定义: 实值函数序列 f n ( x ) {\displaystyle f_{n}{(x)}} 一致收敛，如果存在一个函数 f(x)，使得对于任何 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，都存在一个 N > 0 {\displaystyle N>0} ，使得当 n > N {\displaystyle n>N} 对于函数 f 的定义域中的所有 x，都有 | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }
令 f n {\displaystyle f_{n}} 是一个连续函数序列，它一致收敛到函数 f {\displaystyle f} 。则 f {\displaystyle f} 是连续的。
存在一个 N，使得对于所有 n>N， | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ 3 {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\epsilon }{3}}} 对于任何 x 都成立。现在令 n>N，并考虑连续函数 f n {\displaystyle f_{n}} 。由于它是连续的，因此存在一个 δ {\displaystyle \delta } ，使得如果 | x ′ − x | < δ {\displaystyle |x'-x|<\delta } ，那么 | f n ( x ) − f n ( x ′ ) | < ϵ 3 {\displaystyle |f_{n}(x)-f_{n}(x')|<{\frac {\epsilon }{3}}} 。那么 | f ( x ′ ) − f ( x ) | ≤ | f ( x ′ ) − f n ( x ′ ) | + | f n ( x ′ ) − f n ( x ) | + | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ 3 + ϵ 3 + ϵ 3 = ϵ {\displaystyle |f(x')-f(x)|\leq |f(x')-f_{n}(x')|+|f_{n}(x')-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}=\epsilon } 因此函数 f(x) 是连续的。
