令 f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\,} 为定义在共同定义域 D ⊆ R {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \,} 上的函数序列。 那么我们说 f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\,} 逐点收敛到函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} ，如果对于每个 x ∈ D {\displaystyle x\in D\,} ，数值序列 f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\,} 收敛到 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 。更准确地说
For any x ∈ D {\displaystyle x\in D\,} and for any ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0\,} , there exists an N such that for any n>N, | f n ( x ) − f ( x ) | < ε {\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon }
一个例子
函数
f n ( x ) = x n 1 + x n {\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}}{1+x^{n}}}} 收敛到函数
f ( x ) = { 1 if | x | > 1 1 2 if x = 1 0 if | x | < 1 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\text{if }}|x|>1\\{\frac {1}{2}}&{\text{if }}x=1\\0&{\text{if }}|x|<1\\\end{array}}\right.}
这表明连续函数序列可以逐点收敛到一个不连续函数。
为定义在共同定义域 
上的函数序列。 那么我们说 逐点收敛到函数 
，如果对于每个 
，数值序列 收敛到 。更准确地说 and for any 
, there exists an N such that for any n>N, 
收敛到函数
