黎曼积分是人们在想到积分时,最常想到的一种积分形式。它是在大多数微积分课程中唯一考虑的积分类型;许多其他形式的积分,特别是勒贝格积分,是黎曼积分对更大类函数的扩展。黎曼积分由 伯恩哈德·黎曼 在 1854 年提出,它是在发明时,第一个适用于不一定连续函数的严格积分定义。
我们首先定义一些初步的概念。
设 
一个分区
定义为实数的
元有序元组
,使得 
设
是由
给出的分区。
那么,
的范数(或“网格”)定义为 
令
为一个划分
一个带标签的划分
定义为有序对的集合
其中
。点
称为标签。
黎曼和
令 ![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
令
为
的带标签的划分
黎曼和 of
关于
并关于
给出如下
令 ![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
令 
我们说
在
上是可积的,当且仅当,对于每个
,存在
,使得对于每个满足
的分割
,都有 
被称为
在
上的积分,记为
或 
令
在
上是可积的。
则
的积分
是唯一的。
假设,如果可能的话,
都是
在
上的积分。考虑 
由于
是积分,存在
使得
对于所有满足
的
,以及
对于所有满足
的
。
令
。因此,如果
是一个满足
的划分,那么我们有
以及 
也就是说,
,这是一个明显的矛盾。因此,积分
的
是唯一的。
我们现在陈述(不加证明)积分的两个看似显而易见的性质。
令
是可积的,并令 
那么
(i)
(ii)
设
是黎曼可积的,则
在
上是有界的。
假设
是无界的,对于每一个
,将区间
分成
部分。因此,对于每一个
,
在这
部分中的至少一部分上是无界的。称这一部分为
。
现在,设
为给定值。考虑任意的
。设
是一个标记的划分,使得
且
,其中
被选择以满足
。
因此,我们有
。但由于
是任意的,我们得到了一个矛盾,因为它与
是黎曼可积的这一事实相矛盾。
因此,
是有界的。
现在我们研究黎曼可积函数的类别。对黎曼可积函数的第一个“约束”由柯西可积性准则给出。
令 ![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
那么,
(i)
在
上是黎曼可积的当且仅当
(ii) 对于每个
,存在一个
使得如果
是两个满足
的两个划分,则 
(
)令
并且令
被给出。
然后,存在一个
,使得对于任何满足
的划分
,我们有
现在,设划分
满足
.
因此,我们有
,也就是说
(
) 对于每个
,考虑
使得对于所有满足
的分割
,我们有
.
不失一般性,我们可以假设当
时,
。对于每个
,令
是一个分割,使得 
序列
是一个柯西序列,因此它有一个极限
.
现在,对于每个
,我们都有一个
使得
意味着
.
因此 
令 ![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
那么,
(i)
在
上黎曼可积 当且仅当
(ii) 对于每个
,存在黎曼可积函数
使得
对于所有
并且
(
)取
。很容易看出 
(
)设
。则存在函数
使得
。此外,如果
且
,则存在
使得,如果划分
满足
则
且
则 
现在设
是一个满足
的划分。
现在,我们可以很容易地看到
。因此,
是一个柯西序列,它有一个极限
,并且与之前的证明类似,我们可以证明 