实分析/极限与连续性习题

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这些是维基教科书的 极限与连续性 部分的习题列表。

无序 1

1. 虽然维基教科书断言以下问题 在该表中 的真实性，但证明它们是一个很好的练习。因此，给定连续函数 $f$ 和 $g$，证明以下内容
   • $\lim _{x\rightarrow c}{(f+g)(x)}=f(c)+g(c)$
   • $\lim _{x\rightarrow c}{(f\cdot g)(x)}=f(c)\cdot g(c)$
   • $\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {f}{h}}\right)(x)}={\dfrac {f(c)}{h(c)}}$，给定 $h$ 是一个函数，使得 $h(c)\neq 0$
2. 给定一个连续函数 $f$ 和 $g$ 在任何区间 $I$ 上，证明 $f\circ \lim _{x\rightarrow a}g(x)=\lim _{x\rightarrow a}f\circ g(x)$ 对于区间 $I$ 中的所有 $x$

评论和进一步阅读

问题 2 是证明极限可以在函数组合之间“转移”的证明。

无序 2

这些问题属于困难的类型，或者换句话说，如果不是温和的话，就是非标准的类型。尝试在没有提示的情况下解决这些问题，因为大多数情况下，你可能会有不同的方法或思考问题的思路。只有在你真的卡住的时候才使用提示！闲话少说，以下是问题

1. 证明函数 f(x) = 1/x 在区间 (0,∞) 上不是一致连续的。
2. 证明凸函数是连续的(回顾一下，一个函数 $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ 是一个凸函数，如果对于所有 $x,y\in (a,b)$ 和所有 $s,t\in [0,1]$ 满足 $s+t=1$，有 $f(sx+ty)\leq sf(x)+tf(y)$)
3. 证明每个连续函数f，它将[0,1]映射到自身，至少有一个不动点，即 $\exists p\in [0,1]$ 使得 $f(p)=p$
4. 证明区间上连续函数空间的基数为 $\mathbb {R}$
5. 设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 是一个单调函数，即 $\forall x,y\in [a,b];x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$。证明 $f$ 有可数个间断点。
6. 设 $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ 是一个可微函数，并假设存在某个正常数 $K$ 使得 $|f'(x)|\leq K$ 对于所有 $x\in (a,b)$ 成立。
   1. 证明 $f$ 在 $(a,b)$ 上是利普希茨连续的。
   2. 证明每个利普希茨连续函数也是一致连续的（因此你正在处理的函数 $f$ 是一致连续的）。

提示（问题 6.1）

这里可以使用中值定理。