实分析/Rn中的微分

←度量空间

实分析 Rn中的微分

反函数定理→

我们首先回顾线性代数中一些对多元分析很重要的概念。建议没有线性代数基础的读者参考书籍线性代数.

向量空间

如果在集合${\mathcal {V}}$ 上定义了加法和标量乘法运算，并且它们满足以下条件，则称该集合${\mathcal {V}}$ 是在域$F$ 上的向量空间，对于所有$\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}} ,\ldots \in {\mathcal {V}}$ 和$c_{1},c_{2}\in F$

(i)交换律:$\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} =\mathbf {v_{2}} +\mathbf {v_{1}}$

(ii)结合律:$(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} )+\mathbf {v_{3}} =\mathbf {v_{1}} +(\mathbf {v_{2}} +\mathbf {v_{3}} )$

(iii)单位元：存在$\mathbf {0} \in {\mathcal {V}}$ 使得$\mathbf {v_{1}} +\mathbf {0} =\mathbf {v_{1}} =\mathbf {0} +\mathbf {v_{1}}$

(iv)逆元：存在$-\mathbf {v_{1}} \in {\mathcal {V}}$ 使得$\mathbf {v_{1}} +(-\mathbf {v_{1}} )=\mathbf {0}$

(v):$c\mathbf {v_{1}} +c\mathbf {v_{2}} =c(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} )$

(vi)$c_{1}\mathbf {v} +c_{2}\mathbf {v} =(c_{1}+c_{2})\mathbf {v}$

(vii)$c_{1}(c_{2}\mathbf {v_{1}} )=c_{2}(c_{1}\mathbf {v_{1}} )=(c_{1}c_{2})\mathbf {v_{1}}$

向量空间的成员被称为“向量”，而域的成员被称为“标量”。$\mathbb {R} ^{n}$，所有多项式的集合等等都是向量空间的例子。

一组线性无关的向量，如果能张成向量空间，则被称为向量空间的基。

线性变换

设 $X,Y$ 是向量空间。

设 $T:X\to Y$

我们说 $T$ 是一个线性变换当且仅当对于所有 $\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}} \in X$，

(i)$T(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} )=T(\mathbf {v_{1}} )+T(\mathbf {v_{2}} )$

(ii)$T(c\mathbf {v_{1}} )=cT(\mathbf {v_{1}} )$

正如我们将会看到的，定义多元函数的“导数”主要有两种方法。我们首先介绍一种看似更直接的方法，即使用“偏导数”。

方向导数和偏导数

设 $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$

设 $\mathbf {a} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}$

我们说 $\mathbf {f}$ 在 $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ 关于向量 $\mathbf {y}$ 可微，当且仅当存在 $\mathbf {L} \in \mathbb {R} ^{m}$ 满足

$\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (\mathbf {a} +h\mathbf {y} )-\mathbf {f} (\mathbf {a} )}{h}}=\mathbf {L}$

$\mathbf {L}$ 被称为 $\mathbf {f}$ 在 $\mathbf {a}$ 关于 $\mathbf {y}$ 的导数，记为 $\mathbf {f} '(\mathbf {a} ;\mathbf {y} )$

当 $\mathbf {y}$ 是单位向量时，导数被称为偏导数。这里我们将明确定义偏导数，并观察其一些性质。

设 $f$ 是定义在 $\mathbb {R} ^{n}$ 的开子集 $\Omega$ 上的实多元函数

$f:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$.

然后，在某个参数 $(x_{1},...,x_{n})$ 处，关于坐标 $x_{i}$ 的偏导数被定义为以下极限

$\lim _{h\rightarrow 0}{f(x_{1},\ldots ,x_{i}+h,\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n}) \over h}={\partial f \over \partial x_{i}}$.

$f$ 被称为在参数 $(x_{1},...,x_{n})$ 处是可微的，如果差 $f(x_{1},...,x_{i}+h,...,x_{n})-f(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})$ 等效于h 的一阶线性形式L，即

$f(x_{1},...,x_{i}+h,...,x_{n})-f(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=L\times h+o(\|h\|).$

然后，线性形式L 被称为 $f$ 在 $(x_{1},...,x_{n})$ 处的微分，并写成 $Df|_{(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ 或者有时 $\mathrm {d} f(x_{1},\ldots ,x_{n})$.

在这种情况下，其中 $f$ 在 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 处是可微的，根据线性我们可以写成

$\mathrm {d} f={\partial f \over \partial x_{1}}\mathrm {d} x_{1}+\ldots +{\partial f \over \partial x_{n}}\mathrm {d} x_{n}$

$f$ 称为 *连续可微*，如果它的微分在定义域中的任何参数处都有定义，并且如果微分相对于参数 $(x_{1},...,x_{n})$ 连续变化，也就是说，如果它的坐标（作为线性形式）$\partial f \over \partial x_{1}$ 连续变化。

如果偏导数存在，但 $f$ 不可微，有时甚至不连续，例如

$f:(x,y)\mapsto {(xy)^{2} \over (x^{2}+y^{2})}$

(并且 $f(0,0)=0$)，我们称 $f$ 是 *可分离微分* 的。

全导数

全导数很重要，因为它保留了单变量导数的一些关键性质，最值得注意的是可微性意味着连续性

令 $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$

我们称 $f$ 在 $\mathbf {a} \in A$ 处可微，当且仅当存在一个 *线性变换*，$\mathbf {D} f(\mathbf {a} ):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$，称为 $f$ 在 $\mathbf {a}$ 处的 *导数* 或 *全导数*，使得

$\lim _{\|\mathbf {h} \|\to 0}{\frac {\|f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-\mathbf {D} f(\mathbf {a} )(\mathbf {h} )\|}{\|\mathbf {h} \|}}=0$

应该将 $\mathbf {D} f(\mathbf {a} )(\mathbf {h} )$ 理解为线性变换 $\mathbf {D} f(\mathbf {a} )$ 作用于向量 $\mathbf {h}$。有时习惯上将它写成 $\mathbf {D} f(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {h} )$。

定理

假设 $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是一个开集，并且 $f:A\to \mathbb {R} ^{m}$ 在 A 上可微。试着将 $f$ 写成分量形式，以便 $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$。那么偏导数 ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$ 存在，并且线性变换 $\mathbf {D} f(\mathbf {x} )$ 关于 $\mathbb {R} ^{n}$ 和 $\mathbb {R} ^{m}$ 的标准基的矩阵由雅可比矩阵给出

${\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.$

在 $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 处计算。

注意：此定理要求函数本身是可微的。常见错误是假设如果偏导数存在，则这意味着该函数是可微的，因为我们可以构造雅可比矩阵。然而，这是完全错误的。这将我们引入了下一个定理。

定理

假设 $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是一个开集，并且 $f:A\to \mathbb {R} ^{m}$。将 $f$ 写成分量形式，所以 $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$。如果 ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$ 存在并且在 $A$ 上是连续的，对于所有 $j\in \{1,\ldots ,m\}$ 和所有 $i\in \{1,\ldots ,n\}$，则 $f$ 在 $A$ 上是可微的。

此定理为我们提供了函数可微的良好判据。