量子世界/附录/问题

此页面的目的是展示处理量子物理学问题中出现的令人困惑的数学问题的技巧。它不会回答您的作业，但可能会帮助您摆脱困境。

归一化

当一个问题要求您对波函数进行归一化时，他们的意思是定义某个系数的值，使得

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}\,dx=1$

例如，考虑一个函数

$\Psi (x,t)=A\beta (x,t)$

要找到 A，您必须首先找到 $\left|\Psi (x,t)\right|^{2}$ 的绝对值。由于波函数通常具有复数部分，因此对波函数进行平方是不够的。相反，您必须将其乘以其复共轭。要了解如何对一个数进行复共轭，请参见关于复数的页面。

$\left|\Psi (x,t)\right|^{2}=A^{2}\beta (x,t)\beta (x,t)^{\star }$

重新排列以解出 A，

$A=1/{\sqrt {\int _{-\infty }^{\infty }\beta (x,t)\beta (x,t)^{\star }dx}}$

请注意，由于积分的极限是无限的，因此 $\left|\Psi (x,t)\right|^{2}$ 必须随着 x 趋于无穷大或负无穷大而趋于零。否则，粒子位于任何地方的概率都大于 1，并且该函数不可归一化。只有在少数情况下才能满足这些条件。

处理高斯函数

最常见的情况之一是函数，其中 $\left|\Psi (x,t)\right|^{2}$ 的形式为 $A^{2}e^{-\alpha x^{2}}$ 。在这种情况下，您最终将得到一个积分

$A^{2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx=1$

但这意味着整合 $\int e^{x^{2}}dx$ ，一个无法积分的函数。在 Mathematica 和 Maple 中对其进行积分将得到一堆难以处理的复杂函数。尝试将其转换为 $\int e^{2x}dx$ 不是正确的处理方法，请记住， $\int e^{x^{2}}$ 和 $\int (e^{x})^{2}$ 之间是有区别的。

但是，尽管积分的极限在无穷大和负无穷大，但积分仍然是定积分，并且存在解。
定义一个新函数
$I=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx$ .
对该函数进行平方。
$I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx*\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx$
对其中一个积分使用变量替换， $x=y$ ，得到
$I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx*\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha y^{2}}dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (x^{2}+y^{2})}dxdy$
进行另一个变量替换到极坐标系（关于极坐标系的介绍，请参阅 Calculus wikibook）。
$x=r\cos(\theta )$ ， $y=r\sin(\theta )$ ， $r^{2}=x^{2}+y^{2}$
$I^{2}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }re^{-\alpha r^{2}}drd\theta$
这是一个更容易积分的形式。

量子算符

在基本量子物理问题中，五个最常见的量子算符是
x 算符： ${\hat {x}}=x$
$x^{2}$ 算符： ${\hat {x^{2}}}=x^{2}$
动量算符： ${\hat {p}}={\hbar /i}\nabla$
动量平方算符： ${\hat {p^{2}}}=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}$
哈密顿算符： ${\hat {H}}=-\hbar ^{2}/{2m}\nabla ^{2}+V$
要将这些算符应用于波函数，需要将波函数夹在积分号内。例如，要找到 x 的平均值（也称为 x 的期望值或 x 的一阶矩），需计算以下积分： $<x>=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi {\hat {x}}\Psi ^{\star }dx$

偶函数和奇函数

如果波函数是对称的并且以原点为中心，则它是偶函数（f(x)=f(-x)）。因此，x 的期望值必须在 0 处找到，因为它出现在 -x 区域的概率等于它出现在 x 区域的概率。
更严格的证明如下
假设 $y(x)=\left|\Psi (x,t)\right|^{2}$ 是偶函数。y(x) = x 是奇函数（f(-x)=-f(x)）。
那么
$y(x)=\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*x$ 是奇函数（偶函数 * 奇函数 = 奇函数）。
那么
$\int _{-\infty }^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx=\int _{-\infty }^{0}\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx+\int _{0}^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx$
由于 $y(x)=\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*x$ 是奇函数，
$\int _{-\infty }^{0}\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx=-\int _{0}^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx$
所以
$\int _{-\infty }^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx=-\int _{0}^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx+\int _{0}^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx=0$
我们可以利用奇偶函数的性质，通过观察来求得<x>的平均值。

有用积分

在量子物理学中，有很多重复出现的积分需要求解，这些一般解可以帮助你解决它们。

$\int x\sin(ax)dx=(1/a^{2})\sin(ax)-(x/a)\cos(ax)$
$\int x\cos(ax)dx=(1/a^{2})\cos(ax)-(x/a)\sin(ax)$
$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x/a}dx=n!a^{n+1}$
$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-x^{2}/a^{2}}dx={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n)!}{n!}}({\frac {a}{2}})^{2n+1}$
$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-x^{2}/a^{2}}dx={\sqrt {\pi }}a^{2n+2}$