拓扑/基

定义

令 $(X,{\mathcal {T}})$ 为拓扑空间。一个开集的集合 ${\mathcal {B}}$ 被称为拓扑 ${\mathcal {T}}$ 的基，如果每个开集 $U$ 是 ${\mathcal {B}}$ 中集合的并集。

显然 ${\mathcal {T}}$ 是它自己的基。

作为基的条件

在一个拓扑空间 $(X,{\mathcal {T}})$ 中，一个集合 ${\mathcal {B}}$ 是 ${\mathcal {T}}$ 的基当且仅当它由开集组成，并且对于每个点 $x\in X$ 和 $x$ 的开邻域 $U$，存在一个集合 $B\in {\mathcal {B}}$ 使得 $x\in B\subseteq U$.

证明
我们需要证明， $U$ 是 $X$ 的一个子集是开的，当且仅当它是由 $B\in {\mathcal {B}}$ 中的元素的并集。然而，如果部分很明显，因为 $B\in {\mathcal {B}}$ 中的元素是开的，任意个开集的并集也是开的。因此，我们只需要证明任何一个开集 $U$ 确实是这样的并集。
令 $U$ 为任意一个开集。考虑任意元素 $x\in U$。根据假设，在 ${\mathcal {B}}$ 中至少存在一个元素，它既包含 $x$，又是 $U$ 的子集。根据选择公理，我们可以对每个 $x\in U$ 同时选择这样的一个元素 $B_{x}\in {\mathcal {B}}$。所有这些元素的并集确实是 $U$。因此，任何开集都可以表示为 ${\mathcal {B}}$ 中的集合的并集。

从基构造拓扑

设 $X$ 为任意集合，${\mathcal {B}}$ 为 $X$ 的子集族。存在 $X$ 上的拓扑 ${\mathcal {T}}$ 使得 ${\mathcal {B}}$ 为 ${\mathcal {T}}$ 的基当且仅当 ${\mathcal {B}}$ 满足以下条件：

1. 如果 $x\in X$，那么存在一个 $B\in {\mathcal {B}}$ 使得 $x\in B$。
2. 如果 $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$ 且 $x\in B_{1}\cap B_{2}$，那么存在一个 $B\in {\mathcal {B}}$ 使得 $x\in B\subseteq B_{1}\cap B_{2}$。

注： 第一个条件等价于说 ${\mathcal {B}}$ 中所有集合的并集为 $X$。

半基

令 $X$ 为任意集合，${\mathcal {S}}$ 为 $X$ 的子集的集合。那么，${\mathcal {S}}$ 是一个半基，如果 X 的基可以由 ${\mathcal {S}}$ 的元素的有限交集形成。

练习

1. 证明集合 ${\mathcal {B}}=\{(a,b):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\}$，即 $\mathbb {R}$ 中所有开区间的集合，是 $\mathbb {R}$ 上拓扑的一个基。
2. 证明集合 ${\mathcal {C}}=\{[a,b]:a,b\in \mathbb {R} ,a<b\}$，即 $\mathbb {R}$ 中所有闭区间的集合，**不是** $\mathbb {R}$ 上拓扑的一个基。
3. 证明集合 ${\mathcal {L}}=\{(a,b]:a,b\in \mathbb {R} ,a<b\}$，即半开区间的集合，是 $\mathbb {R}$ 上拓扑的一个基。
4. 证明集合 ${\mathcal {S}}=\{[a,b):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\}$，即半开区间的集合，是 $\mathbb {R}$ 上拓扑的一个基。
5. 令 $a,b\in \mathbb {R}$。划分 ${\mathcal {P}}$ 在闭区间 $[a,b]\,\!$ 上定义为有序的 n 元组 $a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}<b\,\!$；范数 划分 ${\mathcal {P}}$ 定义为 $\|{\mathcal {P}}\|=\sup\{x_{i}-x_{i-1}|2\leq i\leq n\}$
   对于每个 $\delta >0\,\!$，定义集合 $U_{\delta }=\{{\mathcal {P}}|\|{\mathcal {P}}\|\leq \delta \}$。
   如果 $X\,\!$ 是 $[a,b]\,\!$ 上所有划分的集合，证明所有 $U_{\delta }\,\!$ 的集合是 $X\,\!$ 上拓扑的基。