实分析/黎曼积分

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实分析 黎曼积分

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定义

黎曼积分是人们在想到积分时，最常想到的一种积分形式。它是在大多数微积分课程中唯一考虑的积分类型；许多其他形式的积分，特别是勒贝格积分，是黎曼积分对更大类函数的扩展。黎曼积分由 伯恩哈德·黎曼 在 1854 年提出，它是在发明时，第一个适用于不一定连续函数的严格积分定义。

我们首先定义一些初步的概念。

分区

定义

设 $a,b\in \mathbb {R}$

一个分区 ${\mathcal {P}}$ 定义为实数的 $n$ 元有序元组 ${\mathcal {P}}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$，使得 $a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b$

分区的范数

设 ${\mathcal {P}}$ 是由 ${\mathcal {P}}=(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 给出的分区。

那么，${\mathcal {P}}$ 的范数（或“网格”）定义为 $\|{\mathcal {P}}\|=\sup {\Big \{}{\big |}x_{k}-x_{k-1}{\big |}:1\leq k\leq n{\Big \}}$

标记分区

令 ${\mathcal {P}}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ 为一个划分

一个带标签的划分 ${\mathcal {\dot {P}}}$ 定义为有序对的集合 ${\mathcal {\dot {P}}}={\Big \{}{\big (}[x_{k-1},x_{k}],t_{k}{\big )}{\Big \}}_{k=1}^{n}$ 其中 $x_{k-1}\leq t_{k}\leq x_{k}$ 。点 $t_{k}$ 称为标签。

黎曼

黎曼和

黎曼和

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

令 ${\mathcal {\dot {P}}}={\Big \{}{\big (}[x_{k-1},x_{k}],t_{k}{\big )}{\Big \}}_{k=1}^{n}$ 为 $[a,b]$ 的带标签的划分

黎曼和 of $f$ 关于 $[a,b]$ 并关于 ${\mathcal {\dot {P}}}$ 给出如下

$S(f,{\mathcal {\dot {P}}})=\sum _{k=1}^{n}f(t_{k})(x_{k}-x_{k-1})$

黎曼积分

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

令 $L\in \mathbb {R}$

我们说 $f$ 在 $[a,b]$ 上是可积的，当且仅当，对于每个 $\varepsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对于每个满足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ 的分割 ${\mathcal {\dot {P}}}$，都有 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<\varepsilon$

$L$ 被称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的积分，记为

$L=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ 或 $L=\int \limits _{a}^{b}f$

性质

定理（唯一性）

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 在 $[a,b]$ 上是可积的。

则 $f$ 的积分 $L$ 是唯一的。

证明

假设，如果可能的话，$L_{1}\neq L_{2}$ 都是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的积分。考虑 $\varepsilon ={\tfrac {|L_{1}-L_{2}|}{2}}$

由于 $L_{1},L_{2}$ 是积分，存在 $\delta _{1},\delta _{2}>0$ 使得 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L_{1}|<\varepsilon$ 对于所有满足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta _{1}$ 的 ${\mathcal {\dot {P}}}$，以及 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L_{2}|<\varepsilon$ 对于所有满足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta _{2}$ 的 ${\mathcal {\dot {P}}}$。

令 $\delta =\inf\{\delta _{1},\delta _{2}\}$。因此，如果 ${\mathcal {\dot {P}}}$ 是一个满足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ 的划分，那么我们有 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L_{1}|<\varepsilon$ 以及 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L_{2}|<\varepsilon$

也就是说，$|L_{1}-L_{2}|<2\varepsilon =|L_{1}-L_{2}|$，这是一个明显的矛盾。因此，积分 $L$ 的 $f$ 是唯一的。

我们现在陈述（不加证明）积分的两个看似显而易见的性质。

定理

令 $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ 是可积的，并令 $c\in (a,b)$

那么

(i)$\int \limits _{a}^{b}f+\int \limits _{a}^{b}g=\int \limits _{a}^{b}(f+g)$

(ii)$\int \limits _{a}^{c}f+\int \limits _{c}^{b}f=\int \limits _{a}^{b}f$

定理（有界性定理）

设$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 是黎曼可积的，则$f$ 在$[a,b]$ 上是有界的。

证明

假设$f$ 是无界的，对于每一个$n\in \mathbb {N}$ ，将区间$[a,b]$ 分成$n$ 部分。因此，对于每一个$n\in \mathbb {N}$ ，$f$ 在这$n$ 部分中的至少一部分上是无界的。称这一部分为$I_{n}$ 。

现在，设$\varepsilon >0$ 为给定值。考虑任意的$\delta >0$ 。设${\mathcal {\dot {P}}}$ 是一个标记的划分，使得$\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ 且$(I_{n},t_{n})\in {\mathcal {\dot {P}}}$ ，其中$t_{n}$ 被选择以满足$|f(t_{n})|>n\varepsilon$ 。

因此，我们有 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|>\varepsilon$。但由于 $\delta >0$ 是任意的，我们得到了一个矛盾，因为它与 $f$ 是黎曼可积的这一事实相矛盾。

因此，$f$ 是有界的。

可积性

现在我们研究黎曼可积函数的类别。对黎曼可积函数的第一个“约束”由柯西可积性准则给出。

定理（柯西准则）

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

那么，

(i)$f$ 在 $[a,b]$ 上是黎曼可积的当且仅当

(ii) 对于每个 $\varepsilon >0$，存在一个 $\delta >0$ 使得如果 ${\mathcal {\dot {P}}},{\mathcal {\dot {Q}}}$ 是两个满足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|,\|{\mathcal {\dot {Q}}}\|<\delta$ 的两个划分，则 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-S(f,{\mathcal {\dot {Q}}})|<\varepsilon$

证明

($\Rightarrow$)令 $\int _{a}^{b}f=L$ 并且令 $\varepsilon >0$ 被给出。

然后，存在一个$\delta >0$，使得对于任何满足$\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$的划分${\mathcal {\dot {P}}}$，我们有$|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}$

现在，设划分${\mathcal {\dot {P}}},{\mathcal {\dot {Q}}}$满足$\|{\mathcal {\dot {P}}}\|,\|{\mathcal {\dot {Q}}}\|<\delta$.

因此，我们有$|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|,|S(f,{\mathcal {\dot {Q}}})-L|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}$，也就是说$|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-S(f,{\mathcal {\dot {Q}}})|<\varepsilon$

($\Leftarrow$) 对于每个 $n\in \mathbb {N}$，考虑 $\delta _{n}>0$ 使得对于所有满足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|,\|{\mathcal {\dot {Q}}}\|<\delta _{n}$ 的分割 ${\mathcal {\dot {P}}},{\mathcal {\dot {Q}}}$，我们有 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-S(f,{\mathcal {\dot {Q}}})|<{\tfrac {1}{n}}$.

不失一般性，我们可以假设当 $m<n$ 时，$\delta _{m}>\delta _{n}$。对于每个 $\delta _{n}$，令 ${\mathcal {\dot {P}}}_{n}$ 是一个分割，使得 $\|{\mathcal {\dot {P}}}_{n}\|<\delta _{n}$

序列 $a_{n}=S(f,{\mathcal {\dot {P}}}_{n})$ 是一个柯西序列，因此它有一个极限 $L\in \mathbb {R}$.

现在，对于每个 $\varepsilon >0$，我们都有一个 $\delta >0$ 使得 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ 意味着 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<\varepsilon$.

因此 $\int _{a}^{b}f=L$

定理（夹逼定理）

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

那么，

(i) $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积 当且仅当

(ii) 对于每个 $\varepsilon >0$，存在黎曼可积函数 $\alpha _{\varepsilon },\omega _{\varepsilon }:[a,b]\to \mathbb {R}$ 使得

$\alpha _{\varepsilon }(x)\leq f(x)\leq \omega _{\varepsilon }(x)$ 对于所有 $x\in [a,b]$ 并且

$\int _{a}^{b}(\omega _{\varepsilon }-\alpha _{\varepsilon })<\varepsilon$

证明

($\Rightarrow$)取 $\alpha _{\varepsilon }(x)=f(x)=\omega _{\varepsilon }(x)$。很容易看出 $\int _{a}^{b}(\omega _{\varepsilon }-\alpha _{\varepsilon })<\varepsilon$

($\Leftarrow$)设 $n\in \mathbb {N}$。则存在函数 $\alpha _{n},\omega _{n}$ 使得 $\int _{a}^{b}(\omega _{n}-\alpha _{n})<{\tfrac {1}{n}}$。此外，如果 $\int _{a}^{b}\alpha _{n}=A_{n}$ 且 $\int _{a}^{b}\omega _{n}=Z_{n}$，则存在 $\delta _{1},\delta _{2}>0$ 使得，如果划分 ${\mathcal {\dot {P}}}$ 满足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta _{1}$ 则 $|S(\alpha _{n},{\mathcal {\dot {P}}})-A_{n}|<{\tfrac {1}{n}}$ 且 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta _{2}$ 则 $|S(\omega _{n},{\mathcal {\dot {P}}})-Z_{n}|<{\tfrac {1}{n}}$

现在设 ${\mathcal {\dot {P}}}_{n}$ 是一个满足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}_{n}\|<\inf\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ 的划分。

现在，我们可以很容易地看到 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}}_{n})-S(f,{\mathcal {\dot {P}}}_{n-1})|<{\tfrac {1}{n}}$。因此，$S(f,{\mathcal {\dot {P}}}_{n})$ 是一个柯西序列，它有一个极限 $L\in \mathbb {R}$，并且与之前的证明类似，我们可以证明 $\int _{a}^{b}f=L$