统计/分布/离散均匀

离散均匀分布

离散均匀分布（不要与连续均匀分布混淆）是指等间距可能值的概率相等。在数学上，这意味着概率密度函数对于有限集中的等间距点是相同的。例如，掷一个公平的六面骰子。在这种情况下，有六个同样可能的概率。

一种常见的规范化是将可能值限制为整数，并将可能性之间的间距限制为 1。在这种设置中，该函数的唯一两个参数是最小值（a），最大值（b）。（有些人甚至将其进一步规范化，设置a=1。）令n=b-a+1为可能性的数量。然后概率密度函数为

$f\colon \{a,a+1,\ldots ,b-1,b\}\to \mathbb {R}$

$f\left(x\right)={\frac {1}{n}}$

平均值

令 $S=\{a,a+1,\ldots ,b-1,b\}$. 然后平均值（表示为 $\operatorname {E} [X]$）可以推导出如下

$\operatorname {E} [X]=\sum _{x\in S}xf(x)=\sum _{i=0}^{n-1}\left({\frac {1}{n}}(a+i)\right)$

$\operatorname {E} [X]={1 \over n}\left(\sum _{i=0}^{n-1}a+\sum _{i=0}^{n-1}i\right)$

记住，在 $\sum _{i=0}^{m}i=(m^{2}+m)/2$

$\operatorname {E} [X]={1 \over n}\left(na+{(n-1)^{2}+(n-1) \over 2}\right)$

$\operatorname {E} [X]={2na+n^{2}-2n+1+n-1 \over 2n}$

$\operatorname {E} [X]={2a+n-1 \over 2}$

$\operatorname {E} [X]={a+b \over 2}$

方差

方差 ($E[(X-EX)^{2}]$) 可以推导出

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]=\sum _{x\in S}f(x)(x-E[X])^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\left((a+i)-{a+b \over 2}\right)^{2}\right)$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over n}\sum _{i=0}^{n-1}\left({a+2i-b \over 2}\right)^{2}$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4n}\sum _{i=0}^{n-1}(a^{2}+4ai-2ab+4i^{2}-4ib+b^{2})$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4n}\left[\sum _{i=0}^{n-1}(a^{2}-2ab+b^{2})+\sum _{i=0}^{n-1}(4ai-4ib)+\sum _{i=0}^{n-1}4i^{2}\right]$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4n}\left[n(a^{2}-2ab+b^{2})+4(a-b)\sum _{i=0}^{n-1}i+4\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}\right]$

记住在 $\sum _{i=0}^{m}i^{2}=m(m+1)(2m+1)/6$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4n}\left[n(b-a)^{2}+4(a-b)[(n-1)n/2]+4[(n-1)n(2n-1)/6]\right]$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4n}\left[n(n-1)^{2}-2(n-1)(n-1)n+2(n-1)n(2n-1)/3\right]$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4}\left[-(n-1)^{2}+2(n-1)(2n-1)/3\right]$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 12}\left[-3(n-1)^{2}+2(n-1)(2n-1)\right]$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 12}\left[-3(n^{2}-2n+1)+2(2n^{2}-3n+1)\right]$

$\operatorname {Var} (X)={n^{2}-1 \over 12}$