信号与系统/常见分布

信号与系统

存在许多不同的随机分布，其中许多已被广泛研究，并且许多与自然现象很好地吻合。本书将尝试涵盖一些最基本和最常见的分布。本章还将介绍分布变换的概念，该概念可用于将简单分布转换为更奇特的分布。

均匀分布

最简单的分布之一是均匀分布。均匀分布也很容易在计算机上建模，然后可以通过一系列变换将其转换为其他分布类型。

均匀分布的 PDF 是一个矩形。该矩形以平均值 <μ_x 为中心，宽度为 A，高度为 1/A。此定义确保 PDF 下的总面积为 1。

高斯分布

此操作可以使用以下 MATLAB 命令执行

randn

高斯（或正态）分布同时是最常见的分布之一，也是最难处理的分布之一。高斯分布的问题在于它的 pdf 方程是不可积分的，因此无法找到 cdf 的一般方程（尽管有一些近似值可用），并且几乎无法直接计算某些概率。然而，有一些方法可以从高斯 pdf 近似这些概率，并且许多常见结果已在表格格式中列出。找到高斯曲线一部分下方区域（因此在该曲线部分下方事件的概率）的函数称为 Q 函数，其结果在 Q 表中列出。

PDF 和 CDF

高斯随机变量的 PDF 定义如下

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}

高斯函数的 CDF 是它的积分，任何数学家都会告诉你它无法用正则函数来表达。

Φ 和 Q 函数

参数为 μ = 0 和 σ = 1 的正态分布，即所谓的标准正态分布，起着重要作用，因为所有其他正态分布都可以从此分布推导出。标准正态分布的 CDF 通常用 Φ 表示

\Phi (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}dt

.

它给出了标准正态分布随机变量取小于 x 的值的概率。

Q 函数是高斯曲线右尾下的面积，因此只是 1 - Φ。因此，Q 函数定义为

Q(x)=1-\Phi (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}dt

数学文本可能更喜欢使用 erf(x) 和 erfc(x) 函数，它们类似。但是，本书（以及一般的工程文本）将使用 Q 和 Phi 函数。

泊松分布

泊松分布不同于高斯分布和均匀分布，因为它仅描述离散数据集。例如，如果我们想对一个特定交换机同时通过的电话呼叫次数进行建模，我们就无法计算电话呼叫的几分之一；电话呼叫只能用整数表示。此外，电话呼叫的数量不能为负数。事实证明，这种情况可以用泊松分布轻松地建模。泊松分布随机事件的一些一般示例是

到达交换机的电话呼叫
通过给定网络的互联网数据包
通过给定交叉路口的汽车数量

变换

如果我们有一个服从特定分布的随机变量，我们经常希望将该随机过程转换为使用不同的分布。例如，如果我们编写一个生成均匀分布随机数的计算机程序，而我们想编写一个生成高斯分布的程序，我们可以将均匀数输入变换，输出将是服从高斯分布的随机数。相反，如果我们有一个奇怪的、奇异的分布的随机变量，并且我们想使用一些简单易懂的表格化高斯分布工具来检查它，我们可以进行变换。

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