更快，因为它正在从静止状态加速。因此，点应该间隔更远，因为点之间的时间变化相同，但磷虾的速度正在增加。

在考虑我们的选择时，只有选择 B 才会满足这种情况，因为点正在变得更远。为了排除其他选择，选择 A 错误地将所有点等距放置，这意味着磷虾的加速度为零，并且它没有从静止状态开始。此外，选择 C 错误地显示点随着时间的推移变得越来越近。这将错误地暗示磷虾没有从静止状态开始，并且磷虾的加速度不会是左下方向。

因此，选择 B（显示在右侧）是部分 a) (i) 的答案。

对于接下来的部分，部分 a) (ii)，我们面临一个计算问题，并提供了一个图表（在右侧复制）的支持，我们需要计算磷虾水平加速度的大小。需要注意的是，我们已经知道磷虾的净加速度， $a_{net}=19.5\;{\text{m/s}}^{2}$ 及其相对于 -X 轴的角度， $\theta =5.00^{\circ }$ 。但是，我们需要找出已知净加速度的水平分量。

利用提供的图示，我们可以看到各个组件构成了一个直角三角形，其中 $a_{x}$ 在水平方向上延伸。利用三角函数，因为 $cos(\theta )={\frac {{\textsf {adjacent}}\;{\textsf {side}}}{{\textsf {hypotenuse}}\;{\textsf {side}}}}$ ，其中 $a_{x}\iff {\textsf {adjacent}}\;{\textsf {side}}$ 和 $a_{net}\iff {\textsf {hypotenuse}}\;{\textsf {side}}$ ，我们可以将该等式改写为 $cos(\theta )={\frac {a_{x}}{a_{net}}}$ ，然后求解 $a_{x}$ 。

$cos(\theta )={\frac {a_{x}}{a_{net}}}$

$a_{x}=cos(\theta )\;a_{net}\;{\text{[Algebra.]}}$

$a_{x}=cos(5.00^{\circ })*19.5\;{\text{[Substitution of variables]}}$

$a_{x,magnitude}=19.4\;{\text{m/s}}^{2}\;{\text{[Calculations; 3 sigfigs]}}$

因此，磷虾被鲨鱼吞食时，其水平加速度的大小为 **19.4 m/s²**，回答了 Part a) (ii)。注意，如果我们不是在求磷虾水平加速度的大小，那么这个值将为负值，因为根据笛卡尔网格约定，磷虾正在向左加速。这是因为磷虾正在向左加速。

在开始处理 **Part b)** 时，为了求解水平位移，我们需要考虑目前已知的磷虾水平运动信息。

首先，我们已经知道磷虾从静止开始运动。因此，我们知道 ${\vec {v}}_{x,i}=0.000\;{\text{m/s}}$ 。此外，我们刚刚在 Part a) (ii) 中求解了磷虾的水平加速度。因此，我们也知道，根据笛卡尔网格约定， $a_{x}=-19.4\;{\text{m/s}}^{2}$ 。最后，我们已经知道磷虾经过的时间， $t_{elapsed}=0.500\;{\text{s}}$ 。

如问题 1：Part b) 的解答所示，我们可以使用运动学方程表，并根据末速度未知，排除方程 1、2 和 4。这是因为引入更多未知值后，我们无法直接求解任何单个未知方程，除非我们同时使用多个方程。

接下来，我们可以用与问题 1：部分 b) 非常类似的方式，使用方程式 3 来简化位移变化。请注意，对于当前的鲨鱼和磷虾问题，我们正在评估的是水平位移，而不是时间变化。

$x_{f}-x_{i}=v_{x,i}(t_{elapsed})+{\frac {1}{2}}a{x}(t)^{2}\;{\text{[Equation 3.]}}$

$\Delta x=v_{x,i}(t_{elapsed})+{\frac {1}{2}}a{x}(t)^{2}\;{\text{[Definition of displacement.]}}$

$\Delta x={\cancelto {0}{(0.000)(0.500)}}+{\frac {1}{2}}(19.5)(0.500)^{2}\;{\text{[Substitution of variables.]}}$

$\Delta x=2.4375\;{\text{[Calculations.]}}$

$\Delta x=2.44\;{\text{m}}\;{\text{[3 sigfigs; units]}}$

因此，磷虾从鲨鱼嘴巴到鲨鱼胃水平移动了 2.44 m，回答了部分 b)。

问题的下一部分，部分 (c)本质上是概念性的，需要进行证明。证明概念性答案并不意味着我们需要定量地计算情况。相反，我们需要论证在计算磷虾在 $t=0.500\;{\text{s}}$ 时的整体速度时，应该使用哪个加速度值。

在考虑磷虾的整体速度时，这仅仅是说整体速度的大小。我们知道磷虾在 0.000 到 0.500 秒之间始终以 -X 方向下方 5.00 度移动。这是因为磷虾从静止状态开始，静止不动，然后仅在这个方向上加速。因此，速度矢量具有水平和垂直分量。

另一种看待这个问题的方法是回顾部分 a) (i) 中的选择 B。在此，磷虾的路径由一条直线上的点标记。

由于磷虾的路径，我们理解，如果我们要计算磷虾的最终速度，同时已经知道初始速度和某个加速度值，我们可以使用运动学方程表中的方程式 1，其中 $v_{x,f}=v_{x,i}+a_{x}t$ ，其中 x 是某个方向。如果我们要使用此方程式来求解整体最终速度，那么我们需要将整体加速度 $a_{net}$ 代入此方程式。这是因为 $a_{net}$ 与速度具有相同的角度。

因此，对部分 c) 的一种可能的回答是

PRIMARY SAMPLE RESPONSE

Choice: The krill's acceleration vector, as given before Part a.


Reason: Suppose we choose to use the equation  $v_{f}=v_{i}+at$ to solve for the overall final velocity. This would be solved in the direction angle of 5 degrees below the -X direction. Because the vectors of velocity during the time interval and the overall acceleration share the same direction, we could use the overall acceleration to solve for the final overall velocity.

需要注意的是，选择“部分 a (ii) 中计算出的加速度矢量的水平分量”或“都不是”作为部分 c) 的选择，并不一定意味着你错了。这个问题有其他替代解决方案，下面提供了两种解决方案。但是，前面的推导和上面的“主要示例响应”可能展示了一种更简单的方法。

ALTERNATE SAMPLE RESPONSE #1

Choice: The horizontal component of the acceleration vector, as calculated in Part a (ii).


Reason: We can use the equation $v_{x,f}=v_{x,i}+a_{x}t$ to solve for the overall final velocity in the horizontal (X) direction. Then, because we know the direction angle of the overall velocity vector at the final time, we can use trigonometry to solve for the krill's final overall speed.

ALTERNATE SAMPLE RESPONSE #2

Choice: Neither.


Reason: We can calculate first for the acceleration of the krill in the vertical (Y) direction with trigonometry. This is because we are given the direction angle at which the krill's acceleration is occurring. After this, we can use the equation $v_{y,f}=v_{y,i}+a_{y}t$ to solve for the overall final velocity in the Y direction. Then, because we know the direction angle of the overall velocity vector at the final time, we can use trigonometry to solve for the krill's final overall speed.

最后一部分，部分 d)，特别具有挑战性。因此，已尽力对推导进行尽可能详细的解释。下面介绍了两种方法。请注意，这些方法可能存在达到相同解决方案的不同版本。

部分 d) 的分析方法

首先，我们需要解释第二只磷虾修改后的情况发生了什么变化。从部分 d) 的提示中，我们了解到，尽管第二只磷虾的路径和加速度相同，但它将具有 2.00 m/s 的不同初始速度。这个新的速度指向 -X 方向下方 5.00 度。

因此，我们应该预期第二只磷虾会更快地到达鲨鱼的胃。第二只磷虾具有更大的初始速度和相同的加速度，它将始终比第一只磷虾更快地移动，从进入鲨鱼嘴巴开始到到达鲨鱼的胃。因此，我们对部分 d) 的答案应该小于 0.500 秒，这是第一只磷虾给定的经过时间。

由于我们已知初始速度 $v_{i}=2.0{\text{m/s}}$ ，净加速度 ${\vec {a}}_{net}=19.5\;{\text{m/s}}^{2}$ ，以及水平位移（在 b 部分找到） $\Delta x=2.44\;{\text{m}}$ ；我们可以尝试通过运动学方程表查看是否有任何可以用到的方程。仅凭这些变量，我们必须引入另一个未知数才能解出经过时间的方程。为了避免这种情况，我们可以考虑是否可以先求解另一个新变量。这将使我们能够直接求解经过时间。

一种可能的方式是考虑方程 1： $v_{net,f}=v_{net,i}+a_{net}*(t)$ 。虽然我们还不知道最终速度，但我们可以尝试用方程 4 求解它： $(v_{net,f})^{2}=(v_{net,i})^{2}+2a_{net}(d_{net})$ 。再一次，我们遇到了引入一个新的未知变量的情况。但是这一次，我们已经求解了 b 部分的水平位移。此外，因为我们被告知两只磷虾的路径相同，我们可以使用三角函数来求解第二只磷虾的净位移。

由于速度和加速度向量在整个经过时间内都指向两只磷虾的 -X 方向下方 5.00 度，我们可以写出方程 $cos(\theta )={\frac {\Delta x}{d_{net}}}$ 。然后，我们可以直接求解 $d_{net}$ ，使得

$cos(\theta )={\frac {\Delta x}{d_{net}}}$

$\implies d_{net}={\frac {\Delta x}{cos(\theta )}}\;{\text{[Algebra.]}}$

$\implies d_{net}={\frac {2.4375}{cos(5.00)}}\;{\text{[Substituting variables.]}}$

$\implies d_{net}=2.4468...\;{\text{m}}\;{\text{[Calculating; keeping sigfigs for now]}}$

然后，我们可以再次回顾方程 4，其中 $(v_{net,f})^{2}=(v_{net,i})^{2}+2a_{net}(d_{net})$ ，并直接求解第二只磷虾的最终速度。

$(v_{net,f})^{2}=(v_{net,i})^{2}+2a_{net}(d_{net})$

$\implies (v_{net,f})={\sqrt {(v_{net,i})^{2}+2a_{net}(d_{net})}}\;{\text{[两边平方。]}}$

$\implies (v_{net,f})={\sqrt {(2.00)^{2}+2(19.5)(2.4468...)}}\;{\text{[代入变量。]}}$

$\implies v_{net,f}=9.9712...\;{\text{m/s}}\;{\text{[计算；先保留有效数字。]}}$

最后，我们现在有了解决直接求解时间所需的变量，用方程 1： $v_{net,f}=v_{net,i}+a_{net}*(t)$ 如下所示。

$v_{net,f}=v_{net,i}+a_{net}(t)$

$\implies t={\frac {(v_{net,f}-v_{net,i})}{a_{net}}}\;{\text{[求解时间。]}}$

$\implies t={\frac {(9.9712...-2.00)}{19.5}}\;{\text{[代入。]}}$

$\implies t=0.4088...\;{\text{[计算。]}}$

$\implies t=0.408\;{\text{秒}}\;{\text{[单位；3 位有效数字]}}$

因此，第二只磷虾从进入鲨鱼嘴巴到到达鲨鱼胃部，经历了0.408 秒。这通过解析方法回答了问题 d)。

问题 d) 的图形方法

注意：这种求解方法需要使用这个自定义 Desmos 图表。在以下呈现的解决方案旁边打开该图表。

解决 Part d) 的另一种方法涉及部分图形方法。但是，此方法也从分析我们目前拥有的变量开始。这些变量包括净初始速度， $v_{i}=2.0{\text{m/s}}$ ，净加速度 ${\vec {a}}_{net}=19.5\;{\text{m/s}}^{2}$ ，以及水平位移（在 Part b 中找到） $\Delta x=2.44\;{\text{m}}$ .

收集完这些项后，我们参考运动学方程表并考虑方程 3： $x_{net,f}-x_{net,i}=v_{net,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{net}(t)^{2}$ 。虽然我们正在引入一个额外的未知变量（净位移） $x_{net,f}-x_{net,i}\iff d_{net}$ 到我们的问题中，通过考虑方程 3，我们可以使用三角函数直接预先计算该值。这是因为我们已经知道水平位移和磷虾的位移角。

使用与解析解相同的方法，我们可以找到第二只磷虾的净位移与水平位移。因此，保持有效数字， $d_{net}=2.4468...\;{\text{m}}$ 。有关此推导，请参阅解析解。

现在，我们可以使用方程 3 直接计算经过时间，如下所示

$x_{net,f}-x_{net,i}=v_{net,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{net}(t)^{2}$

$\implies d_{net}=v_{net,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{net}(t)^{2}$ [位移定义。]

$\implies 0=-d_{net}+v_{net,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{net}(t)^{2}$ [将二次方程设置为 0。]

通过允许上面的二次方程等于 0，我们可以找出 $t_{elapsed}$ 的哪些值使方程成立。解释一下， $t_{elapsed}$ 是上面方程中唯一剩下的未知变量。因此，我们可以通过检查它是否满足方程来评估某个 $t_{elapsed}$ 的值是否为答案。

我们可以使用二次公式或使用图形计算器查找方程与 X 轴的交点（方程为 0 的地方）来做到这一点。但是，因为此问题提供了图形计算器，所以解决方案的其余部分将重点放在图形解决问题上。

要使用绘图计算器解决这个问题，我们需要先决定使用哪个函数来模拟我们推导出的方程。在自定义图形中，我们有四种可能的图形选择。然而，只有函数选择 1： $f\left(t\right)=\ -\left(x_{NetDisplacement}\right)+\ v_{NetInitial}\left(t\right)+{\frac {1}{2}}a_{net}\left(t\right)^{2}$ 包含与推导方程中相同的变量。为了说明，其他函数，它们

在方程中使用水平位移而不是净位移，或者/并且
忽略了净初速度不为零。

接下来，我们向下滚动并输入 $x_{NetDisplacement}\iff d_{net}$ ， $v_{NetInitial}\iff v_{net,i}$ 和 $a_{net}$ 的值。请注意 $x_{NetHorizontal}\iff d_{x}$ 可以跳过，因为它不在我们选择的函数中。

使用到目前为止收集的信息，输入的值应该是

 $x_{NetDisplacement}\iff d_{net}$ : $2.4468...\;{\text{m}}$ 
 $v_{NetInitial}\iff v_{net,i}$ :  $2.00\;{\text{m}}$ 
 $\quad a_{net}$ :  $19.5\;{\text{m/s}}^{2}$

Note: To prevent confusion, all of these values must share being either all positive or all negative. This is because the values above all are vectors in the same direction. Thus, it's our choice depending on whether we want to follow the Cartesian grid convention. 

For this solution, we all for the values to all be positive. However, both ways result in the same answer.

这样，我们就可以创建一个抛物线，它在 $t\approx -0.614\;{\text{sec}}$ 和 $t\approx 0.409\;{\text{sec}}$ 处与 X 轴相交。正如 Desmos 图形中所解释的那样，只有正解是正确的。我们可以从逻辑上证实这一点，因为磷虾在穿过鲨鱼的嘴巴 **之后** 才到达鲨鱼的胃。因此，时间必须发生正变化。

因此，使用三位有效数字，第二只磷虾从鲨鱼的嘴巴到它的胃花了 $t=0.409\;{\text{sec}}$ ，这也回答了第 d 部分。*

*注意：这里答案可能与解析解略有不同，这取决于图形使用的精度。在本例中，我们只在解析解的最后一位数字上与解析解不同，解析解发现 $t=0.408\;{\text{sec}}$ 。

↑ “3.3: 投射运动。” 物理学自由文本，2018 年 4 月 12 日，https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Physics_(Boundless)/3%3A_Two-Dimensional_Kinematics/3.3%3A_Projectile_Motion。
↑ Vsauce。哪个方向是向下？2017。YouTube，https://www.youtube.com/watch?v=Xc4xYacTu-E。
↑ 下一代科学。终末速度和空气阻力。2023。YouTube，https://www.youtube.com/watch?v=ElpqPZd1RJU。
↑ Urone，Paul Peter 和 Roger Hinrichs。5.2 阻力 - 大学物理 2e | OpenStax。2022 年 7 月 13 日，https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/5-2-drag-forces。
↑ https://www.asc.ohio-state.edu/orban.14/physics_coding/bonk/bonk_v6/. 2024 年 6 月 20 日访问。

[1] “3.3: 投射运动。” 物理学自由文本，2018 年 4 月 12 日，https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Physics_(Boundless)/3%3A_Two-Dimensional_Kinematics/3.3%3A_Projectile_Motion。

[2] Vsauce。哪个方向是向下？2017。YouTube，https://www.youtube.com/watch?v=Xc4xYacTu-E。

[3] 下一代科学。终末速度和空气阻力。2023。YouTube，https://www.youtube.com/watch?v=ElpqPZd1RJU。

[4] Urone，Paul Peter 和 Roger Hinrichs。5.2 阻力 - 大学物理 2e | OpenStax。2022 年 7 月 13 日，https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/5-2-drag-forces。

[5] ttps://www.asc.ohio-state.edu/orban.14/physics_coding/bonk/bonk_v6/. 2024 年 6 月 20 日访问。

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