实分析/微分

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实分析 微分

导数的应用→

在本章中，我们将介绍微分的概念。微分是微积分中的一种基本工具，你在学习早期数学时应该已经对此有所了解。然而，为什么这是真的，原因并不总是那么清晰。本章证明了微分的一个简单推论，你应该很熟悉 - 也就是说，我们将集中证明每个微分“运算”，它为我们提供了一种简单的方法来找到常见函数的导数。

定义

让我们定义函数的导数。

设 $a\in \mathbb {R}$。给定一个函数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$，我们说ƒ(x) 在x=a处可微当且仅当 $\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$ 存在。

ƒ 在a处的导数记为 $f'(a)$

如果在集合A中的每个a处都存在导数，则称该函数在集合A上可微。如果一个函数在其整个定义域上可微，则称该函数可微。

定义推出的定理（可微性蕴含连续性）

从我们对导数的定义可以看出，它使用了极限和函数。这个定理将微分与连续性联系起来，这对于证明本章将讨论的许多后续定理很有用。该定理的证明很简单；它需要一个有效的极限收敛于零来模拟连续性的定义。

定理 给定一个在a处可微的函数ƒ，它也在a处连续

该定理的证明如下

证明在a处可微的函数在a处连续

可微定义	${\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}\\f'(a)\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{h}&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{h}\\f'(a)\cdot 0&=\lim _{h\rightarrow 0}{{\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}\cdot h}\\0&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)}-\lim _{h\rightarrow 0}{f(a)}\\\lim _{h\rightarrow 0}{f(a)}&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)}\\\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)}&=f(a)\end{aligned}}$
假设我们用0乘以两边
代数运算
连续性定义 $\blacksquare$

然而，反过来在这种情况下不成立。分析证明，很明显，一个在a处连续的函数并不一定意味着它在a处可微，仅仅是因为它会涉及去除乘以0的操作，而这根据我们的代数公理是不可能的。

微分的性质

根据这个定义，我们将创建新的导数性质。熟悉微积分的人应该注意到，我们正在证明某些函数和运算的导数是有效的。这些第一个定理直接从定义得出。

基本性质

以下是仅出于完整性而提及的属性列表，以及关于导数公式如何工作的演示。

基本导数列表

常数函数	给定 $f(x)=c,\quad f'(a)=0$
恒等函数	给定 $f(x)=x,\quad f'(a)=1$

常数函数

假设一个常数函数 ƒ 使得 $f(x)=c\quad \forall x\in \mathbb {R}$。这个函数对于任何实数的导数始终为 0。

根据导数定义，我们有

$f'=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$

应用函数的定义，我们可以用 c 代替函数，如下所示

${\begin{aligned}f'&=\lim _{h\rightarrow 0}{c-c \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{0 \over h}\\&=0\\&\blacksquare \end{aligned}}$

恒等函数

假设一个恒等函数 ƒ 使得 $f(x)=x\quad \forall x\in \mathbb {R}$。这个函数对于任何实数的导数始终为 1。

根据导数定义，我们有

$f'=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$

应用函数的定义，我们可以用它的输入代替函数，如下所示

${\begin{aligned}f'&=\lim _{h\rightarrow 0}{a+h-a \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{h \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{1}\\&=1\\&\blacksquare \end{aligned}}$

代数性质

假设两个函数 f 和 g 在 a 处可微，以下性质适用

代数运算的导数列表

加法	$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$
减法	$(f-g)'(a)=f'(a)-g'(a)$
乘法	$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$
函数的倍数	$(\lambda f)'(a)=\lambda \cdot f'(a)$
倒数	$\left({\dfrac {1}{f}}\right)'(a)=-{\dfrac {f'(a)}{f^{2}}}$
除法	$\left({\dfrac {f}{g}}\right)'(a)={\dfrac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g^{2}}}$

我们将在下面分别证明每一个

加法

这个证明实质上是从构成整体函数的两个函数中创建了微分的定义。

${\begin{aligned}(f+g)'(a)&=\lim _{h\rightarrow 0}{(f+g)(a+h)-(f+g)(a) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{(f(a+h)+g(a+h))-(f(a)+g(a)) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({f(a+h)-f(a) \over h}+{g(a+h)-g(a) \over h}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}+\lim _{h\rightarrow 0}{g(a+h)-g(a) \over h}\\&=f'(a)+g'(a)\\&\blacksquare \end{aligned}}$

减法

我们不会为减法写出一个严谨的证明，因为我们可以通过想象一个取反的 $g(a)$ 函数或用减法而不是加法来重新追踪加法的证明，在脑子里完成。

乘法

这个证明与之前的证明类似，只是这个证明需要添加额外的项，这些项在加在一起时会抵消。 这是一个在推导定理时常用的代数技巧，在本节后面的定理中还会继续使用。

${\begin{aligned}(fg)'(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a) \over h}\\&{\text{next, we introduce the }}f(a)g(a+h){\text{ term into the statement}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a+h)+f(a)g(a+h)-f(a)g(a) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{g(a+h)(f(a+h)-f(a))+f(a)(g(a+h)-g(a)) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}\lim _{h\rightarrow 0}{g(a+h)}+\lim _{h\rightarrow 0}{f(a)}\lim _{h\rightarrow 0}{g(a+h)-g(a) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}g(a+h)+f(a)\lim _{h\rightarrow 0}{g(a+h)-g(a) \over h}\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\&\blacksquare \end{aligned}}$

常数的乘积

对于这个证明，我们将使用两种不同的方法来呈现它。

第一种方法只需要一个极限定理，即常数的倍数等价于极限乘以常数。

${\begin{aligned}(\lambda f)'(a)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\lambda f(a+h)-\lambda f(a) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\lambda \left({\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right)}\\&=\lambda \lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}\\&=\lambda f'(x)\\&\blacksquare \end{aligned}}$

第二种证明需要应用乘积法则和常数函数的微分。

${\begin{aligned}(\lambda f)'(a)&=g'(x)f(x)+g(x)f'(x)\\&=0\cdot f(x)+\lambda f'(x)\\&=\lambda f'(x)\\&\blacksquare \end{aligned}}$

倒数

与之前其他证明一样，这个证明也会在某个点调用定义，将语句简化为简洁、易记的形式。

${\begin{aligned}\left({\dfrac {1}{f}}\right)'(a)&=\lim _{h\rightarrow 0}{{\dfrac {1}{f(a+h)}}-{\dfrac {1}{f(a)}} \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(a)-f(a+h)}{h\cdot f(a+h)f(a)}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{{\dfrac {f(a)-f(a+h)}{h}}\cdot {\dfrac {1}{f(a+h)f(a)}}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{-{\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {1}{f(a+h)f(a)}}\\&=-f'(a)\cdot {\dfrac {1}{f(a)f(a)}}\\&=-{\dfrac {f'(a)}{[f(a)]^{2}}}\\&\blacksquare \end{aligned}}$

除法

此证明借鉴了倒数证明和乘积证明，形成一个易于理解的论证。

${\begin{aligned}\left({\dfrac {f}{g}}\right)'(a)&=\left(f\cdot {\dfrac {1}{g}}\right)'(a)\\&=f'(a)\left({\dfrac {1}{g(a)}}\right)+{f(a) \over g'(a)}\\&=f'(a)\left({\dfrac {1}{g(a)}}\right)+f(a)\left({\dfrac {1}{g(a)}}\right)'\\&={\dfrac {f'(a)}{g(a)}}-{\dfrac {f(a)g'(a)}{[g(a)]^{2}}}\\&={\dfrac {f'(a)g(a)}{[g(a)]^{2}}}-{\dfrac {f(a)g'(a)}{[g(a)]^{2}}}\\&={\dfrac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{[g(a)]^{2}}}\\&\blacksquare \end{aligned}}$

链式法则（函数复合定理）

给定两个函数 f 和 g，使得 f 在 $g(a)$ 处可微，g 在 a 处可微，则 $(f\circ g)'(a)=f'\circ g(a)\cdot g'(a)$

证明第一部分

与之前的性质不同，链式法则很快就会变得很麻烦，并且绝对需要一个外部定理才能解决，而不是代数运算。为了说明为什么需要一个新的定理，我们将从代数运算开始证明链式法则，指出障碍，然后创建一个引理来指导我们绕过这个问题，从而找到一个证明。我们从以下陈述开始

$(f\circ g)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over y-x}$ $=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}{g(y)-g(x) \over y-x}$$=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}$$=f'(g(x))g'(x)$

问题是 $g(y)-g(x)$ 可能在任意接近 x 的点处为零，因此 ${f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}$ 在这些点处不会连续。因此，我们应用以下一个巧妙的引理

Caratheodory 引理

令 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

我们说 $f(x)$ 在 $x=c$ 处可微当且仅当存在一个连续函数 $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 使得

$(x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\forall x\in \mathbb {R}$

证明

($\Rightarrow$) 令 $f(x)$ 在 $x=c$ 处可导，并定义函数 $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 使得

$\phi (x)={\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}$ 当 $x\neq c$，并且

$\phi (c)=f'(c)$

很容易看出 $\phi (x)$ 是连续的，并且满足所需的条件。

($\Leftarrow$) 令 $\phi (x)$ 是一个满足 $(x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\forall x\in \mathbb {R}$ 的连续函数。

对于所有 $x\neq c$，我们有 $\phi (x)={\tfrac {f(x)-f(c)}{x-c}}$

由于 $\phi$ 是连续的，所以 $\phi (c)=\lim _{x\to c}\phi (x)$，即

$\phi (c)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}$，这意味着 $f(x)$ 在 $x=c$ 处可微。

证明第二部分

令 $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在 $c\in \mathbb {R}$ 处可微。

令 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在 $d=g(c)$ 处可微。

令函数 f 的定义域为函数 g 的值域的子集。

那么，

1. $(f\circ g)(x)$ 在 $x=c$ 处可微。
2. $(f\circ g)'(c)=f'(g(c))g'(c)$

Caratheodory 引理表明存在连续函数 $\phi ,\gamma :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$，使得 $(x-c)\gamma (x)=g(x)-g(c)$ 且 $(g(x)-g(c))\phi (g(x))=f(g(x))-f(g(c))$

现在，考虑函数 $\eta (x)=\phi (g(x))\gamma (x)$。显然，$\eta (x)$ 是连续的。

此外，它满足$(x-c)\eta (x)=(f\circ g)(x)-(f\circ g)(c)$。因此，根据 Caratheodory 引理，$(f\circ g)(x)$ 在$x=c$ 可微，并且$(f\circ g)'(c)=\eta (c)=f'(g(c))g'(c)$

练习

以下是一些练习，可以帮助你扩展和巩固对材料的理解。

1. 求以下函数的导数
   1. 形如ƒ(x) = xⁿ 的函数
   2. 多项式
   3. 三角函数
   4. 指数函数
   5. 对数函数
2. 在本节中，你学习了函数可微意味着该函数在该点连续。鉴于此，请阅读 高阶导数，然后再解决这些问题
   1. 证明在 a 处的二阶导数是否也在 a 处连续
   2. 证明在 a 处的 n 阶导数是否也在 a 处连续
3. 一些最流行的反例用来说明连续性和可微性的性质，这些函数涉及$f(x)=\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$
   1. 证明$f(x)=\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\forall x\neq 0,f(0)=0$ 在$x=0$ 不连续
   2. 证明函数$f(x)=x\sin({\tfrac {1}{x}})\forall x\neq 0,f(0)=0$ 在$x=0$ 连续但不可微
   3. 证明$f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\forall x\neq 0,f(0)=0$ 在$x=0$ 可微