拓扑/连通性

动机

为了最好地描述什么是连通空间，我们先来描述什么是断开空间。断开空间是指可以被分成两个不相交组的空间，或者更正式地说

一个空间 $(X,{\mathcal {T}})$ 被称为断开 当且仅当 存在一对不相交的非空开子集 $X_{1},X_{2}$，使得 $X=X_{1}\cup X_{2}$.

一个不是断开空间的空间 $X$ 被称为连通空间.

示例

1. 闭区间 $[a,b]$ 是连通的。为了证明这一点，假设它是断开的。那么存在两个非空的、不相交的开集 $A$ 和 $B$，它们的并集是 $[a,b]$。令 $X$ 为等于 $A$ 或 $B$ 的集合，并且不包含 $b$。令 $s=\sup X$。由于 X 不包含 b，s 必须在区间 [a,b] 内，因此必须在 X 或 $[a,b]\setminus X$ 内。如果 $s$ 在 $X$ 内，那么在 $X$ 内存在一个开集 $(s-\varepsilon ,s+\varepsilon )$。如果 $s$ 不在 $X$ 内，那么 $s$ 在 $[a,b]\setminus X$ 内，它也是一个开集，并且存在一个开集 $(s-\varepsilon ,s+\varepsilon )$ 在 $[a,b]\setminus X$ 内。两种情况都意味着 $s$ 不是上确界。
2. 拓扑空间 $X=(0,1)\setminus \{{\frac {1}{2}}\}$ 是不连通的：$A=(0,{\frac {1}{2}}),B=({\frac {1}{2}},1)$
   图示
   
   
   如你所见，连通空间的定义非常直观；当该空间无法被分割成（至少）两个不同的子空间时。

定义

定义 1.1

拓扑空间 $X$ 的子集 $U$ 被称为 **闭开集**，如果它既是闭集又是开集。

定义 1.2

如果拓扑空间 X 的每个具有超过一个点的子集在子空间拓扑下都是不连通的，那么该拓扑空间 X 被称为 **完全不连通**。

关于连通性的定理

如果 $X$ 和 $Y$ 是同胚空间，并且如果 $X$ 是连通的，那么 $Y$ 也是连通的。

证明:
令 $X$ 为连通的，并且令 $f$ 为一个同胚。假设 $Y$ 是不连通的。那么存在两个非空的互不相交的开集 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$，它们的并集为 $Y$。由于 $f$ 是连续的，$f^{-1}(Y_{1})$ 和 $f^{-1}(Y_{2})$ 是开的。由于 $f$ 是满射的，它们是非空的，并且它们是不相交的，因为 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 是不相交的。此外，$f^{-1}(Y_{1})\cup f^{-1}(Y_{2})=f^{-1}(Y)=X$，这与 $X$ 是连通的这一事实相矛盾。因此，$Y=f(X)$ 是连通的。
注意：这表明连通性是一个拓扑性质。

如果两个连通集有一个非空的交集，那么它们的并集是连通的。

证明:
令 $A$ 和 $B$ 为两个非不相交的连通集。令 $X$ 和 $Y$ 为非空的开集，使得 $X\cup Y=A\cup B$。令 $a_{0}\in A$.
不失一般性，假设 $a_{0}\in X$.

由于 $A$ 是连通的，$a\in X\forall a\in A$ ...(1).

由于 $Y$ 非空，存在 $\exists b\in B$ 使得 $b\in Y$.

因此，类似地，$b\in Y\forall b\in B$ ...(2)
现在，考虑 $c\in A\cap B$。根据 (1) 和 (2)，$c\in X\cap Y$，因此 $X\cap Y\neq \emptyset$。由于 $X,Y\in {\mathcal {T}}$ 是任意的，$A\cup B$ 是连通的。

如果两个拓扑空间是连通的，那么它们的积空间也是连通的。

证明
设 X₁ 和 X₂ 是两个连通空间。假设存在两个非空的、不相交的开集 A 和 B，它们的并集是 X₁×X₂。如果对于每个 x∈X，{x}×X₂ 或者完全包含在 A 中，或者完全包含在 B 中，那么 π₁(A) 和 π₁(B) 也是开的，因此它们是不相交的、非空的，它们的并集是 X₁，这与 X₁ 是连通的这一事实相矛盾。因此，存在 x∈X 使得 {x}×X₂ 包含 A 和 B 的元素。然后，π₂(A∩{(x,y)}) 和 π₂(B∩{(x,y)})，其中 y 是 X₂ 中的任意元素，是非空的、不相交的集合，它们的并集是 X₂，它们是 {(x,y)} 中的开集的并集（根据乘积拓扑的定义），因此是开的。这意味着 X₂ 是不连通的，这与事实相矛盾。因此，X₁×X₂ 是连通的。

练习

1. 证明一个拓扑空间 $X$ 是不连通的，当且仅当它除了 $\emptyset$ 和 $X$ 之外，还有闭开集（提示：为什么 $X_{1}$ 是闭开的？）。
2. 证明，如果 $f:X\to Y$ 是连续的、满射的（不一定同胚），并且如果 $X$ 是连通的，那么 $Y$ 是连通的。
3. 证明中间值定理：如果$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 是连续的，那么对于任何位于$f(a)$ 和$f(b)$ 之间的$y$，存在一个$c\in [a,b]$ 使得$f(c)=y$.
4. 证明$\mathbb {R}$ 不同构于$\mathbb {R} ^{2}$（提示：从$\mathbb {R}$ 中移除一个点会使其不连通）。
5. 证明一个具有可数补集拓扑的不可数集是连通的（数学家称此空间为“超连通”）。
6. a) 证明集合 X 上的离散拓扑是完全不连通的。
   
   b) a) 的逆命题是否成立（提示：即使 X 的子集上的子空间拓扑是离散拓扑，也不一定意味着该集合具有离散拓扑）