统计/分布/卡方

卡方分布

卡方

概率密度函数
累积分布函数
符号	$\chi ^{2}(k)\;$ 或 $\chi _{k}^{2}\!$
参数	$k\in \mathbb {N} ^{*}~~$ (称为“自由度”)
支持	$x\in (0,+\infty )\;$ 如果 $k=1$，否则 $x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;$
CDF	${\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;$
平均值	$k$
中位数	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$
众数	$\max(k-2,0)\;$
方差	$2k\;$
偏度	${\sqrt {8/k}}\,$
峰度	${\frac {12}{k}}$
熵	${\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\frac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\frac {k}{2}})\psi ({\frac {k}{2}})\end{aligned}}$
矩生成函数 (MGF)	$(1-2t)^{-k/2}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}\;$
特征函数 (CF)	$(1-2it)^{-k/2}$
概率生成函数 (PGF)	$(1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ for }}0<t<{\sqrt {e}}\;$

卡方分布与正态分布相关。卡方统计量是若干个独立的标准正态随机变量的平方和。

假设我们有 n 个服从正态分布的随机变量 Z。因此，我们可以写成 $Z\sim N(0,1)$。如果我们将 Z 平方，使得 $Z^{2}$，那么我们得到卡方分布 $Z^{2}\sim \chi _{1}^{2}$。如果我们将 n 个 $\chi _{1}^{2}$ 相加，我们可以写成

$Y=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+...+Z_{n}^{2}\sim \chi _{n}^{2}$.

例如，我们想知道一组八个苹果的重量是否服从正态分布。卡方分布可以用来检验这一点。假设这些苹果的重量分别为 88 克、93 克、110 克、76 克、78 克、121 克、92 克和 86 克，并且我们知道所有苹果的平均重量和标准差。通过减去平均重量 (93) 并除以标准差 (15.41)，我们得到服从正态分布的 Z 值。例如，第一个苹果的 Z 分数为 $Z_{1}={\frac {88-93}{15.41}}=-0.3245$，保留四位小数。将所有 Z 值平方，然后将它们加起来得到一个服从卡方分布的随机变量，其平均值为 8，方差为 16。

现在，当我们得到卡方统计量 Y 的值时，我们将它与卡方分布在自由度 n = 8 且显著性水平为 95% 时的临界值进行比较，这些临界值可以在卡方统计表中找到。零假设是这组苹果的重量服从正态分布。如果检验统计量的值大于临界值，则拒绝零假设。

卡方分布是 伽玛分布 的特例，其中 a=2 和 p=k/2。概率密度函数为

${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\quad x\geq 0,\,k\in [1,2,...]$

总结性统计

卡方分布的平均值为 $k$

卡方分布的方差为 $2k$

有关这些证明，请参见 伽玛分布。

外部链接

• 交互式卡方分布网络小程序（Java）