这些是的 极限与连续性 部分的习题列表。
- 虽然断言以下问题 在该表中 的真实性,但证明它们是一个很好的练习。因此,给定连续函数
和
,证明以下内容

,给定
是一个函数,使得 
- 给定一个连续函数
和
在任何区间
上,证明
对于区间
中的所有 
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问题 2 是证明极限可以在函数组合之间“转移”的证明。
这些问题属于困难的类型,或者换句话说,如果不是温和的话,就是非标准的类型。尝试在没有提示的情况下解决这些问题,因为大多数情况下,你可能会有不同的方法或思考问题的思路。只有在你真的卡住的时候才使用提示!闲话少说,以下是问题
- 证明函数 f(x) = 1/x 在区间 (0,∞) 上不是一致连续的。
- 证明凸函数是连续的(回顾一下,一个函数
是一个凸函数,如果对于所有
和所有
满足
,有
)
- 证明每个连续函数f,它将[0,1]映射到自身,至少有一个不动点,即
使得 
- 证明区间上连续函数空间的基数为

- 设
是一个单调函数,即
。证明
有可数个间断点。
- 设
是一个可微函数,并假设存在某个正常数
使得
对于所有
成立。- 证明
在
上是利普希茨连续的。
- 证明每个利普希茨连续函数也是一致连续的(因此你正在处理的函数
是一致连续的)。