实分析/广义积分

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实分析 广义积分

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积分的概念在高级分析中至关重要。积分的概念被扩展，使其适用于比$\mathbb {R}$ 的子集更一般的集合。感兴趣的读者可以参考维基教科书测度论。然而，在这里我们将讨论积分的两个重要推广，它们仍然只适用于实值函数。

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

黎曼-斯蒂尔杰斯积分（或斯蒂尔杰斯积分）可以看作是达布积分背后的想法的扩展。

上和与下和

设$f:[a,b]\to \mathbb {R}$

设$\alpha :[a,b]\to \mathbb {R}$ 使得$\alpha (x)$ 在$[a,b]$ 上严格递增。

设${\mathcal {P}}$ 是$[a,b]$ 上的一个划分，设$x_{k},x_{k-1}\in {\mathcal {P}}$

上和$f$ 关于${\mathcal {P}}$ 和$\alpha$ 由下式给出

$U(f,{\mathcal {P}},\alpha )=\sum _{k=1}^{n}M_{k}{\big (}\alpha (x_{k})-\alpha (x_{k-1}){\big )}$

其中$M_{k}$ 给定如上一章所示。

关于$f$相对于${\mathcal {P}}$和$\alpha$的 **下确界** 为：

$L(f,{\mathcal {P}},\alpha )=\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\big (}\alpha (x_{k})-\alpha (x_{k-1}){\big )}$

其中$m_{k}$的定义与前一章相同。

定义

设$f:[a,b]\to \mathbb {R}$

设$\alpha :[a,b]\to \mathbb {R}$ 使得$\alpha (x)$ 在$[a,b]$ 上严格递增。

我们说$f$在$[a,b]$上关于$\alpha$ **Riemann-Stieltjes 可积** 当且仅当

$\sup _{\mathcal {P}}{\Big \{}L(f,{\mathcal {P}},\alpha ){\Big \}}=\inf _{\mathcal {P}}{\Big \{}U(f,{\mathcal {P}},\alpha ){\Big \}}$

其中，上确界和下确界是在所有划分集合上取得的。

$L=\sup _{\mathcal {P}}{\Big \{}L(f,{\mathcal {P}},\alpha ){\Big \}}=\inf _{\mathcal {P}}{\Big \{}U(f,{\mathcal {P}},\alpha ){\Big \}}$被称为$f$在$[a,b]$上关于$\alpha$的 **积分**，记为$\int \limits _{a}^{b}f(x)d\alpha (x)$或$\int \limits _{a}^{b}fd\alpha$。

观察到将 $\alpha (x)=x$ 代入，我们得到 Darboux 积分，因此，Darboux 积分是 Riemann-Stieltjes 积分的特例。

Henstock Kurtzweil 积分

在计算 Riemann 积分 时，一个划分“细度”的衡量是它的范数。然而，事实证明，范数对于一个划分来说是一个非常粗糙的度量。因此，通过引入规范的巧妙概念，我们可以将 Riemann 积分的思想扩展到一类更大的函数。事实上，事实证明，这个积分，称为Henstock-Kurtzweil 积分（以 Ralph Henstock 和 Jaroslav Kurzweil 命名）或广义 Riemann 积分，比 Riemann-Stieltjes 积分以及实数区间上的其他几个积分更普遍。

规范

规范是指一个函数 $\delta :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}$，也就是说，$\delta (x)$ 的取值范围仅包含正实数。

一个带标记的划分 ${\mathcal {\dot {P}}}={\Big \{}(t_{k},[x_{k-1},x_{k}]){\Big \}}_{k=1}^{n}$ 被称为对于一个规范 $\delta$ 是δ-精细当且仅当对于所有 $k$，

$[x_{k-1},x_{k}]\subseteq {\big (}t_{k}-\delta (t_{k}),t_{k}+\delta (t_{k}){\big )}$

定义

设$f:[a,b]\to \mathbb {R}$

令 $L\in \mathbb {R}$

然后，$f$ 被称为在 $[a,b]$ 上是Henstock-Kurtzweil 可积的，当且仅当，对于任何 $\varepsilon >0$，都存在一个度量 $\delta :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}$，使得如果 ${\mathcal {\dot {P}}}$ 是 $[a,b]$ 的一个 δ-精细划分，那么

${\Big |}S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L{\Big |}<\varepsilon$