拓扑/商空间

商拓扑不是对分析中任何研究对象的自然推广，但它很容易理解。一种动机来自几何学。例如，圆环可以通过取一个矩形并将边粘合在一起来构造。

定义：商映射

令 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间；令 $f:X\rightarrow Y$ 是一个满射映射。映射 f 被称为 商映射 当且仅当 $U\subseteq Y$ 在 Y 中是开集，当且仅当 $f^{-1}(U)$ 在 X 中是开集。

定义：商映射的另一种形式

还有一种描述商映射的方法。一个子集 $C\subset X$ 是 饱和集 （关于满射映射 $f:X\rightarrow Y$）如果 C 包含它所交的每个集合 $f^{-1}(\{y\})$。说 f 是一个商映射等价于说 f 是连续的，并且 f 将 X 的饱和开集映射到 Y 的开集。同样地，对于闭集也是如此。

有两种特殊的商映射类型： 开映射 和 闭映射 。

如果对于每个在 X 中的开集 $U\subseteq X$，集合 $f(U)$ 在 Y 中是开的，则称映射 $f:X\rightarrow Y$ 是一个 开映射 。如果对于每个闭集 $A\subseteq X$，集合 $f(A)$ 在 Y 中是闭的，则称映射 $f:X\rightarrow Y$ 是一个 闭映射 。由定义可知，如果 $f:X\rightarrow Y$ 是一个满射连续映射，并且是开映射或闭映射，那么 f 是一个商映射。

定义：商拓扑

如果 X 是一个拓扑空间， A 是一个集合，并且如果 $f:X\rightarrow A$ 是一个满射映射，那么在 A 上存在唯一的拓扑 $\tau$ 使得 f 是一个商映射；它被称为 f 诱导的 商拓扑 。

定义：商空间

设 X 是一个拓扑空间，设 $X^{*}$ 是 X 的一个划分，它将 X 划分为不相交的子集，这些子集的并集是 X 。设 $f:X\rightarrow X^{*}$ 是将每个 $x\in X$ 映射到包含它的 $X^{*}$ 元素的满射映射。在 f 诱导的商拓扑中，空间 $X^{*}$ 被称为 X 的 商空间 。

定理

设 $f:X\rightarrow Y$ 是一个商映射；设 A 是 X 的一个子空间，它关于 f 是饱和的；设 $g:A\rightarrow f(A)$ 是通过限制 f 获得的映射，那么 g 是一个商映射。

1.) 如果 A 在 X 中是开集或闭集。

2.) 如果 f 是一个开映射或闭映射。

证明：我们需要证明
$f^{-1}(V)=g^{-1}(V)$ 当 V $\subset f(A)$

以及

$f(U\cap A)=f(U)\cap f(A)$ 当 $U\subset X$.

由于 $V\subset f(A)$ 且 A 是饱和的，$f^{-1}(V)\subset A$。因此，$f^{-1}(V)$ 和 $g^{-1}(V)$ 都等于 A 中所有被 f 映射到 V 的点。对于第二个等式，对于任何两个子集 U 和 $A\subset X$

$f(U\cap A)\subset f(U)\cap f(A).$

反之，假设 $y=f(u)=f(a)$ 当 $u\in U$ 且 $a\in A$。由于 A 是饱和的，$A\subset f^{-1}(f(a))$，因此特别地 $A\subset u$。然后 $y=f(u)$ 其中 $u\in U\cap A$.

假设 A 或 f 是开集。由于 $V\subset f(A)$，假设 $g^{-1}(V)$ 在 $A$ 中是开集，并证明 V 在 $f(A)$ 中是开集。

首先，假设 *A* 是开集。由于 $g^{-1}(V)$ 在 *A* 中是开集，并且 *A* 在 *X* 中是开集，因此 $g^{-1}(V)$ 在 *X* 中是开集。由于 $f^{-1}(V)=g^{-1}(V)$，因此 $f^{-1}(V)$ 在 *X* 中是开集。*V* 在 *Y* 中是开集，因为 *f* 是商映射。

现在假设 *f* 是开集。由于 $g^{-1}(V)=f^{-1}(V)$ 并且 $g^{-1}(V)$ 在 A 中是开集，那么 $f^{-1}(V)=U\cap A$，其中 *U* 是 *X* 中的开集。现在 $f(f^{-1}(V))=V$，因为 *f* 是满射；所以

$V=f(f^{-1}(V))=f(U\cap A)=f(U)\cap f(A).$

集合 $f(U)$ 在 *Y* 中是开集，因为 *f* 是开映射；因此 *V* 在 $f(A)$ 中是开集。关于闭集 *A* 或闭映射 *f* 的证明留给读者。