拓扑/路径连通性

定义

拓扑空间 $X$ 被称为路径连通，如果对于任意两点 $x_{0},x_{1}\in X$ 存在一个连续函数 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x_{0}$ 且 $f(1)=x_{1}$

示例

1. 向量空间中的所有凸集都是连通的，因为可以使用连接它们的线段，即 $f(t)=t{\vec {a}}+(1-t){\vec {b}}$。
2. 由顶点 $[0,0],[1,0],[0,1],[1,1]$ 定义的单位正方形是路径连通的。给定两点 $(a_{0},b_{0}),(a_{1},b_{1})\in [0,1]\times [0,1]$，这些点由函数 $f(t)=[(1-t)a_{0}+ta_{1},(1-t)b_{0}+tb_{1}]$ 连接，对于 $t\in [0,1]$。
   前面的例子在任何凸空间中都适用（事实上它几乎是凸空间的定义）。

相邻路径

设 $X$ 为拓扑空间，并设 $a,b,c\in X$。考虑两个连续函数 $f_{1},f_{2}:[0,1]\to X$，使得 $f_{1}(0)=a$，$f_{1}(1)=b=f_{2}(0)$ 且 $f_{2}(1)=c$。那么由以下公式定义的函数

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}f_{1}(2x)&{\text{if }}x\in [0,{\frac {1}{2}}]\\f_{2}(2x-1)&{\text{if }}x\in [{\frac {1}{2}},1]\\\end{array}}\right.$

是一个从 $a$ 到 $c$ 的连续路径。因此，从 $a$ 到 $b$ 的路径和从 $b$ 到 $c$ 的路径可以连接起来形成从 $a$ 到 $c$ 的路径。

与连通性的关系

每个路径连通空间 $X$ 也是连通的。这可以通过以下方式看到

假设 $X$ 不连通。那么 $X$ 是两个开集 $A$ 和 $B$ 的不相交并。令 $a\in A$ 且 $b\in B$。那么，存在从 $a$ 到 $b$ 的路径 $f$，即，$f:[0,1]\rightarrow X$ 是一个连续函数，且 $f(0)=a$ 以及 $f(1)=b$。但这样一来，$f^{-1}(A)$ 和 $f^{-1}(B)$ 是 $[0,1]$ 中的不相交开集，覆盖了单位区间。这与单位区间连通的事实相矛盾。

练习

1. 证明集合 $A=\{(x,f(x))|x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{2}$，其中 $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0&{\text{if }}x\leq 0\\\sin({\frac {1}{x}})&{\text{if }}x>0\\\end{array}}\right.$
   是连通的，但不是路径连通的。