积分的概念在高级分析中至关重要。积分的概念被扩展,使其适用于比
的子集更一般的集合。感兴趣的读者可以参考测度论。然而,在这里我们将讨论积分的两个重要推广,它们仍然只适用于实值函数。
黎曼-斯蒂尔杰斯积分(或斯蒂尔杰斯积分)可以看作是达布积分背后的想法的扩展。
设![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
设
使得
在
上严格递增。
设
是
上的一个划分,设
上和
关于
和
由下式给出

其中
给定如上一章所示。
关于
相对于
和
的 **下确界** 为:

其中
的定义与前一章相同。
设![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
设
使得
在
上严格递增。
我们说
在
上关于
**Riemann-Stieltjes 可积** 当且仅当

其中,上确界和下确界是在所有划分集合上取得的。
被称为
在
上关于
的 **积分**,记为
或
。
观察到将
代入,我们得到 Darboux 积分,因此,Darboux 积分是 Riemann-Stieltjes 积分的特例。
在计算 Riemann 积分 时,一个划分“细度”的衡量是它的范数。然而,事实证明,范数对于一个划分来说是一个非常粗糙的度量。因此,通过引入规范的巧妙概念,我们可以将 Riemann 积分的思想扩展到一类更大的函数。事实上,事实证明,这个积分,称为Henstock-Kurtzweil 积分(以 Ralph Henstock 和 Jaroslav Kurzweil 命名)或广义 Riemann 积分,比 Riemann-Stieltjes 积分以及实数区间上的其他几个积分更普遍。
规范是指一个函数
,也就是说,
的取值范围仅包含正实数。
一个带标记的划分
被称为对于一个规范
是δ-精细当且仅当对于所有
,
![{\displaystyle [x_{k-1},x_{k}]\subseteq {\big (}t_{k}-\delta (t_{k}),t_{k}+\delta (t_{k}){\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b49a653383e1e166de2b48d14846c5db71ce7f6)
设![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
令 
然后,
被称为在
上是Henstock-Kurtzweil 可积的,当且仅当,对于任何
,都存在一个度量
,使得如果
是
的一个 δ-精细划分,那么
