实分析/导数的应用

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实分析 导数的应用

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导数也用于定理中。尽管本章名为“导数的应用”，但以下定理在数学的整体应用中只起到与其他数学定理相同的应用作用。我们将介绍的以下定理侧重于说明函数的特征，这些特征在识别方面非常有用。由于图形分析使用不同的分析方法构建，因此此处介绍的定理只适用于函数。但是，本章讨论的所有内容都具有图形成分，本章可能会参考这些图形成分以更轻松地建立联系。在实分析中，图形解释通常不足以作为证明。

高阶导数

为了开始我们构建与函数相关的新的定理，我们首先必须明确说明微分的特征，我们将在本章后面的部分中不时使用它。

假设 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 可微分

令 $f'(x)$ 对所有 $x\in \mathbb {R}$ 可微分。则 $f'(x)$ 的导数称为 $f$ 的 **二阶导数**，写成 $f''(a)$ 。

我们已经说明可能存在二阶导数，它是导数的导数。我们将进一步定义 **a 处的二阶导数**，指的是仅在值 a 处对导数的求导。

类似地，我们可以定义 $f$ 的 **n^th 阶导数**，写成 $f^{(n)}(x)$

基础定理

本节将首先介绍微分提供的一些有趣性质。此处介绍的概念将有助于更深入地了解后面的定理。在 上一章 中，您已经了解了能够对函数求导意味着该点处连续的概念。请记住这一点，因为每个定理都将使用连续性提供的概念来证明其证明。

在本节中，我们将提供更多基础知识。

最小值和最大值点

现在我们将介绍关于函数的两个新概念，这两个概念您可能已经熟悉。然后，我们将通过创建一个定理来证明它的存在。

定义

我们定义一个函数 $f$ 在区间 A 上的 **最大值点** 为

$\exists \alpha \in A:f(\alpha )\geq f(x)\quad \forall x\in A$

我们定义一个函数 $f$ 在区间 A 上的 **最小值点** 为

$\exists \zeta \in A:f(\zeta )\leq f(x)\quad \forall x\in A$

这两个定义互为补充，因为它们指的是相反的不等式。

最小值点和最大值点存在定理

这个证明将通过将其与微分联系起来来证明最小值点和最大值点的定义，具体来说是通过以下陈述

定理 给定一个在 $(a,b)$ 上定义的函数 $f$ ，它在 $x$ 处可微且是最大值点或最小值点，则它在 $x$ 处的导数等于 0

证明很简单：它调用微分的定义来断言定理的结果。

证明给定定义函数的最大值点导数为 0

应用定义。请注意，变量 $h$ 是任何数字，只要它与 α 相加仍然在区间 $(a,b)$ 内。	$f(\alpha )\geq f(\alpha +h)$
代数操作	$f(\alpha +h)-f(\alpha )\leq 0$
除以 h，这意味着两种情况，因为它可能是负数（这意味着不等式会改变！）	$h>0$	$h<0$
	${\frac {f(\alpha +h)-f(\alpha )}{h}}\leq 0$	${\frac {f(\alpha +h)-f(\alpha )}{h}}\geq 0$
应用单边极限，如果对两边都应用（它是；0 的极限是 0），则在代数上是有效的	$\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(\alpha +h)-f(\alpha )}{h}}\leq 0$	$\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(\alpha +h)-f(\alpha )}{h}}\geq 0$
将单边极限合并在一起形成一个完整的极限，这需要一个相等的极限才能有效。只有一个值相等：0。	$\lim _{h\to 0}{\frac {f(\alpha +h)-f(\alpha )}{h}}=0$
	$f'(\alpha )=0$
$\blacksquare$

为了证明最小点的案例，你只需反转初始不等式。请注意，证明仍然会产生相同的结果，即最小点的导数也是 0。

凸性和凹性

区间 $[x_{1},x_{2}]$ 上的凸函数示例

区间 $[x,y]$ 上的凹函数示例

同样地，我们现在将创建两个与函数相关的更多互补定义。这些是凸性和凹性定义，一种根据函数与给定参考点（在本例中为直线）的关系来描述函数的方法。凸性和凹性反映了凸和凹的视觉、物理描述，尽管它们是根据直线如何从函数中突出而不是相反来描述的，因此在图形上定义看起来是反转的。

定义

我们将定义函数 $f$ 在区间 $A$ 上的**凸性**如下

给定 $A=[a,b]$ ，连接 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))>f$ 的割线对所有 $x\in (a,b)$

我们将定义函数$f$在区间$A$上的凹性如下。

给定$A=[a,b]$，连接$(a,f(a))$和$(b,f(b))<f$的割线对于所有$x\in (a,b)$都位于函数下方。

如果将凸性的定义原封不动地拿来，数学描述将如下所示。

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)+f(a)>f(x)$

这种表达方式可以被改写成另一种形式，虽然看起来更陌生，但更利于应用在定理中。

${\begin{aligned}{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)+f(a)&>f(x)\\{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)&>f(x)-f(a)\\{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}&>{\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}\end{aligned}}$

同样，凹性的定义只是将不等式反过来。

我们将在本章后续的凸性/凹性定理中使用这个定义。

推论

从这个定义得出的第一个推论是一个简单却经常不被解释的，关于函数取反后的性质。

推论 给定一个在区间$A$上为凸函数的$f$，$-f$在区间$A$上为凹函数。

证明凸性是凹性的否定

应用凸性定义。	${\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}<{\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
假设其否定，经过一些代数运算后	${\begin{aligned}{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}&<{\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}\\{\dfrac {-f(b)-(-f(a))}{b-a}}&<{\dfrac {-f(x)-(-f(a))}{x-a}}\\-{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}&<-{\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}\end{aligned}}$
这是凹函数的定义。	${\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}>{\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
$\blacksquare$

函数的切线

从概念上讲，求导数意味着求函数切线的斜率。因此，导数可以被看作是对函数的线性或一阶近似。这可以通过使用 $f$ 在 $a$ 处的导数创建切线来图形表示。使用以下公式，我们可以得到：

$y=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}(x-a)-f(a)$

通过函数操作，很明显，这是一个平移到点 $(a,f(a))$ 的直线方程。

"微分产生切线" 定理

这个未命名的定理证明了我们之前对定义的理解没有错误。利用这个定理，我们可以严格理解微分在图形上的意义，即切线。这个定理是如此深入人心，以至于在上面的部分，我们定义了切线与微分的联系。在接下来的部分，我们将证明这个定理的有效性。

我们如何证明这个概念呢？我们将证明切线在物理上的意义：如果我们有一个完美的圆形表面，我们可以想象一根尺子放在上面，并且尺子只在一个点上平衡。这种物理描述意味着在其他地方都存在间隙，而这种“间隙”的概念将用切线与曲线函数值之间的不等式来表示。

定理 给定一个函数 $f$ 和一条穿过某一点 $(a,f(a))$ 的切线，这条切线除了 $(a,f(a))$ 以外，将始终大于或小于函数。

为了开始证明，我们首先要简化问题并为我们的证明指定一个方向。总的来说，我们要 [ADD OVERALL OBJECTIVE OF PROOF]

现在，我们将指定一些情况，以便我们可以使用我们已知的属性。

情况 1：凸函数

我们将要解决的第一个情况是，函数在某个区间$A$ 上是凸的。

凸函数切线存在的证明

假设我们对导数的定义进行动画化。这意味着给定定义，我们分析 h 接近 0 时所有 h 的值。	${\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}$
根据定义，这不是切线，而是割线。	${\dfrac {f(a+h_{1})-f(a)}{h_{1}}}<{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}$
	${\dfrac {f(a+h_{2})-f(a)}{h_{2}}}<{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}$
并且因为	${\dfrac {f(a+h_{1})-f(a)}{h_{1}}}<{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}$
	${\dfrac {f(a+h_{2})-f(a)}{h_{2}}}<{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

关于切线的定理

这三个定理都与切线如何与函数和图形的交点相关联。

罗尔定理

罗尔定理是导数的入门定理。这个证明将为本章中的许多其他证明打开通道，尤其是下一节中发现的下一个重要的微分定理，中值定理。罗尔定理描述如下

定理 给定一个函数 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$，它在 $[a,b]$ 上是连续的，在 $(a,b)$ 上是可微的，并且 $f(a)=f(b)$，那么存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f'(c)=0$

证明

我们将针对罗尔定理给出两种证明。第一个利用最小值和最大值点存在定理，第二个利用反证法。

证明 1

首先，我们排除一个明显的例子。如果函数 $f$ 是一个常数函数，则 $f'(x)=0\quad \forall x\in [a,b]$ 。 $\blacksquare$

如果函数 $f$ 不是一个常数函数，设 $\alpha \in [a,b]$ 使得 $f(c)=\sup f([a,b])$ 。换句话说，根据 最小-最大定理，我们知道在该连续函数中存在一个上确界。根据定义，该上确界模拟了最大点。

由于它模拟了最大点的定义，我们可以应用最小值和最大值点存在定理来证明语句 $f'(\alpha )=0$ 。

最小值的工作方式相同，只是我们会找到一个下确界而不是上确界，并且下确界的定义将与最小值点相匹配。最小值和最大值点存在定理仍然成立。

$\blacksquare$

证明 2

首先，我们排除一个明显的例子。如果函数 $f$ 是一个常数函数，则 $f'(x)=0\quad \forall x\in [a,b]$ 。 $\blacksquare$

如果函数 $f$ 不是一个常数函数，设 $\alpha \in [a,b]$ 使得 $f(c)=\sup f([a,b])$ 。换句话说，根据 最小-最大定理，我们知道在该连续函数中存在一个上确界。根据定义，该上确界模拟了最大点。

不失一般性，我们可以说 $f(\alpha )>f(a)=f(b)$ 。换句话说，因为我们通过应用定理找到了一个大于函数中每个值的上确界，并且我们排除了函数是常数的情况，所以我们可以安全地断言，根据定义，该上确界至少大于端点。

假设 $f'(c)>0$ 是有效的。因此，$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}>0$ ，因此，存在 $x_{1}\in [a,b]$ 使得 $f(x_{1})>f(c)$ ，这与 $f(c)$ 是最大值的事实相矛盾。

类似地，我们可以证明假设 $f'(c)<0$ 会导致矛盾。因此，$f'(c)=0$ 。

$\blacksquare$

中值定理

该定理是罗尔定理的更强版本。定理的陈述如下：

定理 给定一个函数 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ ，该函数在 $[a,b]$ 上连续，且在 $(a,b)$ 上可导，则存在一个 $c\in (a,b)$ 使得 $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

它被称为中值定理，因为从图形上看，该定理指出，如果你有一个函数及其割线，那么总会有一个函数上的切线与割线平行。

注意，它是应用于连接 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的割线的罗尔定理的推广形式。你可以在定理的等式中看到这一点，方法是让 $f(a)=f(b)$ 。因为它非常相似，所以证明结构也惊人地相似。但是，由于使用割线段而不是可以轻松归零的水平割线，因此将需要更多的代数运算。

证明

证明将问题简化为可以使用罗尔定理解决的问题，通过某种意义上说，根据直线对图形进行标准化，即所讨论的函数是在直线的角度而不是笛卡尔网格的角度进行分析的。

中值定理的证明

我们根据函数 $f$ 和一个使用端点之间割线相同斜率的线性函数创建一个新函数 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 。 注意，该线性函数不是割线。 这个新函数，根据连续性和可导性定理，保持了函数 $f$ 给出的所有连续性和可导性。	$h=f-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$
我们现在将检查罗尔定理是否可以应用于这个新函数。	$x=a$	$x=b$
	$h(a)=f(a)$	${\begin{aligned}h(b)&=f(b)-f(b)+f(a)\\&=f(a)\end{aligned}}$
满足罗尔定理条件，我们可以得出其结论，即 ${\textstyle \exists c:h'(c)=0}$，并由此继续推导。	${\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)-\left[{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]'\\&=f'(x)-{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}\\0&=f'(c)-{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}\\\end{aligned}}$
	$f'(c)={\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}$
$\blacksquare$

柯西中值定理

这个定理是 中值定理 的一个更强的版本，它将中值定理中使用的割线扩展到其他类型的函数。

定理 如果 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导（不包括两个函数在同一点上都有无穷导数的情况），则存在 $c\in [a,b]$ 使得 ${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$

证明

定义函数 $h:[a,b]\to \mathbb {R}$ 为

$h(x)=f(x){\big (}g(b)-g(a){\big )}-g(x){\big (}f(b)-f(a){\big )}$

显然，该函数满足 $h(a)=h(b)$，根据罗尔定理，存在一个 $c\in [a,b]$ 使得 $h'(c)=0$。

关于变化的定理

在我们证明关于导数的更多内容之前，我们应该定义一些在以下证明中会用到的函数方面的概念。

“在区间 $A$ 上递增的函数”的定义 给定一个函数 $f$ 和两个数 $a,b\in A$ 使得 $a<b\ \Rightarrow \ f(a)<f(b)$

“在区间 $A$ 上递减的函数”的定义 给定一个函数 $f$ 和两个数 $a,b\in A$ 使得 $a<b\ \Rightarrow \ f(a)>f(b)$

如果没有提及区间，则默认区间为实数。

有了这两个定义，我们现在将探讨我们从导数中学习到的一个简单概念：变化。以下证明将从数学上严格地验证这些概念，并提供新的工具来验证函数的性质，并提供一些可以改进以证明新概念的工具。

“递增函数具有正变化”定理

这个定理没有正式名称，它是验证导数的简单定义“衡量变化”的证明。它指出

定理 给定一个函数 $f$ ，使得对于某个区间 $A$ ，$f(x)>0$ ，那么 $f$ 在区间 $A$ 上也是递增的。

证明

这个证明依赖于断言条件并使用一个定理（即均值定理）推导出结论。

我们首先选择任何两个点 $a,b\in A$ ，使得 $a<b$ ，并假设整个区间内 $f'(x)>0$ 。

因为函数 $f$ 在 $A$ 上可微分，因此它在 $A$ 上也是连续的。因此，均值定理的所有条件都满足，我们可以使用它。

$\exists x:f'(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}>0$

经过一些代数运算，

${\begin{aligned}f'(x)={\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}&>0\\f(b)-f(a)&>0\\f(b)&>f(a)\end{aligned}}$

提醒一下， $b-a>0$ 。

让这个证明针对区间 A 中所有可能的 $a,b$ 组合进行迭代。所有 $a<b$ 都意味着 $f(a)<f(b)$ ，给定条件。

$\blacksquare$

推论

类似的证明适用于递减函数。事实上，

定理 给定一个函数 $f$，使得对于某个区间 $A$，有 $f'(x)<0$，那么 $f$ 在区间 $A$ 上也必须是递减的。

证明与上一个证明镜像对称。

$\blacksquare$

"二阶导数指示局部最小值/最大值" 定理

这个定理没有正式名称，它证明了如何判断找到的临界点是局部最小值还是局部最大值。它指出

定理 给定一个函数 $f$，使得对于某个 $x$，有 $f'(x)=0$ 且 $f''(x)>0$，那么 $f(x)$ 是一个局部最小值。

证明

证明需要使用给定的条件来调用之前定理的证明，从而推断出结果。

我们首先调用二阶导数的定义 $f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}>0$

从这里，我们注意到 $f'(x)=0$，这意味着方程现在变为 $f''(x)=\lim _{h\to 0}{\dfrac {f'(x+h)}{h}}>0$

由于 $f''(x)>0$，这意味着不等式需要确保其正性，这意味着

$h\to 0^{+}$	$h\to 0^{-}$
$f(x+h)>0$	$f(x+h)<0$
因为为了让 $f''(x)>0,f'(x+h)>0$ 成立，我们可以使用之前证明的结果来说明，因为 $f'(x+h)>0$ , $f$ 必须是递增的。	因为为了让 $f''(x)>0,f'(x+h)<0$ 成立，我们可以使用之前证明的结果来说明，因为 $f'(x+h)<0$ , $f$ 必须是递减的。

由于连续函数在 $h$ 增加时，从递减变为递增，它必须在定义的局部最小值处停止。

$\blacksquare$

推论

当推断局部最大值是否可以以相同的方式完成时，类似的证明也适用。事实上，

定理 给定一个函数 ƒ，使得 $f'(x)=0$ 且 $f''(x)<0$ 对于某个 x 成立。ƒ(x) 是一个局部最大值。

证明与上一个证明镜像对称。

$\blacksquare$

泰勒定理

令 $f:[a,x]\to \mathbb {R}$

令 $f^{(n-1)}$ 在 $[a,x]$ 上可微

那么，存在 $c\in (a,x)$ 使得

$f(x)=f(a)+{\frac {(x-a)f'(a)}{1!}}+{\frac {(x-a)^{2}}{2!}}f''(a)+\cdots +{\frac {(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}}f^{(n-1)}(a)+{\frac {(x-a)^{n}}{n!}}f^{(n)}(c)$

证明

证明使用一种称为“伸缩求和”的技术。

考虑函数 $\phi :[a,x]\to \mathbb {R}$，定义为：

$\phi (y)=f(y)+{\tfrac {(x-y)f'(y)}{1!}}+{\tfrac {(x-y)^{2}f''(y)}{2!}}+\ldots +{\tfrac {A(x-y)^{n}}{n!}}$，其中常数 $A\in \mathbb {R}$ 被选择以满足 $\phi (a)=\phi (x)$

根据罗尔定理，存在一个 $c\in (a,x)$ 使得 $\phi '(c)=0$

展开，我们有（在应用乘积法则时要小心！）：

$0=\phi '(c)$

$=f'(c)+\left[{\tfrac {(x-c)f''(c)}{1!}}-f'(c)\right]+\left[{\tfrac {(x-c)^{2}f'''(c)}{2!}}-{\tfrac {(x-c)f''(c)}{1!}}\right]+\ldots$

$+\left[{\tfrac {(x-c)^{n-1}f^{(n)}(c)}{(n-1)!}}-{\tfrac {(x-c)^{n-2}f^{(n-1)}}{(n-2)!}}\right]-{\tfrac {A(x-c)^{n-1}}{(n-1)!}}$

可以改写为以下的伸缩求和

$\left[f'(c)-f'(c)\right]+\left[{\tfrac {(x-c)f''(c)}{1!}}-{\tfrac {(x-c)f''(c)}{1!}}\right]+\ldots +\left[{\tfrac {(x-c)^{n-1}f^{(n)}(c)}{(n-1)!}}-{\tfrac {A(x-c)^{n-1}}{(n-1)!}}\right]=0$

也就是说，${\frac {(x-c)^{n-1}f^{(n)}(c)}{(n-1)!}}={\frac {A(x-c)^{n-1}}{(n-1)!}}$，或者 $A=f^{(n)}(c)$

现在，我们可以很容易地看到 $\phi (x)=f(x)$ 以及 $\phi (a)=f(a)+{\tfrac {(x-a)f'(a)}{1!}}+{\tfrac {(x-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\ldots +{\tfrac {(x-a)^{n-1}f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}+{\tfrac {(x-a)^{n}f^{n}(c)}{n!}}$

但根据我们的选择，$\phi (x)=\phi (a)$，因此我们得到

$f(x)=f(a)+{\tfrac {(x-a)f'(a)}{1!}}+{\tfrac {(x-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\ldots +{\tfrac {(x-a)^{n-1}f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}+{\tfrac {(x-a)^{n}f^{n}(c)}{n!}}$

证毕