实分析/微积分基本定理

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实分析 微积分基本定理

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微积分基本定理通常被认为是微积分的核心定理。虽然它可以自然地从微分和积分的正式定义中推导出来，但它的结果开辟了一个更广泛的数学领域，足以证明整个微积分作为数学学科的合理性。

你会惊讶地发现，实际上有两个定理构成了微积分基本定理。它们都用来证明微分和定积分之间的关系，但第一个证明它们互为反函数，只是在它们相互抵消操作的意义上，而第二个证明存在一种使用反导数计算定积分的方法。这个定理，很像极限的概念，将构成未来定理的支柱，所以理解这些定理的功能至关重要。因此，本节的布局与极限部分的布局类似。

定义

理解这些定理的实际陈述至关重要，这些陈述在下面突出显示

微积分第一基本定理

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给定一个连续函数ƒ和一个函数F，它们都在某个闭区间 I 上，如果形式$F=\int _{a}^{x}{f}$成立，那么它意味着$F'=f$也成立。

微积分第二基本定理

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如果ƒ可积，并且ƒ是另一个函数g的微分，那么定积分被定义为$\int _{a}^{b}{f}=g(b)-g(a)$.

但是，与极限部分不同的是，这不是一个主要基于一致数学概念的定义，就像极限一样，它的定义只需要一个定理来证明，而是一个依赖于几个概念共同运作而不会产生矛盾的定理。毕竟，微分是由极限和积分求和组成的。声称它们之间存在关系，除非得到证明，否则在数学上可能造成灾难。因此，我们将在下一节正式证明这种关系是有效的。

证明

以下是证明我们之前断言的，实际上证明了微积分基本定理的，不是一个，而是两个证明。它们都主要依赖于微分和积分的定义，但它们根据使用的积分类型而有所不同。前两个使用积分的定义，其中上下界被定义（达布积分），后两个依赖于积分的定义，其中只使用单个求和（黎曼积分）。尽管如此，由于两者已经被证明是等价的，所以任何证明都足够。令人惊讶的是，以下证明并不复杂。无论达布还是黎曼版本的证明，都没有依赖任何新概念，因此不需要证明新的假设。因此，阅读将类似于前一部分中所学定理的简单应用，即您选择的积分。

达布

以下证明使用达布积分。一般的策略是利用微分和积分的定义，通过巧妙的操作来获得一个蕴涵。然而，它依赖于比黎曼版本更多的定理。

第一基本定理

像往常一样，将左导数和右导数留给您。

使用达布积分证明第一基本定理

给定函数 $F$ 及其定义，我们将假设两件事。首先是以下数学陈述。其次是引入变量 $h$ ，我们将在稍后使用它，并附带其隐含的意义。请注意，当 $h<0$ 时，会导致略微不同的数学运算（不等式的位移和积分位置，但并不严重）。然而，令人惊讶的是，它并不是一个主要问题，所以我们将忽略它（如果您好奇如何证明我们是对的或错的，问题集中要求进行这个证明 - 并且您所证明的答案已从本节中删除）。在证明的剩余部分，我们将假设 $h>0$ 。	$F(x+h)-F(x)$
以下数学陈述意味着这个等式	$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{x}^{x+h}{f}$
为了利用这个积分，我们现在将定义函数 $f$ 的一个上确界/下确界，使它们代表积分的最高/最低可能逼近。它将根据变量 $h$ 的值而受到影响。	${\begin{aligned}m_{h}&=\inf {\Big \{}f(x)\mid x\in [c,c+h]{\Big \}}\\M_{h}&=\sup {\Big \{}f(x)\mid x\in [c,c+h]{\Big \}}\end{aligned}}$
现在，我们可以声称以下不等关系（证明见Darboux 积分 部分），可以通过代数运算得到以下结果。	${\begin{aligned}m_{h}\cdot h&\leq \int \limits _{x}^{x+h}f\leq M_{h}\cdot h\\m_{h}&\leq {\frac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f\leq M_{h}\\m_{h}&\leq {\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\leq M_{h}\\\end{aligned}}$
我们可以对整个不等式应用极限。现在导数的答案源于夹逼定理。 考虑到 $m_{h}$ 和 $M_{h}$ 使用的区间依赖于变量 $h$ ，对 $h$ 应用极限会将区间缩减为单个 $x$ 变量，这意味着由 $f(x)$ 组成的一个集合的上确界/下确界是不言而喻的。因此，中间的答案，现在完全是 $F$ 导数的定义，就是 $f$ ，这就是我们想要证明的。	${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{m_{h}}&\leq \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\leq \lim _{h\to 0}{M_{h}}\\f(x)&\leq \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\leq f(x)\\F'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}=f(x)\end{aligned}}$

黎曼

以下证明使用黎曼积分。 我们的总体策略是使用极限的定义来推导出结论。 对于那些不熟悉极限的人来说，达布版本 可能更容易理解。

第一基本定理

这离最初的定义有点远，所以我们将重申我们要证明的内容。

给定以下条件

• $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 在 $c\in [a,b]$ 处连续
• $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ 是 $f$ 的不定积分

然后，我们应该证明以下关系式是有效的 $F$ 在 $c$ 处可微，且 $F'(c)=f(c)$

Let $\varepsilon >0$ be given, and let $x\in [a,b]$ but $x\neq c$ Observe that $F(x)-F(c)=\int _{c}^{x}f=L$(say). There exists $\delta >0$ such that if a partition $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ then, $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<\varepsilon |x-c|$ (note that in this proof, all the Riemann sums are over the interval $[c,x]$). As $f$ is integrable over $[c,x]$, it is bounded over that interval. Hence, let $M=\sup f([c,x])$. Thus, $S(f,{\mathcal {\dot {P}}})\leq \sum _{i=1}^{n}M(x_{i}-x_{i-1})=M(x-c)$ As $f$ is continuous at $c$, there exists $\delta >0$ such that $M(x-c)-S(f,{\mathcal {\dot {P}}})<\varepsilon |x-c|$ whenever $|x-c|<\delta$. Now consider $x\in V_{\delta }(c)$ Then, $\left|{\tfrac {F(x)-F(c)}{x-c}}-f(c)\right|=\left|{\tfrac {L}{x-c}}-f(c)\right|<\left|{\tfrac {S(f,{\mathcal {\dot {P}}})+\varepsilon |x-c|}{x-c}}-f(c)\right|<\left|{\tfrac {M(x-c)+2\varepsilon |x-c|}{x-c}}-f(c)\right|$

也就是说，$<\left|{\tfrac {f(c)(x-c)+3\varepsilon |x-c|}{x-c}}-f(c)\right|<3\varepsilon$

也就是说，$\lim _{x\to c}{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}=f(c)$，或 $F'(c)=f(c)$

微积分第二基本定理

这离最初的定义有点远，所以我们将重申我们要证明的内容。

给定以下条件

• $f,F:[a,b]\to \mathbb {R}$
• $F$ 在 $[a,b]$ 上可微，并且对于所有 $x\in [a,b]$ 有 $F'(x)=f(x)$
• $f$ 在 $[a,b]$ 上是黎曼可积的。

然后，我们应该证明以下关系式是有效的 $\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Let $\int _{a}^{b}f=L$ and let $\varepsilon >0$ be given. Then, there exists $\delta >0$ such that for a partition $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ implies that $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<\varepsilon$ Consider a partition ${\mathcal {P}}$ and let $x_{i-1},x_{i}\in {\mathcal {P}}$. By Lagrange's Mean Value Theorem, we have that there exists $c_{i}\in (x_{i-1},x_{i})$ that satisfies ${\frac {F(x_{i})-F(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}}=F'(c_{i})=f(c_{i})$ Let the tagged partition ${\mathcal {\dot {P}}}$ be the partition ${\mathcal {P}}$ along with the tags $c_{i}$ Thus, $S(f,{\mathcal {\dot {P}}})=\sum _{i=1}^{n}f(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {F(x_{i})-F(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}}(x_{i}-x_{i-1})=\sum _{i=1}^{n}(F(x_{i})-F(x_{i-1}))=F(b)-F(a)$ But we know that $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<\varepsilon$ and hence, $|F(b)-F(a)-L|<\varepsilon$. As $\varepsilon >0$ is arbitrary, $|F(b)-F(a)-L|=0$ that is, $\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

推论

根据定义，有很多解释。

附加内容

这里有一个额外的概念，供您参考（如果您不理解积分到可变界限）。

不定积分

设 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 在 $[a,b]$ 上是黎曼可积的。

我们定义 $f$ 的 **不定积分** 为函数 $F:[a,b]\to \mathbb {R}$，它由下式给出：

$F(x)=\int _{a}^{x}f$，对于所有 $x\in [a,b]$