拓扑/集合中的点

一些重要的结构

令 $X$ 为拓扑空间，$A$ 为 $X$ 的任何子集。

闭包

• 如果 $x$ 的每个邻域都包含至少一个 $A$ 的元素，则称点 $x$ 为 $A$ 的闭包点。换句话说，对于 $x$ 的所有邻域 $U$，$U\cap A\neq \emptyset$。
• 闭包 的所有闭包点的集合。它等价于包含 $A$ 作为子集的所有闭集的交集，记为 $\mathrm {Cl} (A)$（一些作者使用 ${\bar {A}}$）。或者，它是集合 $A$ 连同其所有极限点（定义如下）的集合。闭包有一个很好的性质，即它是最小的包含 $A$ 的闭集。闭包中每个点的所有邻域都与 $A$ 相交。

内部

• 点 $x$ 是 $A$ 的内部点，如果存在 $A$ 的一个开子集包含 $x$。
• $A$ 的内部是所有包含在 $A$ 内部的开集的并集，记作 $\mathrm {Int} (A)$ （有些作者使用 $A^{\circ }$）。内部有一个很好的性质，它是包含在 $A$ 内部的最大开集。内部的每个点都有一个包含在 $A$ 内部的邻域。它等价于 $A$ 的所有内部点的集合。

请注意，开集等于它的内部。

外部

• 定义 $A$ 的外部为所有包含在 $A$ 的补集内部的开集的并集，记作 $\mathrm {Int} (X\setminus A)$。它是 $X\setminus A$ 内部的最大开集。外部的每个点都有一个包含在 $X\setminus A$ 内部的邻域。

边界

• 定义 $A$ 的边界为 $A$ 的闭包，不包括其内部，或者 $\mathrm {Cl} (A)\setminus \mathrm {Int} (A)$。它记为 $\mathrm {Bd} (A)$（一些作者更喜欢 $\partial A$）。边界也称为边界。它总是闭合的，因为它是由闭合集 $\mathrm {Cl} (A)$ 和闭合集 $X\setminus \mathrm {Int} (A)$ 的交集。可以证明 $A$ 如果包含其所有边界，则闭合，如果包含其所有边界，则开放。边界中每个点的每个邻域都与 $A$ 和 $X\setminus A$ 相交。集合 $A$ 的所有边界点显然是 $A$ 的接触点。

极限点

• 如果一个点的任意邻域都与$A$至少有一个除$x$以外的点相交，则称点$x$ 是$A$ 的极限点。换句话说，对于$x$ 的任何邻域 $U$，$(U\setminus \{x\})\cap A\neq \emptyset$。显然，$A$ 的所有极限点都是$A$ 的闭包点。

孤立点

• 如果一个点$x$ 具有一个不包含$A$ 的任何其他点的邻域，则称点$x$ 是$A$ 的孤立点。这等同于说$\{x\}$ 是拓扑空间$A$（视为$X$ 的子空间）中的一个开集。

稠密

定义：$A$ 被称为稠密（或在 $X$ 中稠密），如果 $X$ 中的每个点要么属于 $A$，要么是 $A$ 的极限点。非正式地说，$X$ 中的每个点要么在 $A$ 中，要么任意接近于 $A$ 中的一个成员。例如，有理数在实数中是稠密的，因为每个实数要么是有理数，要么有一个任意接近它的有理数。

等价地：$A$ 是稠密的，如果 $A$ 的闭包是 $X$。

定义：$A$ 是无处稠密（或在 $X$ 中无处稠密），如果 $A$ 的闭包的内部为空。也就是说，$A$ 的闭包不包含任何非空的开集。非正式地说，它是一个其点在任何地方都没有紧密聚集的集合。例如，整数集合在实数集合中是无处稠密的。请注意，运算顺序很重要：有理数集合有一个内部，其闭包为空，但它不是无处稠密的；实际上它在实数中是稠密的。

定义：一个G_σ 集是一个拓扑空间的子集，它是可数个开集的交集。

定义：一个F_σ 集是可数个闭集的并集。

定理

(豪斯多夫准则) 假设X有两个拓扑，r₁ 和 r₂。对于每个 $x\in X$，令B¹_x 是拓扑r₁中x的邻域基，B²_x 是拓扑r₂中x的邻域基。则 $r_{1}\subseteq r_{2}$ 当且仅当在每个 $x\in X$，如果 $(B^{1}\in B_{x}^{1})(\exists (B^{2}\in B_{x}^{2})(B^{2}\subseteq B^{1}).$

定理

在任何拓扑空间中，开集的边界是闭合的并且是无处稠密的。

证明
令A 是拓扑空间X中的一个开集。由于A 是开集，int(A) = A。因此，$\partial A$（即A的边界）= ${\bar {A}}/int(A)$。注意 ${\bar {A}}/A={\bar {A}}\cap A^{c}$。开集的补集是闭集，任何集合的闭包都是闭集。因此，${\bar {A}}\cap A^{c}$ 是闭集的交集，本身也是闭集。拓扑空间的子集是无处稠密的，当且仅当其闭包的内部为空。因此，考虑A的边界，进行如下推理。

A的边界的闭包的内部等于A的边界的内部。

因此，它等于 $int({\bar {A}}\cap A^{c})$。

它也等于 $int({\bar {A}})\cap int(A^{c})$。

并且，$int(A^{c})={\bar {[(A^{c})^{c}]}}^{c}$。所以，A的边界的闭包的内部 = $int({\bar {A}})\cap int{\bar {(A^{c})}}$，因此，A的边界是无处稠密的。

空间类型

我们还可以根据空间中包含的点类型对空间进行分类。

完美空间

• 如果一个空间不包含孤立点，那么这个空间就是一个完全空间。

一些基本结果

• 对于每个集合 $A$； $A\subseteq \mathrm {Cl} (A)$ 以及 $\mathrm {Int} (A)\subseteq A$
  证明
  设 $x\in A$。如果一个闭集 $\alpha \supseteq A$，那么 $x\in \alpha$。由于 $\mathrm {Cl} (A)=\displaystyle \bigcap _{\alpha \subset X}\alpha$ 对于闭集 $\alpha$；我们有 $x\in \mathrm {Cl} (A)$。 $x\in A$ 是任意的，因此 $A\subseteq \mathrm {Cl} (A)$
  设 $U\subseteq A$ 是一个开集。因此， $x\in A\forall x\in U$。由于 $\mathrm {Int} (A)=\displaystyle \bigcup _{U\subseteq A}U$ 对于开集 $U$；我们有 $x\in \mathrm {Int} (A)\forall x\in U$。 $U\subseteq A$ 是任意的，因此我们有 $\mathrm {int} (A)\subseteq A$

• 集合 $A$ 为开集当且仅当 $\mathrm {Int} (A)=A$。
  证明
  ($\Longrightarrow$)
  $A$ 是开集，且 $A\subseteq A$。因此，$A\subseteq \mathrm {Int} (A)$。但我们知道 $\mathrm {Int} (A)\subseteq A$，因此 $\mathrm {Int} (A)=A$
  ($\Longleftarrow$)
  由于 $\mathrm {Int} (A)$ 是开集的并集，因此它是开集（根据开集的定义）。所以 $A=\mathrm {Int} (A)$ 也是开集。

• 集合 $A$ 为闭集当且仅当 $\mathrm {Cl} (A)=A.$
  证明
  观察到 $\mathrm {Cl} (A)$ 的补集满足 $X\setminus \mathrm {Cl} (A)=\mathrm {Int} (X\setminus A)$。因此，所需的结果等价于语句 “$X\setminus A$ 是开集当且仅当 $\mathrm {Int} (X\setminus A)=X\setminus A$”。$A$ 是闭集意味着 $X\setminus A$ 是开集，因此我们可以使用之前的性质。

• 集合 $A$ 的闭包 $\mathrm {Cl} (A)$ 是闭集。
  证明
  设 $\alpha$ 为一个闭集，使得 $A\subseteq \alpha$。 现在， $\mathrm {Cl} (A)=\displaystyle \bigcap _{\alpha \subset X}\alpha$ 对于闭集 $\alpha$。 我们知道任意个闭集的交集是闭集，因此 $\mathrm {Cl} (A)$ 是闭集。

练习

1. 证明拓扑空间 $X$ 中子集 $A,B$ 以下恒等式:
   • $\mathrm {Cl} (A\cup B)=\mathrm {Cl} (A)\cup \mathrm {Cl} (B)$
   • $\mathrm {Cl} (A\cap B)\subseteq \mathrm {Cl} (A)\cap \mathrm {Cl} (B)$
   • $\mathrm {Int} (A)\cup \mathrm {Int} (B)\subseteq \mathrm {Int} (A\cup B)$
   • $\mathrm {Int} (A\cap B)=\mathrm {Int} (A)\cap \mathrm {Int} (B)$
2. 证明以下等式不一定成立（即给出一个拓扑空间和集合 $A$ 和 $B$ 的例子，它们不成立）
   • $\mathrm {Cl} (A\cap B)=\mathrm {Cl} (A)\cap \mathrm {Cl} (B)$
   • $\mathrm {Int} (A)\cup \mathrm {Int} (B)=\mathrm {Int} (A\cup B)$