费曼通往薛定谔的路线

在时间 $t_{2}$ 进行的测量可能结果的概率由薛定谔波函数 $\psi (\mathbf {r} ,t_{2})$ 决定。波函数 $\psi (\mathbf {r} ,t_{2})$ 通过薛定谔方程由 $\psi (\mathbf {r} ,t_{1}).$ 决定。是什么决定了 $\psi (\mathbf {r} ,t_{1})$ ? 为什么，在 $t_{1}$ 进行的测量的结果 - 还有什么？实际的测量结果决定了可能测量结果的概率。

两条规则

在本章中，我们将从两个基本规则发展出量子力学概率算法。首先，两个定义

备选方案是测量结果的可能序列。
每个备选方案都与一个称为振幅的复数相关联。

假设你想要计算在给定先前测量实际结果的情况下，测量可能结果的概率。以下是你需要做的事情

选择任何可能在中间进行的测量序列。
为每个备选方案分配一个振幅。
应用以下规则中的任何一个

规则 A：如果中间测量已进行（或如果可以从其他测量中推断出它们的测量结果如果已进行会是什么），首先将备选方案振幅的绝对值的平方，然后将结果相加。

规则 B：如果中间测量未进行（并且无法从其他测量中推断出它们的测量结果会是什么），首先将备选方案的振幅相加，然后将结果的绝对值的平方。

在后面的部分中，我们将探讨这些规则对各种设置的影响，并思考它们的起源——它们的raison d'être。这里我们将使用规则 B 来确定 ${\overline {\psi }}(k)$ 的解释，给定 Born 对 $\psi (x)$ 的概率解释。

在所谓的“连续体归一化”中，具有尖锐动量 $\hbar k'$ 的粒子的非物理极限与波函数相关联

\psi _{k'}(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \delta (k-k')\,e^{i[kx-\omega (k)t]}dk={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{i[k'x-\omega (k')t]}.

因此，我们可以写成 $\psi (x,t)=\int {\overline {\psi }}(k)\,\psi _{k}(x,t)\,dk.$

${\overline {\psi }}(k)$ 是无限精确动量测量结果为 $\hbar k$ 的振幅。 $\psi _{k}(x,t)$ 是在无限精确动量测量结果为 $\hbar k$ 后，于时间 $t$ 进行无限精确位置测量，得到结果为 $x$ 的振幅。并且 $\psi (x,t)$ 是在时间 $t$ 进行无限精确位置测量，得到结果为 $x$ 的振幅。

因此，上述等式告诉我们，在时间 $t$ 找到 $x$ 的振幅是：

测量结果为 $\hbar k$ 的振幅乘以
在进行动量测量得到结果为 $\hbar k$ 后，于时间 $t$ 测量得到结果为 $x$ 的振幅，

对所有 $k$ 值求和。

在规则 A 规定的条件下，我们应该得到概率，即在时间 $t$ 找到 $x$ 是：

测量结果为 $\hbar k$ 的概率乘以
在进行动量测量得到结果为 $\hbar k$ 后，于时间 $t$ 测量得到结果为 $x$ 的概率，

对所有 $k$ 值求和。

根据标准概率理论，我们预期的是后者。但如果这在规则 A 规定的条件下成立，那么在规则 B 规定的条件下，用“振幅”替换“概率”后，同样成立。因此，鉴于 $\psi _{k}(x,t)$ 和 $\psi (x,t)$ 是在无限精确的位置测量中获得结果 $x$ 的振幅， ${\overline {\psi }}(k)$ 是在无限精确的动量测量中获得结果 $\hbar k$ 的振幅。

注释

由于规则 B 规定实际上并未进行动量测量，因此我们无需担心进行无限精确的动量测量的可能性。
如果我们将 $|\psi (x)|^{2}$ 称为“获得结果 $x,$ 的概率”，我们的意思是 $|\psi (x)|^{2}$ 积分在任何区间或实数轴的子集上的值，是我们找到粒子在这个区间或子集中的概率。

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