拓扑/梳形空间

拓扑
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一个梳形空间是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的子空间，看起来很像一把梳子。梳形空间满足一些相当有趣的性质，并提供了有趣的反例。拓扑学家正弦曲线与梳形空间具有相似的性质。删除梳形空间是梳形空间的一个重要变体。

形式化定义

考虑 $\mathbb {R} ^{2}$ ，它具有标准拓扑，并令K为集合 $\{1/n|n\in \mathbb {N} \}$ 。由以下定义的集合C

(\{0\}\times [0,1])\cup (K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})

被认为是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的子空间，并配备子空间拓扑，被称为梳形空间。删除梳形空间，D，定义为

(\{0\}\times \{0,1\})\cup (K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})

它只是删除了线段 $\{0\}\times (0,1)$ 的梳形空间。

拓扑性质

梳形空间和删除梳形空间满足一些有趣的拓扑性质，这些性质主要与局部连通性的概念相关（参见下一章）。

1. 我们注意到梳形空间显然是路径连通的，因此是连通的。此外，如果我们从梳形空间中删除集合(0 X [0,1])，我们得到一个新的集合，它的闭包是梳形空间。由于这个“新集合”是连通的，并且删除的梳形空间，D，是这个“新集合”的超集，也是这个新集合的闭包的子集，因此删除的梳形空间也是连通的。

2. 然而，删除的梳形空间不是路径连通的，因为从(0,1)到(0,0)没有路径。

3. 梳形空间是路径连通空间的一个例子，它不是局部路径连通的；参见有关局部连通空间的页面（下一章）。

4. 让我们证明我们关于 2 的说法。假设从p = (0, 1) 到D中的一个点q有一条路径，q ≠ p。令ƒ:[0, 1] → D为这条路径。我们将证明ƒ⁻¹{p} 在 [0, 1] 中既是开集又是闭集，这与该集合的连通性相矛盾。显然我们有ƒ⁻¹{p} 是 [0, 1] 中的闭集，因为ƒ是连续的。为了证明ƒ⁻¹{p} 是开集，我们进行如下操作：选择一个关于p的邻域 V（在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中是开的），它不与x轴相交。那么存在一个包含ƒ⁻¹{p} 的基元U，使得ƒ(U) 是V的子集。我们知道 U 是连通的，因为它是在 [a, b] 上的序拓扑的基元。因此，ƒ(U) 是连通的。我们断言ƒ(U) = {p}，因此ƒ⁻¹{p} 是开集。假设ƒ(U) 包含一个点 (1/n, z)，它不同于p。那么 (1/n, z) 必须属于D。选择r，使得 1/(n + 1) < r < 1/n。由于ƒ(U) 不与x轴相交，所以集合

A = (−∞, r) ×

\mathbb {R}

B = (r, +∞) ×

\mathbb {R}

将在 f(U) 上形成一个分离，这与 f(U) 的连通性相矛盾。因此，f⁻¹{p} 在 [0, 1] 中既是开集又是闭集。这是一个矛盾。

读者须知

在学习下一节后立即尝试解答问题 2.c)、2.d) 和 3。

练习

1. a)* 证明梳状空间是紧致的，不使用 Heine-Borel 定理。

b) 因此，证明集合 K = {1/n | n 是自然数} U {0} 是紧致的（提示：证明如果 X X Y 是一个乘积空间，而 Y 是紧致的，那么对第一个坐标的投影是一个闭映射（即，将 X X Y 中的闭集映射到 X 中的闭集）。然后如果 C 是梳状空间，C 是 I X I（I = [0,1]）的闭子集，给定乘积拓扑。假设 I = [0,1] 是紧致的，并使用关于紧致性的一个定理。）

c) 证明删除的梳状空间不是紧致的。

2*. a) 令 A 是 R 的一个连通子集。证明如果 x 属于 A，y 属于 A 且 x < y，那么整个区间 [x,y] 是 A 的一个子集。

b) 证明 R 的一个紧致子集必然包含它的上确界和下确界（提示：如果 A 是 R 的一个紧致子集，那么 A 是闭集。证明 A 的上确界和下确界都属于 A 的闭包，因此也属于 A。）

c) 证明 R 中的每个闭区间是局部连通的。

d) 证明梳状空间不能嵌入 R 中（提示：假设它可以嵌入 R 中，令 A 是 R 的子集，梳状空间 C 与之同胚。通过注意到梳状空间是路径连通的，因此是连通的，并且 A 必须是紧致的（因为 C 与 A 同胚，而 C 根据练习 1.a) 是紧致的），证明 A 必须是一个闭区间。因此，根据练习 2.c)，A 是局部连通的。）

e) 删除的梳状空间可以嵌入 R 中吗？证明你的答案。

3. a) 证明局部连通空间的开子空间是局部连通的。

b) 令 X 局部同胚于 Y；也就是说，从 X 到 Y 的一个映射 f 满足以下性质

对于 X 中的每个点 x，存在 x 的一个邻域 V，它在映射 f 下同胚于 Y 的一个开子集（即，限制在 V 上的映射 f 是同胚的）

证明如果 Y 是局部连通的，那么 X 也是（提示：使用 a) 部分）。

c) 令 C 是梳状空间。证明 C 不是一个流形（一个流形是一个 Hausdorff 拓扑空间 X，它有一个可数的拓扑基，并且在某种整数 n 下局部同胚于 R^n）。（提示：使用 b) 部分，并注意到 Hausdorff 空间的子空间是 Hausdorff，而具有可数的拓扑基的空间的子空间也具有可数的拓扑基）。

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