实分析/度量空间

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实分析 度量空间

Rn 中的微分→

定义 3.1.1 度量空间 是一个有序对 (X,d)，其中 X 是一个集合，d 是一个函数

$d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$

使得

1.	d(x, y) ≥ 0	(非负性);
2.	d(x, y) = 0   当且仅当   x = y	(非退化性);
3.	d(x, y) = d(y, x)	(对称性);
4.	d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)	(三角不等式).

函数 d 称为 X 上的度量。它有时也被称为距离函数或简称为距离。

通常，如果从上下文中可以清楚地看出使用的是哪个度量，那么 d 会被省略，只用 X 来表示度量空间。

我们已经知道一些度量空间的例子。最熟悉的例子是具有通常的绝对值的实数。也就是说，我们取 X = R，并且我们令 d(x, y) = |x − y|。为了看到这是一个度量空间，我们需要检查 d 是否满足上面给出的四个性质。让我们检查一下。

• 第一个性质来自一个数的绝对值总是大于或等于零的事实。
• 第二个性质来自唯一等于零的实数是 0 的事实。
• 对称性来自 |x|=|−x| 的事实。
• 三角不等式是最不容易检查的。通常情况下都是如此。对于这个度量，它来自 |a+b| ≤ |a| + |b| 的事实，其中我们取 a = x − y 和 b = y − z。

另一个熟悉的例子是平面。也就是说，我们取 X = R²。为了定义度量，让我们回顾一下我们通常如何测量平面上两点 x = (x₁, x₂) 和 y = (y₁, y₂) 之间的距离。我们简单地使用勾股定理，

来看到我们应该定义 $d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}$. 首先注意到这总是定义的，因为我们在平方根内部对项进行平方，我们永远不会尝试对负数开平方根，所以 d : R²×R² → R。现在我们需要检查它是否是一个度量。

• 第一个性质来自一个数的平方根总是大于或等于零的事实。
• 第二个性质来自唯一等于零的数是 0 的事实。
• 对称性来自 (x)²=(−x)² 的事实。
• 再次，三角不等式是最不容易检查的。在平面的情况下，它来自欧几里得几何中的三角不等式。回想一下欧几里得几何中的三角不等式指出三角形的任意一边的长度总是小于另外两边的长度之和。将在更一般的 Rⁿ 上下文中给出不依赖于欧几里得几何的证明。

其他例子很多。正如上面提到的，我们可以取 X = Rⁿ，使用通常的度量 $d(x,y)=\textstyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$. 或者，我们可以保持 X = Rⁿ，只是使用不同的度量。这将是一个不同的度量空间，因为度量空间是一对 (X,d)，所以 d 的变化会改变度量空间。如果你取度量 $d(x,y)=d_{p}(x,y)=\textstyle {\Big (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\Big )}^{1/p}$，或 $d(x,y)=d_{\infty }(x,y)=\textstyle \max _{i=1\ldots n}|x_{i}-y_{i}|$，就会出现一些非常有趣的度量。注意到我们在 Rⁿ 上定义的第一个度量对应于取 p = 2。这个度量通常被称为欧几里得（或通常）度量，因为它是由欧几里得几何所暗示的度量，也是在 Rⁿ 上最常用的度量。

度量空间也可以拥有一个更加复杂的集合作为其点的集合。例如，我们可以令 X = C([a,b])，也就是说 X 包含所有连续函数 f : [a,b] → R。我们可以令 $d(f,g)=\sup _{a\leq x\leq b}|f(x)-g(x)|$。度量空间研究的美丽之处在于，我们开发的定义、定理和想法适用于许多许多情况。

定义： 令 (X, d) 是一个度量空间。我们定义以 x 为中心、半径为 r 的开球为集合 B_r(x):={y∈ X | d(x,y) < r}。

当然，我们对度量空间的大部分直觉来自我们对R²中距离的理解，所以我们应该考虑R²中开球是什么样子的。从微积分中，我们希望知道方程（x − x₀）² + (y − y₀)² = r² 描述了半径为r的圆。满足条件${\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r$ 的点集只是这个圆内部的点集。圆边界上的点都不包含在这个集合中，这就是为什么选择将这个集合称为开球。

检查当X = R，且d(x, y)=|x − y|时，这个定义是什么也是很有启发性的。根据定义，我们有B_r(x) = {y∈R | |x − y|<r}。因此，B_r(x) 是开区间 (x − r, x + r)。

一旦我们定义了开球，我们需要定义的下一个概念是开集和闭集。

定义 令 (X,d) 为一个度量空间，并假设G ⊆ X。如果对于每个点g ∈ G，都存在一个r > 0 使得B_r(g) ⊆ G，则称G 为开集。

在我们继续讨论闭集之前，我们首先需要澄清一个可能令人困惑的情况。我们刚刚给出了关于任何集合是开集的定义，但我们之前一直在使用“开球”这个词。但什么也无法提前保证我们的开球实际上是按照上面的定义是开集的。这可能会让我们处于一种用“开球”这个词表达两个不同意思的境地。幸运的是，事实证明，开球实际上是按照上面的定义是开集的，但这仍然是一个定理，需要证明。

定理 令 (X, d) 为任何度量空间。集合B_r(x) 按照之前的定义是开集。

证明。我们需要证明，对于一个通用的球B_r(x) ⊆ X，对于B_r(x) 中的任意点y，我们都可以找到一个（可能非常小的）以y 为中心的球，这个球仍然在B_r(x) 内。我们的直觉仍然来自我们在平面上绘制的图像，但我们的证明只需要依赖于上面给出的公理。所以我们将令s=r-d(x,y)。我们知道s > 0，因为y ∈ B_r(x)。现在考虑球B_s(y)。我们希望证明B_s(y) ⊆ B_r(x)。取B_s(y) 中的任意点z。利用三角不等式，我们看到

${\begin{aligned}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)&<d(x,y)+s=d(x,y)+{\Big (}r-d(x,y){\Big )}\\=r\end{aligned}}$

由于d(x, z) < r，所以z ∈ B_r(x)。$\square$

关于开集的定义需要强调一点。考虑空集，它当然是度量空间X的子集。它是开集吗？嗯，对于空集中的每个点x，我们需要找到一个以它为中心的球。这很简单，因为空集中没有点。也就是说，对于空集，这个条件是空虚地成立的。通俗地说，一个要求某些性质在各种条件下成立的命题，当这些条件永远不满足时，就被称为空虚地成立。例如，命题“每次我站在太阳上，我就跳街舞”是一个空虚地成立的命题。可能无法在太阳上跳街舞，但这个命题仍然是正确的。要使这个命题为假，必须存在一个时间，我站在太阳上，但我没有跳街舞。但由于我从未站在太阳上，所以没有什么需要检查。

另一个非常有用且非常简单的开集例子是整个空间。对于每个点x∈X，我们可以简单地取开球B₁(x)，根据定义，这个球是X的子集，因此存在一个以x 为中心的开球，它仍然在X 内。

定义 令 (X,d) 为一个度量空间，并假设F ⊆ X。如果F的补集，即X \ F，是开集，则称F 为闭集。

现在，我们又有了两个闭集的简单例子。首先，我们考虑整个空间X，X的补集是X \ X = ∅。同样，如果我们考虑空集∅，那么X \ ∅ = X。由于集合X是开集，所以∅是一个闭集。这里一个重要的点是，我们已经看到，存在既是开集又是闭集的集合。即使定义涉及补集，这并不意味着这两种类型的集合是互斥的。在某些情况下，取决于度量空间，许多集合既是开集又是闭集。更重要的是，在每个度量空间中，整个空间和空集总是既是开集又是闭集，因为我们上面的论证没有以任何本质的方式使用度量。

定理 在任何度量空间中，开集的任意并集和有限个开集的交集都是开集。

证明。令 (X, d) 为一个度量空间，并假设对于每个λ ∈ Λ，我们都被给定了一个开集G_λ。那么这个定理说明G = ∪_λ∈Λ G_λ 是开集。为了证明这一点，假设x ∈ G。那么存在一个索引λ₀，使得x ∈ G_λ0。由于我们假设G_λ0，所以一定存在一个r > 0，使得B_r(x) ⊆ G_λ0。由于G_λ0是定义G的并集中的一员，所以立即得到B_r(x) ⊆ G。因此，G是开集。

这个定理还断言有限个交集是开集。也就是说，如果我们假设G_λ1, G_λ2, …, G_λn是开集，那么这个定理就声称集合G=∪_i=1,…,n G_λi 是开集。为了证明这一点，假设x ∈ G，那么我们知道x ∈ G_λi 对于i = 1, 2, …, n。由于每个集合G_λi都是开集，所以我们可以选择实数r_i 使得B_ri(x) ⊆ G_λi。如果我们令r = min(r₁, r₂, …, r_n)，那么我们就有B_r(x) ⊆ B_ri(x) ⊆ G_λi。因此，我们有B_r(x) ⊆ ∪_i=1,…,n G_λi = G，因此G是开集。$\square$

定理 在任何度量空间中，闭集的任意交集和有限个闭集的并集都是闭集。

证明 练习。

定义 令E是度量空间X的子集。如果p的每个邻域都包含一个点q ≠ p，使得q ∈ E，则称点p为集合E的极限点。

定理 令E是度量空间X的子集。如果E的每个极限点都是E的点，则集合E是闭集。

基本定义

令X为一个度量空间。这里我们给出了关于X的子集E的某些基本定义，这些定义通常用于讨论子集E的性质。

1. 如果p ∈ E，并且p不是E的极限点，则称p为E的孤立点。
2. 如果存在p的邻域N，使得N $\subset$ E，则称点p为E的内点。
3. 如果E的每个点都是E的内点，则称E是开集。
4. E 是 完美集，当且仅当 E 是闭集，且 E 中的每个点都是 E 的极限点。
5. E 是 有界集，当且仅当存在一个实数 M 和一个点 q $\in$ X，使得对于所有 p $\in$ E，都有 d(p,q) < M。
6. E 在 X 中是 稠密集，当且仅当 X 中的每个点都是 E 的极限点或 E 中的点（或两者兼而有之）。

基本证明

1. 每个邻域都是开集

证明：考虑一个邻域 N = $N_{r}(p)$。现在如果 q $\in$ N，那么由于 d(p,q) < r，我们有 h = d(p,q) - r > 0。考虑 s $\in$ $N_{h}(q)$。现在 d(p,s) $\leq$ d(p,q) + d(q,s) < r - h + h = r，因此 $N_{h}(q)$ $\subset$ N。因此，q 是 N 的内点。

2. 如果 p 是集合 E 的极限点，那么 p 的每个邻域都包含 E 中的无穷多个点

证明：假设存在 p 的一个邻域 N，它只包含 E 中的有限个点。设 r 是这些点到 p 的距离的最小值。有限个正数的最小值显然是正数，所以 r > 0。邻域 $N_{r}(p)$ 不包含 E 中的任何点 q，使得 q $\neq$ p，这与 p 是 E 的极限点的结论矛盾。

3. 有限集没有极限点

证明：这从证明 2 中可以明显看出。

4. 一个集合是开集，当且仅当它的补集是闭集。

证明：假设 E 是开集，x 是 $E^{c}$ 的极限点。我们需要证明 x $\in E^{c}$。现在，x 的每个邻域都包含 $E^{c}$ 中的一个点，所以 x 不是 E 的内点。由于 E 是开集，这意味着 x $\notin$ E，所以 x $\in E^{c}$。因此，$E^{c}$ 是闭集。

现在假设$E^{c}$ 是闭合的。选择 x $\in$ E。那么 x $\notin E^{c}$，所以 x 不是 $E^{c}$ 的极限点。因此，一定存在一个完全包含在 E 内的 x 的邻域。所以 x 是 E 的内点，因此 E 是开集。

5. 一个集合是闭合的当且仅当它的补集是开集。

证明：从证明 4 中可以明显看出。