拓扑学/历史

可以说，数学总体而言要归功于古代希腊的欧几里得。他最著名的著作《几何原本》彻底改变了几何学和数学的整体概念，通过展示一种简单的逻辑方法。这种方法被莱昂纳德·姆洛迪诺概括为

首先，通过形成精确的定义来明确术语，从而确保所有词语和符号的相互理解。其次，通过陈述具体的公理或假设来明确概念，这样就不会使用任何未陈述的理解或假设。最后，仅使用逻辑的公认规则，将逻辑推论应用于公理和先前证明的定理，得出系统的逻辑结果 .

纵观其历史，许多数学家都影响了拓扑学的发展。虽然约翰·本尼迪克特·李斯廷在拓扑学领域没有做出令人难忘的发现，但他仍然被认为是该领域的奠基人之一。这是因为他为拓扑学起了名字。虽然他在拓扑学方面发表的文章很少，但他以《拓扑学前奏》而闻名，该文献是第一个使用“拓扑学”（英文：topology）一词来描述该领域的文献。他也常被认为独立于奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯发现莫比乌斯带 .

拓扑学的起源可以追溯到十八世纪和哥尼斯堡七桥问题，这是一个关于相对位置而不考虑距离的问题 。虽然这个问题通常被认为是图论的起源，但它也激发了欧拉对网络拓扑学的研究 。哥尼斯堡，现在的加里宁格勒，成立于 1255 年，成为一个繁荣的海港 。该城市坐落在普莱格尔河（现称普雷戈尔亚河）的两岸。市民可以使用七座桥横跨普莱格尔河，但能否通过这座城市并使用每座桥恰好一次的问题将成为拓扑学数学领域的诞生的催化剂。瑞士数学家莱昂哈德·欧拉将是发现答案是否定的那个人。他确定，由桥梁位置定义的图不是现在被称为欧拉图的东西 。这个名为《关于位置几何的一个问题的解》的解决方案于 1735 年提交给圣彼得堡科学院 .

哥尼斯堡七桥问题。

莫比乌斯带

欧拉也以其在多面体组合性质方面的研究而闻名。他考虑了边 ($e$), 他称之为acies，面 ($f$), 或hedra，以及顶点 ($v$), 称为angulus solidus。欧拉认识到这三个性质的重要性，声称它们“完全决定了实体”。他的研究产生了著名的多面体公式：$v-e+f=2$。然而，欧拉公式仅适用于凸实体 。1813 年，安托万-让·吕利埃认识到该公式的这一局限性，并为具有$g$个洞的实体提供了推广：$v-e+f=2-2g$。这是第一个已知的拓扑不变量的结果 .

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯是流形拓扑理论的主要贡献者之一。1865 年，莫比乌斯发表了一篇文章，在文章中他将表面的几种方向分解成多边形网格。他最著名的例子是一个不可定向的表面，现在被称为莫比乌斯带 .

俄罗斯出生的数学家格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔，集合论之父，是我们要感谢的另一位数学家。集合论和基数的概念是拓扑学研究的基础。如今，康托尔是一位真正备受尊崇的数学家，特别是考虑到集合论和无穷的概念似乎没有数学思想的支柱，它们可以从这些支柱中发展起来。令人遗憾的是，这些想法并没有受到 19 世纪世界的欢迎，康托尔一生中度过了许多年与公众批评作斗争。一位名叫大卫·希尔伯特的德国数学家将康托尔在无穷域的发现描述为“数学思想的惊人产物” 。1877 年，康托尔证明了二维正方形上的点与不同线段上的点之间存在一一对应关系，这导致其他人开始质疑维度概念，从而导致了维度理论的发展 .

在 19 世纪后期和 20 世纪初期，许多数学家都向自己挑战了更加抽象的问题。法国数学家莫里斯·勒内·弗雷歇在 1906 年帮助了这些数学家。他解释说，如果可以在两个不同的数学实体之间定义距离，那么就可以应用实数和复数的概念 。弗雷歇与肖恩弗利斯、豪斯多夫等人一起成为最早研究“一般拓扑学”的人之一 。弗雷歇发展了度量空间理论，该理论基于康托尔的集合理论 .

德国数学家费利克斯·豪斯多夫在集合论方面继承了康托尔的衣钵。事实上，豪斯多夫是最早教授集合论的人之一。1901 年夏天，他收了 3 个学生 。拓扑具有开放子集格的想法几乎与拓扑本身的概念一样古老，但豪斯多夫是第一个强调这些子集在定义拓扑概念中的重要性的人 .

法国数学家和物理学家亨利·庞加莱在很小的时候就发现了他的天赋。事实上，他还在上学的时候就获得了全国数学竞赛的第一名。庞加莱是第一个研究富克斯群的人，主要研究其底层的几何和拓扑。庞加莱最著名的是《庞加莱猜想》，它陈述如下

一个紧致的光滑的n维流形，如果与n维球面$S^{n}$同伦等价，那么它实际上必须与$S^{n}$同胚。可以将一个紧致流形看作是生活在$\mathbb {R} ^{n}$中某个有限区域内的流形，并且没有边界。

直到2003年，格里戈里·佩雷尔曼才证明了这个猜想。