拓扑/分离公理

拓扑空间的分离公理

空间上的拓扑是称为开放的子集的集合。然后我们可以问诸如“我们可以通过将它们封闭在两个不相交的开集中来分离空间中的任意两个不同点吗？”对于具有其通常拓扑的实数线，答案显然是肯定的，但是有一些空间对此并非如此。事实证明，人们可能认为理所当然的连续映射的许多属性实际上取决于以下列出条件之一是否成立。根据哪些称为分离公理的条件成立，拓扑空间被分类。

设 $(X,{\mathcal {T}})$ 为拓扑空间，设x,y为该空间中任意两个不同点。以下条件按从最不严格到最严格的顺序排列，是我们可能希望对$(X,{\mathcal {T}})$施加的条件。

T₀

对于每个x, y，都存在一个包含该对中一个点的开集O，但不包含另一个点。

T₁

对于每个x, y，都存在开集 $O_{1}$ 和 $O_{2}$，使得 $O_{1}$ 包含x但不包含y，而 $O_{2}$ 包含y但不包含x。

T₂

对于每个x, y，都存在不相交的开集 $O_{1}$ 和 $O_{2}$，使得 $O_{1}$ 包含x，而 $O_{2}$ 包含y。 $T_{2}$ 空间也称为豪斯多夫空间。

T_2½

对于每个x, y，都存在不相交的闭邻域 $O_{1}$ 和 $O_{2}$ 分别包含x 和y。

正则

如果C是一个闭集，并且z是一个不在C中的点，则存在不相交的开集$O_{1}$和$O_{2}$，使得$O_{1}$包含C，而$O_{2}$包含z。一个既是正则的又是$T_{1}$的拓扑空间被称为T₃。

完全正则

如果C是一个闭集，并且z是一个不在C中的点，则存在一个连续函数$f:X\rightarrow [0,1]$，使得f(z)=0，并且对于任何$w\in C$，我们有f(w)=1（即f(C)={1}）。一个既是完全正则的又是$T_{1}$的拓扑空间被称为T_3½。

正规

如果$C_{1}$和$C_{2}$是不相交的闭集，则存在不相交的开集$O_{1}$和$O_{2}$，使得$O_{1}$包含$C_{1}$，而$O_{2}$包含$C_{2}$。一个既是正规的又是$T_{1}$的拓扑空间被称为T₄。

完全正规

令 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 是 *分离集*，意思是 $\mathrm {Cl} (A)\cap B=A\cap \mathrm {Cl} (B)=\emptyset$。 那么存在不相交的开集 $O_{1}$ 和 $O_{2}$，使得 $O_{1}$ 包含 $C_{1}$ 且 $O_{2}$ 包含 $C_{2}$。 一个既是完全正规的又是 $T_{1}$ 的拓扑空间被称为 T₅。

完全正规

如果 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 是不相交的闭集，则存在一个连续函数 $f:X\rightarrow [0,1]$ 使得 $f^{-1}(\{0\})=C_{1}$ 且 $f^{-1}(\{1\})=C_{2}$。 一个既是完全正规的又是 $T_{1}$ 的拓扑空间被称为 T₆。

注意：许多作者将正规、完全正规、正常、完全正常和完美正常空间视为对应 *T_i* 属性的同义词。

分离性质之间的关系

*T_i* 分离性质（公理）形成一个层次结构，如果 *i>j*，则性质 *T_i* 意味着性质 *T_j*。当性质 *T_i+1* 意味着 *T_x*，而 *T_x* 又意味着 *T_i*，并且 *T_x* 是在 *T_i* 和 *T_i+1* 之后提出的，*T_x* 被指定为 *T_i½*。这些性质的其他含义包括

• 即使没有假设 *T₁*，完全正规也总是意味着正规；
• *T₀* 独自就足以使一个正规空间成为 *T₃*。不需要完整的 *T₁* 属性；
• 完美正规意味着完全正规，而完全正规又意味着正规；
• 一个拓扑空间是完全正规的，当且仅当每个子空间都是正规的。

练习

1. 假设拓扑空间$X$是$T_{1}$。给定$x\in X$，证明$X\setminus \{x\}$是开集，从而得出$\{x\}$是闭集。
2. 给定拓扑空间$X$，并且给定对所有$x\in X$，$\{x\}$是闭集，证明$X$是$T_{1}$。

一些重要定理

定理 3.1.2

令$X$为$T_{2}$空间，并令$s_{n}$为$X$中的一个序列。则$s_{n}$要么在$X$中不收敛，要么收敛于唯一的极限。

证明
假设$s_{n}$收敛于两个不同的值$x$和$y$。

由于 $X$ 是 $T_{2}$，存在不相交的开集 $U$ 和 $V$，使得 $x\in U$ 且 $y\in V$.

现在根据收敛的定义，存在一个整数 $M$，使得 $n\geq M$ 意味着 $s_{n}\in U$。类似地，存在一个整数 $N$，使得 $n\geq N$ 意味着 $s_{n}\in V$.

取一个整数 $K$，它大于 $M$ 和 $N$，使得 $s_{K}$ 同时属于 $U$ 和 $V$，这与这两个集合是不交集的事实相矛盾。因此，$s_{n}$ 无法同时收敛于 $x$ 和 $y$。 $\square$

定理 3.1.3

如果 $X$ 是一个度量空间，那么 $X$ 是正规的。

证明

对于任何 $A\subset X$ 和任何点 $x\in X$，定义 $x$ 到 $A$ 的距离 $d(x,A)$ 为 $d(x,A):=\inf\{d(x,a)|a\in A\}$，其中 $d(x,a)$ 是度量空间定义中给出的距离函数。观察到 $x\mapsto d(x,A)$ 是连续的。

修复闭合、不相交的子集 $A,B$ 的 $X$，并定义 $f:X\rightarrow [-1,1]$ 为 $f(x):={\frac {d(x,B)-d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}}.$ （注意 $f$ 是良定义的，因为对于任何 $S\subset X$，我们有 $d(x,S)=0$ 当且仅当 $x$ 在 $S$ 的闭包中。）观察 $f$ 在 $A$ 上为 1，在 $B$ 上为 -1，在其他地方位于开区间 $(-1,1)$ 中。此外，$f$ 由 $x\mapsto d(x,A)$ 的连续性而连续。因此，$f^{-1}([-1,-1/2))\supset B$ 和 $f^{-1}((1/2,1])\supset A$ 是开集的原像（即在 $[-1,1]$ 中是开集），因此是开集，并且它们作为不相交集的原像是互不相交的。

定理 3.1.4

如果 $X$ 是一个度量空间，那么 $X$ 是豪斯多夫空间。
证明
令 $x$ 和 $y$ 是两个不同的点，并令 $d={\tfrac {d(x,y)}{3}}$。那么 $B_{d}(x)$ 和 $B_{d}(y)$ 是不相交的开集，因为如果存在一个点 $z$ 同时在这两个开球中，那么 $d(x,y)\leq d(x,z)+d(x,z)<{\tfrac {2}{3}}d(x,y)$，这与假设矛盾。

乌雷松引理

拓扑空间 $X$ 是正规的当且仅当对于任何不相交的闭集 $C_{1}$ 和 $C_{2}$，存在一个连续函数 $f:X\rightarrow [0,1]$，使得 $f(C_{1})=\{0\}$ 和 $f(C_{2})=\{1\}$。

证明
为了证明乌雷松引理，我们首先证明以下结果

令 X 为一个拓扑空间。X 是正规的当且仅当对于每个闭集 U 和包含 U 的开集 V，存在一个包含 U 的开集 S，其闭包在 V 内。

假设 X 是正规的。如果 V 等于 X，则 X 是一个包含 U 的集合，其闭包在 V 内。否则，V 的补集是一个非空的闭集，它与 U 不相交。因此，根据 X 的正规性，存在两个不相交的开集 A 和 B，其中 A 包含 U 且 B 包含 V 的补集。A 的闭包不与 B 相交，因为 B 中的所有点都有一个完全在 B 内的邻域，因此不与 A 相交（因为它们不相交），所以 B 中的所有点都不在 A 的闭包内。因此，集合 A 是一个包含 U 的集合，其闭包不与 B 相交，因此不与 V 的补集相交，因此完全包含在 V 内。相反地，取任何两个不相交的闭集 U 和 V。V 的补集是一个包含闭集 U 的开集。因此，存在一个包含 U 的集合 $S_{1}$，其闭包在 V 的补集内，这与与 V 不相交是相同的。然后 V 的补集是一个包含闭集 Cl($S_{1}$) 的开集。因此，存在一个包含 $S_{1}$ 的集合 $S_{2}$，使得 Cl($S_{2}$) 在 V 的补集内，即与 V 不相交。然后 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的补集是分别包含 U 和 V 的开集，它们不相交。

现在我们证明乌雷松引理。

设 X 为一个正规空间，U 和 V 为两个闭集。设 $U_{0}$ 为 U，设 $U_{1}$ 为 X。

设 $U_{\frac {1}{2}}$ 为一个包含 U_0 的集合，其闭包包含在 $U_{1}$ 内。一般来说，归纳地定义对于所有自然数 n 和所有自然数 $a<2^{n-1}$

$U_{\frac {2a+1}{2^{n}}}$ 为一个包含 $U_{\frac {a}{2^{n-1}}}$ 的集合，其闭包包含在 $U_{\frac {a+1}{2^{n-1}}}$ 的补集内。这定义了 $U_{p}$，其中 p 是区间 [0,1] 内可表示为 ${\frac {a}{2^{n}}}$ 的有理数，其中 a 和 n 是整数。

现在定义函数 $f:X\rightarrow$ [0,1] 为 f(p)=inf{x|$p\in U_{x}$}。

考虑正规空间 X 中的任意元素 x，以及围绕 f(x) 的任意开区间 (a,b)。在该开区间内存在可以表示为 ${\frac {p}{2^{n}}}$ 的有理数 c 和 d，其中 p 和 n 是整数，使得 c<f(x)<d。如果 c<0，则将其替换为 0；如果 d>1，则将其替换为 1。然后，集合 $U_{c}$ 的补集和集合 $U_{d}$ 的交集是 f(x) 的一个开邻域，其图像位于 (a,b) 内，证明了该函数是连续的。

反之，假设对于任意两个不相交的闭集，存在从 X 到 [0,1] 的连续函数 f，使得当 x 是 U 的元素时 f(x)=0，当 x 是 V 的元素时 f(x)=1。那么由于不相交的集合 [0,.5) 和 (.5,1] 是开集，并且在子空间拓扑下，逆集 $f^{-1}([0,.5))$（包含 X）和 $f^{-1}((.5,1])$（包含 Y）也是开集且不相交。

练习

构建一系列空间很有指导意义，使得每个成员属于一个类别，但不属于下一个类别。

• 离散拓扑不是 $T_{0}$。
• 如果 $X$ 是单位区间 $[0,1]$，并且 ${\mathcal {T}}=\{[0,x)|x\in [0,1]\}$，那么该空间是 $T_{0}$ 但不是 $T_{1}$。
• 考虑任意无限集 $X$。令 $X$ 和每个有限子集都是闭集，并称开集为 $\Omega$。判断 $(X,\Omega )$ 是否是一个拓扑空间，它满足 $T_{1}$ 分离公理，但不满足 $T_{2}$ 分离公理。提示：考虑任何两个非空开集的交集。

验证

• $T_{1}$ 蕴含 $T_{0}$
• $T_{2}$ 蕴含 $T_{1}$
• $T_{3}$ 蕴含 $T_{2}$（提示：使用定理 3.1.1）