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为什么能量是量子化的

再次将自己限制在一个空间维度，我们将时间无关薛定谔方程写成这种形式

${d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}=A(x)\,\psi (x),\qquad A(x)={2m \over \hbar ^{2}}{\Big [}V(x)-E{\Big ]}.$

由于该方程除了可能的 $\psi$ 本身之外没有复数，它有实数解，而我们感兴趣的是这些解。你会注意到，如果 $V>E,$ 那么 $A$ 为正，$\psi (x)$ 与其二阶导数具有相同的符号。这意味着 $\psi (x)$ 的图形在 $x$ 轴上方向上弯曲，在下方向下弯曲。因此它不能穿过轴。另一方面，如果 $V<E,$ 那么 $A$ 为负，$\psi (x)$ 与其二阶导数具有相反的符号。在这种情况下，$\psi (x)$ 的图形在 $x$ 轴上方向下弯曲，在下方向上弯曲。因此，$\psi (x)$ 的图形会不断穿过轴——它是一个波。此外，$E-V,$ 的差越大，图形的曲率越大；曲率越大，波长越小。在粒子方面，动能越高，动量越大。

现在让我们找到描述一个粒子“困”在势阱中的解——束缚态。考虑这个势

首先观察到，在 $x_{1}$ 和 $x_{2},$ 处，其中 $E=V,$ $\psi (x)$ 的斜率不会改变，因为在这些点 $d^{2}\psi (x)/dx^{2}=0$。 这告诉我们，在这些点找到粒子的概率不会突然降至零。 因此，有可能在 $x_{1}$ 的左侧或 $x_{2},$ 的右侧找到粒子，而经典情况下这是不可能的。（经典粒子会在这些点之间来回振荡。）

接下来，考虑由 $\psi (x)$ 定义的概率分布必须是可归一的。 对于 $\psi (x)$ 的图形，这意味着它必须随着 $x\rightarrow \pm \infty .$ 渐近地逼近 $x$ 轴。

假设我们有一个特定值 $E.$ 的归一化解。如果我们增加或减少 $E,$ 的值，$\psi (x)$ 图像在 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间的曲率会增加或减少。轻微的增加或减少并不会给我们另一个解：$\psi (x)$ 不会在正负 $x.$ 方向上渐近地消失。为了得到另一个解，我们必须将 $E$ 增加正好合适的量，以在“经典”转折点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间增加或减少一个波节点的数量，并使 $\psi (x)$ 在两个方向上再次渐近地消失。

底线是，束缚粒子的能量——被“困”在势阱中的粒子——是量子化的：只有某些值 $E_{k}$ 会产生时间无关薛定谔方程的解 $\psi _{k}(x)$