量子世界/严重疾病/出生

出生

在厄尔温·薛定谔发表以他名字命名的方程式的同一年，非相对论理论由马克斯·玻恩的洞察力完成，他认为薛定谔波函数 $\psi (\mathbf {r} ,t)$实际上只是一个计算概率的工具，在空间区域$R$中检测到“由” $\psi (\mathbf {r} ,t)$描述的粒子的概率由体积积分给出

$\int _{R}|\psi (t,\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}r=\int _{R}\psi ^{*}\psi \,d^{3}r$

— 前提是进行适当的测量，在本例中，是对粒子在$R$中的存在进行测试。由于找到粒子的概率在任何地方（无论在哪里）都必须是 1，只有平方可积函数才能“描述”一个粒子。这排除了$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} },$它不是平方可积的。换句话说，没有粒子可以具有如此尖锐的动量，以至于由$\hbar$乘以波矢 $\mathbf {k}$给出，而是由不同动量的真实概率分布给出。

给定概率密度函数 $|\psi (x)|^{2}$，我们可以定义期望值

$\langle x\rangle =\int |\psi (x)|^{2}\,x\,dx=\int \psi ^{*}\,x\,\psi \,dx$

以及标准差 $\Delta x={\sqrt {\int |\psi |^{2}(x-\langle x\rangle )^{2}}}$

以及 $|\psi (x)|^{2}$的更高矩。同样地，

$\langle k\rangle =\int {\overline {\psi }}\,^{*}\,k\,{\overline {\psi }}\,dk$  和  $\Delta k={\sqrt {\int |{\overline {\psi }}|^{2}(k-\langle k\rangle )^{2}}}.$

这里给出另一个表达式$\langle k\rangle :$

$\langle k\rangle =\int \psi ^{*}(x)\left(-i{\frac {d}{dx}}\right)\psi (x)\,dx.$

为了验证这两个表达式实际上是相等的，我们把  $\psi (x)=(2\pi )^{-1/2}\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{ikx}dk$  代入后一个表达式。

$\langle k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \psi ^{*}(x)\left(-i{\frac {d}{dx}}\right)\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{ikx}dk\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \psi ^{*}(x)\int {\overline {\psi }}(k)\,k\,e^{ikx}dk\,dx.$

接下来，我们用$(2\pi )^{-1/2}\int {\overline {\psi }}\,^{*}(k')\,e^{-ik'x}dk'$  替换$\psi ^{*}(x)$，并随意地交换积分顺序，这是物理学中常见的做法。

$\langle k\rangle =\int \!\int {\overline {\psi }}\,^{*}(k')\,k\,{\overline {\psi }}(k)\left[{\frac {1}{2\pi }}\int e^{i(k-k')x}dx\right]dk\,dk'.$

方括号中的表达式表示狄拉克的 δ 函数 $\delta (k-k'),$ 它的定义特征是   $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$  对于任何连续函数 $f(x).$ （如果你没注意到，这证明了要证的结论。）

海森堡

在 1926 年量子力学的同一个“奇迹年”中，维尔纳·海森堡 证明了所谓的 “不确定性”关系

$\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2.$

海森堡谈到的是Unschärfe，它的字面意思是“模糊”，而不是“不确定”。由于关系 $\Delta x\,\Delta k\geq 1/2$ 是 $\psi (x)$ 和 ${\overline {\psi }}(k)$ 通过 傅里叶变换 互相关联的事实，我们把证明留给数学家们。位置和动量的模糊关系通过 $p=\hbar k$ 得出。它表明，位置的模糊性（用 $\Delta x$  测量）和相应动量的模糊性（用 $\Delta p=\hbar \Delta k$  测量）必须使得它们的乘积至少等于 $\hbar /2.$