拓扑/希尔伯特空间

希尔伯特空间是一种向量空间，它在函数分析中起着关键作用，它是完备的，并且是一种更具体的巴拿赫空间。

内积空间的定义

内积空间或 IPS 是在域 F 上的向量空间 V，具有一个函数 $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F$，称为内积，它符合三个公理。

1. 共轭对称性：$\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$ 对于所有 $x,y\in V$。请注意，如果域 $F$ 是 $\mathbb {R}$，我们只有对称性。

2. 第一项的线性性：$\langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle$ 和 $\langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$ 对于所有 $x,y,z\in V$ 和 $a\in F$。

3. 正定性：$\langle x,y\rangle \geq 0$ 对于所有 $x,y\in V$ 和 $\langle x,y\rangle =0$ 当且仅当 $x=y$。

希尔伯特空间的定义

希尔伯特空间是一个内积空间，它关于其推断的度量是完备的。

练习

证明内积自然地与度量相关联，因此所有内积空间都是度量空间。

示例

$\ell ^{2}$ 是一个希尔伯特空间，其点是单位区间 I 上的无穷序列 $(a_{n})$，使得

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{2}$

收敛，并且是具有内积 $\langle (x_{n}),(y_{n})\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}{\overline {y_{i}}}$ 的希尔伯特空间。

特征定理

在同胚意义下，只有一个可分离的希尔伯特空间，它就是 $\ell ^{2}$.

练习

(正在建设中)