几何
概率质量函数
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累积分布函数
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| 参数 |
 成功概率 (实数) |
| 支持
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| PMF
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| CDF
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| 均值
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| 中位数
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 (如果  是整数，则不唯一) |
| 众数
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| 方差
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| 偏度
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| 峰度
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| 熵
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| MGF
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 ,
为了 
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| CF
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有两种相似的分布，都叫“几何分布”。
- 在获得一次成功之前所需的 伯努利试验 次数 X 的概率分布，在集合 { 1, 2, 3, ... } 上。
- 在第一次成功之前发生的失败次数 Y = X − 1 的概率分布，在集合 { 0, 1, 2, 3, ... } 上。
这两种不同的几何分布不应该混淆。通常，对于前者，我们采用 平移 几何分布的名称。我们将使用 X 和 Y 来区分这两个。
平移几何分布指的是获得一个期望结果之前进行某个操作的次数的概率。例如
- 我会投掷硬币多少次才能出现正面？
- 我会生多少个孩子才能生出一个女孩？
- 我会从一副牌中抽多少张牌才能抽到一张小丑？
就像 伯努利分布 一样，几何分布只有一个控制参数：任何独立测试中成功的概率。
如果一个随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，我们将其 概率质量函数 写为
对于几何分布，计算“超过 n 次”情况的概率也很容易。未获得期望结果的概率为 
.
例如：一个学生从森林里的一场派对回家，在派对上他们消费了有趣的东西。学生正在试图从一个有 10 把不同钥匙的钥匙链中找到他家门的钥匙。学生在第四次尝试中找到正确钥匙的概率是多少？
概率质量函数定义为
对于 
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i}f(x_{i})x_{i}=\sum _{0}^{\infty }p(1-p)^{x}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14772fe3fb1aac3aeda043b8844d8e44ea9f4beb)
令 q=1-p
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{0}^{\infty }(1-q)q^{x}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ad822d6cb59a023236e1c2dba4ea8ce8fe0bb0)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{0}^{\infty }(1-q)qq^{x-1}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b173d51fc1397b9d8290c8e8a58dbac31d80e0cd)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=(1-q)q\sum _{0}^{\infty }q^{x-1}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3694fabe53f333614812d1e6b7a75577a8b00d2c)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=(1-q)q\sum _{0}^{\infty }{\frac {d}{dq}}q^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ecb1f87eadc5d1bec6706a38d2e526254149b0)
现在我们可以交换导数和求和。
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=(1-q)q{\frac {d}{dq}}\sum _{0}^{\infty }q^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29126ac9a1e1420eb4b6f0b292b11542191314ac)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=(1-q)q{\frac {d}{dq}}{1 \over 1-q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28cabe4165678e022964b678cb3bed82f7d0a7f)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=(1-q)q{1 \over (1-q)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0088bfe78733dbdd446cdcee8839d8b06334e2b5)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=q{1 \over (1-q)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22bd1347ab70303be5bafa8d54e6b05a41fd008)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={(1-p) \over p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005e463e9bbf3557dcc3ad6930b3321e09013809)
我们使用以下公式推导出方差
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a927c2af9ce191701ce464bf66fe7a6fe2190c)
我们已经计算了上面的E[X]，所以现在我们将计算E[X2]，然后回到这个方差公式
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b457462143b3c9a9d2d1c9de47dd57fae3dbec2)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\sum _{0}^{\infty }p(1-p)^{x}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5683649108ad3852d33b3f0f8ca642e237678fd5)
令 q=1-p
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\sum _{0}^{\infty }(1-q)q^{x}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5c3ee343acd07e0bb8c579be8dc55ca22fc589)
现在我们对x2进行操作，以便得到用推导均值时所用方法易于处理的形式。
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=(1-q)\sum _{0}^{\infty }q^{x}[(x^{2}-x)+x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d3eafe380f83410881e368fe533b827ca74f92)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=(1-q)\left[\sum _{0}^{\infty }q^{x}(x^{2}-x)+\sum _{0}^{\infty }q^{x}x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f93fd82a11d90cda7b6d70be13b8244e3a7d05)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=(1-q)\left[q^{2}\sum _{0}^{\infty }q^{x-2}x(x-1)+q\sum _{0}^{\infty }q^{x-1}x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b1637a45a96e3347eac070309b680a9d4ff66c)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=(1-q)q\left[q\sum _{0}^{\infty }{\frac {d^{2}}{(dq)^{2}}}q^{x}+\sum _{0}^{\infty }{\frac {d}{dq}}q^{x}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a670c354fefd15e8e9c92ae0e84f11f2aaa924ea)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=(1-q)q\left[q{\frac {d^{2}}{(dq)^{2}}}\sum _{0}^{\infty }q^{x}+{\frac {d}{dq}}\sum _{0}^{\infty }q^{x}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb989d8fec7d63001d1753487542e9c66ee35688)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=(1-q)q\left[q{\frac {d^{2}}{(dq)^{2}}}{1 \over 1-q}+{\frac {d}{dq}}{1 \over 1-q}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc28f609f6a73d90dd592e92f471e1f9c892f962)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=(1-q)q\left[q{2 \over (1-q)^{3}}+{1 \over (1-q)^{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569b086d793e05931e2f107f0faa3669e3a2e38e)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]={2q^{2} \over (1-q)^{2}}+{q \over (1-q)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d4242ae0316880299a80f3b86026827724baa2)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]={2q^{2}+q(1-q) \over (1-q)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa45c19cb12088654ff064a34fe60e5d01145e3)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]={q(q+1) \over (1-q)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0439f27f91edf1d341788b23bebb1f52f7aed08e)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]={(1-p)(2-p) \over p^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65e09f63d237df831cf41227667ef09b8663043)
然后我们回到方差公式
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\left[{(1-p)(2-p) \over p^{2}}\right]-\left({1-p \over p}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5083e58db627dd9b8b3c9538630be47a30f52318)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]={(1-p) \over p^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425211a2e0d5b31cb138f0691612a70009fa16060)
